III. Первое начало термодинамики.

1. Первое начало термодинамики:

,

где - количество теплоты, сообщенное термодинамической системе,

- изменение внутренней энергии термодинамической системы,

- работа, совершенная термодинамической системой.

2. Работа газа

,

где V₁иV₂– объемы начального и конечного состояния газа.

3. Внутренняя энергия идеального газа

,

где - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме.

4. Количество теплоты

,

где T₁иT₂– температура начального и конечного состояния газа,

v– количество молей газа,- молярная теплоемкость газа в процессе.

5. Теплоемкости идеального газа при постоянном объеме и давлении:

,,.

6. Уравнение адиабатного (происходящего без теплообмена) процесса

,

где - коэффициент Пуассона.

7. Уравнение политропного (происходящего при постоянной теплоемкости) процесса

,

где n– показатель политропы.

Примеры решения задач.

Задача1.Газообразный водород, находившийся при нормальных физических условиях в закрытом сосуде объемомV=5,0 л, охладили на. Найти приращение внутренней энергии газа и количество отданного им тепла.

Дано: Решение

Из первого начала термодинамики(1)

Для изохорного процесса,

так как работа газа А=0.

Учитывая, что, а, как следствие изуравнения состояния идеального газа, окончательно получим

. (2)

Для молекулярного водорода число степеней свободы молекулы i= 5.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 2. Три моля идеального газа при температуреизотермически

расширили в 4 раза, а затем изохорно нагрели так, что его давление стало равно первоначальному. За весь процесс газу сообщили количество тепла .

Определить коэффициент Пуассона для этого газа.

Дано: Решение

В процессе изотермического расширение газа из

состояния в состояниек газу

подводится тепло.

В процессе изохорного нагрева к газу подводится

количество теплоты

Для нахожденияT₃воспользуемся уравнениями

изохорного и изотермического процессов:

,.

Для T₃получим.

Коэффициент Пуассона связан с числом степеней свободы молекулы

газа соотношением .

Из полученного выражения следует, что .

Для окончательно получаем

.

При переходе газа из состояния Iв состояниеIIIзатрачивается

количество теплоты

. (1)

Из (1) выразим коэффициент Пуассона

.

Убедимся, что соотношение является безразмерной величиной:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задача 3. Объем одного моля идеального газа с коэффициентом Пуассона

изменяют по закону VT=a, где а – положительная константа. Найти количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его температура возросла на.

Дано: Решение

В процессе изменяются все макроскопические параметры

состояния идеального газаP,VиT. Малое изменение

количества теплоты согласно первому началу термодинамики

, (1)

где .

Выразим уравнение процесса в параметрах PиV. Для этого воспользуемся уравнением состояния газа и условием задачи:

.

Исключая температуру, получим:

(2)

Подставляя (2) в (1), приходим к выражению

. (3)

Интегрируя (3), получаем

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: 0,25кДж.

Задача 4. Найти молярную теплоемкость идеального газа в политропном процессе, еслиn= 3, а показатель адиабаты для этого газа.

Дано: Решение

Воспользуемся первым началом термодинамики в

дифференциальной форме

, (1)

где,,. (2)

Подставим (2) в (1), учитывая, что , где:

.(3)

В полученном выражении определим производную . Для этого воспользуемся уравнениями политропического процесса и состояния идеального газа, и выразим уравнение процесса в параметрахV иT:

. (4)

Дифференцируя (4), получаем и подставим в (3):

.

Проверка размерности:

.

Предельные случаи: 1) при n= 0 получаемP=const, т.е. теплоемкость дли изобарного процессаC_μn=C_μp;

2) приn=γполучаемS=const, т.е. теплоемкость адиабатного процессаC_μn = 0.

Вычисления: .

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

3.1. Для газообразного ацетона (СН₃СОСНз) определить коэффициент Пуассона.

3.2. Определить удельные теплоемкости двухатомного газа, если плат­ность его при нормальных условиях 1,43·10^-3 г/см³.

3.3. Вычислить удельные теплоемкости смеси 2 молей азота и 5 молей гелия.

3.4. Молярная масса газа равна 18 г/моль. Коэффициент Пуассона равен 1,33. Вычислить удельные теплоемкости этого газа.

3.5. Какой из указанных газов при комнатной температуре имеет наи­большую удельную теплоемкость: 1) О₂; 2) H₂; 3) Не; 4) Ne; 5) I₂?

3.6. Найти молярные теплоемкости смеси 0,5 молей паров воды и 0,2 моля азота.

3.7. Приняв массу атома гелия равной 6,6·10^-27 кг, определить удельную теплоемкость гелия при постоянном объеме.

3.8. Удельная теплоемкость влажного воздуха при постоянном объеме равна 1,2·10³ Дж/кг·К. Определить относительную влажность воздуха. Мо­лярная масса сухого воздуха 29 г/моль. Температура 300 К.

3.9. Вычислить коэффициент Пуассона газовой смеси, состоящей из 3,0 молей гелия и 2,0 молей водорода.

3.10. Молярная масса газа равна 32 г/моль. Определить удельные теплоем­кости газа при постоянном объеме и постоянном давлении, если коэффици­ент Пуассона для газа равен 1,4.

3.11. Чему равны удельные теплоемкости газа, плотность которого при нормальных условиях равна 1,76·10^-3 г/см³?

3.12. Вычислить удельные теплоемкости для углекислого газа.

3.13. Вычислить коэффициент Пуассона для смеси, состоящей из 2,0 мо­лей кислорода и 3,0 молей углекислого газа.

3.14. Вычислить удельные теплоемкости C_v и С_р для смеси, состоящей из 7 г азота и 20 г аргона.

3.15. Удельная теплоемкость газа при постоянном давлении С_р=970 Дж/кг·К, а молярная масса равна 30 г/моль. Определить число степе­ней свободы молекулы этого газа.

3.16. Определите молярную массу газа, если разность между удельными теплоемкостями С_р-C_v =260 Дж/кг·К.

3.17. Определить удельные теплоемкости C_v и С_р, если для газа коэффи­циент Пуассона равен 1,4, а плотность при нормальных условиях 1,25 кг/м³ .

3.18. Отношение удельных теплоемкостей смеси, состоящей из азота и 5 молей аммиака, равно 1,35. Определить число молей азота в смеси.

3.19. Определить удельные теплоемкости смеси, состоящей из 1 моля азо­та, 4 молей метана и 8 г аргона.

3.20. Воздух содержит 25% водяного пара. Определить удельную тепло­емкость при постоянном объеме влажного воздуха. Для сухого воздуха

молярную массу принять равной 29 г/моль.

3.21. Найти удельные теплоемкости воздуха, считая, что в его состав вхо­дит 76% азота, 23% кислорода, 1% аргона.

3.22. Количество теплоты, необходимое для нагревания газа на 25 К при постоянном давлении, равно 500 Дж. Количество теплоты, выделяемое этим газом при охлаждении на 75 К при постоянном объеме, равно 1,07 кДж. Опре­делить коэффициент Пуассона.

3.23. При изотермическом сжатии 14 г азота, взятого при 20°С, была со­вершена работа 2200 Дж. Во сколько раз возросло давление газа?

3.24. В закрытом сосуде находится 14 г азота при давлении 10⁵ Па и темпе­ратуре 27°С. После нагревания давление повысилось до 5·10⁵ Па. Какое ко­личество теплоты сообщено газу? Определить приращение внутренней энергии.

3.25. Из баллона, содержащего водород под давлением 10⁶  Па и при тем­пературе 18°С, выпустили половину находящегося в нем газа. Считая про­цесс адиабатным, определить конечную температуру и давление.

3.26. При изобарном расширении водород совершил работу 4000 Дж. Ка­кое количество теплоты подведено к газу? Определить приращение его внутренней энергии.

3.27. В адиабатном процессе внутренняя энергии кислорода уменьшилась на 2000 Дж. Найти работу, совершенную газом и массу газа. Начальная температура газа 47°С, его объем увеличился в 10 раз.

3.28. Углекислый газ массой 3,2 кг имеет температуру -17°С. Объем газа изотермически уменьшают в 3 раза. Какую работу совершил газ? Как изме­нилась внутренняя энергия газа? Какое количество теплоты выделилось?

3.29. При изобарном расширении 2 кг кислорода совершена работа 98 Дж. Определить приращение внутренней энергии газа. Какое количество тепло­ты получил газ? До какой температуры нагрели газ? Начальная температура 0°С.

3.30. Какое количество теплоты надо сообщить кислороду, находящемуся в сосуде объемом 30 л при температуре 27°С и давлении 400 мм рт. ст., чтобы нагреть газ на 120°С? Определить приращение внутренней энергии газа и совершенную газом работу.

3.31. Водяной пар при изобарном расширении совершил работу, равную 2100 Дж. Какое количество теплоты подвели к пару? Как изменилась его внутренняя энергии?

3.32. При нормальных условиях 1 моль азота расширяется адиабатно до V₂= 7V₁. Вычислить работу газа.

3.33. При адиабатном сжатии 10 г водорода температура повысилась на 100°С. Определить работу, затраченную на сжатие.

3.34. Водород под давлением 10⁵  Па занимает объем 5 л. Газ адиабатно сжали до объема в 1 л. Вычислить работу, совершенную в этом процессе.

3.35. Водород массой 4г нагрет при постоянном давлении на 50°С. Определить количество теплоты, переданное газу, приращение его внутренней энергии и работу, совершенную газом.

3.36. При изобарном расширении двухатомный газ совершил работу 2·10 Дж. Какое количество теплоты подвели к газу?

3.37. Кислород массой 4 г находится при нормальных условиях. При изо­термическом расширении объем газа увеличился до 12 л. Вычислить работу, совершенную газом, и сообщенное ему количество теплоты.

3.38. При изобарном расширении внутренняя энергия трехатомного газа увеличилась на 1000 Дж. Какую работу совершил газ? Какое количество теп­лоты сообщили газу?

3.39. При изохорном охлаждении киломоля трехатомного газа давление уменьшается в 3 раза. Затем газ изобарно расширяется так, что в конечном состоянии его температура равна первоначальной. Изобразить процесс на диаграмме Р, V. Вычислить Q, ΔU и А. Температура газа равна 27°С.

3.40. Двухатомный газ расширяется изобарно. Какая часть теплоты расхо­дуется на увеличение его внутренней энергии, а какая на совершенную им работу?

3.41. Баллон, содержащий 20 г водорода и 1 г гелия, нагрели на 50°С. Определить приращение внутренней энергии смеси и сообщенное количество теплоты.

3.42. Газ, расширяясь, переходит из одного и того же состояния от объема V₁ до объема V_2: а) изобарно; б) адиабатно; в) изотермически. В каких про­цессах газ совершает наименьшую и наибольшую работу?

3.43. Один моль идеального газа находился при нормальных условиях. При изотермическом расширении газу подвели 2,27 кДж теплоты. Какую ра­боту совершит этот газ, расширяясь изобарно до того же объема, что и в первом случае?

3.44. Моль идеального газа изотермически сжимают до объема в 2,7 раза меньше начального и отводят от газа 2,24 кДж количества теплоты. Какую работу необходимо совершить, чтобы изобарно газ вернуть в состояние с объемом, равным начальному?

3.45. Идеальный газ, расширяясь один раз изобарно, другой раз изотерми­чески из одного и того же состояния, увеличивает объем в 5 раз. Определить отношение работ газа изобарного и изотермического расширения.

3.46. Кислород, расширяясь один раз изотермически, другой раз адиабат­но из одного и того же состояния, увеличивает объем в 4 раза. Определить отношение работ газа изотермического и адиабатного расширения.

3.47. Один моль идеального газа, взятого при температуре 300 К, изотер­мически увеличивает объем в 2 раза, затем газ изохорно нагревают до на­чального давления. За весь процесс газу сообщают количество теплоты, рав­ное 7,96 кДж. Найти коэффициент Пуассона.

3.48. Найти молярную теплоемкость идеального газа в процессе, при ко­тором температура газа пропорциональна квадрату его объема. Молярная теплоемкость газа при постоянном объеме известна.

3.49. Найти молярную теплоемкость идеального газа в процессе, при ко­тором температура газа обратно пропорциональна его объему. Молярная те­плоемкость газа при постоянном объеме известна.

3.50. Объем 3 молей гелия изменяется по закону V=αT⁴, где α>0. Опреде­лить количество теплоты, полученное газом в этом процессе, если его тем­пература увеличилась на 40 К.

3.51. Работа идеального газа пропорциональна приращению его внутрен­ней энергии. Найти уравнение данного процесса Р = f (V).

3.52. Определить молярную и удельную теплоемкости кислорода в процессе pV²=const.

3.53. В политропном процессе pV² =const азоту сообщили количество теп­лоты, равное 3,0 кДж. Какую работу совершил газ?

3.54. В политропном процессе pV^1,2 =const кислород нагревается. При этом он отдает количество теплоты 5,0 кДж. Определить работу, совершаемую га­зом.

3.55. В политропном процессе pV² =const два моля кислорода нагревают на 40 К. Определить количество теплоты, сообщенное газу.

3.56. Определить молярную и удельную теплоемкости азота в процессе TV^0,2=const.

3.57. В политропном процессе TV^0,2=const два моля азота нагревают на 30 К. Определить, какое количество теплоты отводится от газа.

3.58. Один моль гелия совершает процесс, в котором температура меняет­ся по закону T=To+αV, где Т₀=200 К, α=10⁴ К/м³. Определить количество теплоты, сообщенное газу при расширении от 10 л до 20 л.

3.59. Один моль кислорода совершает процесс, в котором давление изме­няется по закону p=p_o+αV, где р_о=0,1 МПа, α=10 кПа/м³. Определить количе­ство теплоты, сообщенную газу при расширении от 10 л до 20 л.

3.60. Один моль неона совершает политропный процесс с показателем n=1,5. Приращение температуры газа равно ΔT = -26 К. Найти: а) количество теплоты, полученное газом; б) работу, совершенную газом; в) изменение внутренней его энергии.

3.61. Идеальный двухатомный газ расширяется так, что давление в процессе изменяется по закону p=αV, где α=10⁷ Па/м³. Объем газа в начальном состоянии 1 л, в конечном 3 л. Вычислить: а) изменение внутренней энер­гии газа; б) работу, совершенную газом в процессе; в) молярную теплоем­кость газа.

3.62. Идеальный газ совершает процессы: а) pV^γ=const; б) pV=const; в) pV²=const. В каком из этих процессов при увеличении объема газа внутренняя энергия газа увеличится?

3.63. Идеальный газ совершает процессы: а) pV²=const; б) pV=const; в) pV^1/2=const. В каком из этих процессов при равном приращении объема газ совершает максимальную работу?

3.64. Принимая, что воздух поднимаясь в атмосфере, расширяется как идеальный газ, определить изменение его температуры при увеличении вы­соты. На сколько уменьшится его температура при подъеме на высоту 1км?