14. Взаимное положение двух плоскостей (параллельные и перпендикулярные)

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Это определение хорошо иллюстрируется задачей, через точку В провести плоскость параллельную плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми (a,b) (рис.63).

Задача. Дано: плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми (a,b) и точка В.

Требуется через точку В провести плоскость, параллельную плоскости (a,b) и задать её двумя пересекающимися прямыми c и d.

Согласно определения, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны между собой.

Для того, чтобы провести на эпюре параллельные прямые необходимо воспользоваться свойством параллельного проецирования - проекции параллельных прямых - параллельны между собой.

взаимно перпендикулярные плоскости

Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.

Из стереометрии известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости a(h,f). Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a. Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a(h,f), необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости a(h,f), (горизонтальная проекция n1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h1, фронтальная проекция n2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f2). Любая плоскость, проходящая через прямую n будет перпендикулярна плоскости a(h,f), поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m. Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m,n), будет перпендикулярна плоскости a(h,f)(рис.66

15. Определение линии пересечения двух плоскостей

Теперь рассмотрим пример пересечения двух плоскостей общего положения. Для построения линии пересечения двух плоскостей a и b необходимо найти две точки, N и M каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для нахождения точек N и M можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Взять две дополнительные плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП;

Определить линии пересечения плоскостей частного положения 1ЧП и 2ЧП с плоскостями общего положения a и b с помощью метода, приведенного в предыдущем пункте;

Определить точки N и M пересечения полученных линий.

Выполним построения:

Возьмем плоскости общего положения a и b. Плоскость a задана пересекающимися прямыми a и b. Плоскость b задана параллельными прямыми c и d.

Возьмем плоскости частного положения 1ЧП и 2ЧП перпендикулярные к П1.

Найдем точки пересечения 1ЧП и 2ЧП с прямыми, задающими плоскости a и b. Опустим линии связи и получим проекции линий пересечения плоскостей на П1.

Теперь найдем две точки N1 и M1 пересечения полученных линий (синие на чертеже). Обратите внимание, что нас интересуют точки пересечения тех линий, которые получены пересечением одной плоскости частного положения с двумя общего. То есть, например, точка N при таком построении является точкой пересечения линий пересечения 1ЧП с a и b и соответственно принадлежит и a и b.

Поднимаем линии связи и получаем вторые проекции точек M и N.

Точки M и N принадлежат одновременно a и b, поэтому MN - линия пересечения a и b.

53