I. Идеальный газ. Процессы в газах.

1. Уравнение состояния идеального газа (производные формы):

,,,, где

P– давление,N– число молекул,

k– постоянная Больцмана,V– объём,

m– масса газа,T– абсолютная температура,

- плотность газа,- молярная масса,

R– универсальная газовая постоянная,n– концентрация молекул.

2. Закон Дальтона:

, гдеP_i– парциальниое давление.

3. Термодинамические процессы в идеальном газе постоянной массы:

а) изотермический, Т = const,

б) изобарный, P=const,

в) изохорный, V=const,

Примеры решения задач.

Задача 1. В баллоне объёмомV=20 л находится аргон под давлениемP₁ = 1,0 МПа и температуре Т₁ = 300 К. После того как из баллона было взято Δm= 20,0 г аргона, температура в баллоне понизилась до Т₂= 280 К. Определить давление газа, оставшегося в баллоне.

Дано: Решение:

V= 20 л = 2,0·10^-2м³ Для решения задачи воспользуемся уравнением

Р₁ = 1,0 МПа = 1,0·10⁶Па состояния идеального газа, применив его к начальному

Т₁ = 300 К и конечному состояниям газа:

Т₂= 280 К

Δm= 20,0 г = 2,0·10^-2кг, (1)

R= 8.31Дж/моль·К(2)

Р₂- ?

Из уравнений (1) и (2) выразим m₁иm₂и найдём их разность:

Откуда находим:

(3)

Проверку решения проведем по размерности физических величин. В правую часть вместо символов величин подставим их единицы измерения. В правой части два слагаемых. Первое из них имеет размерность давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых – давление, а второй – безразмерный. Проверим второе слагаемое:

Вычисления произведём по формуле (3) с учётом, что для аргона кг/моль.

Ответ:

Задача 2.В сосуде находится смесьm₁=14,0 г азота иm₂=16,0 г кислорода

при Т=300 К и давлении Р=8,3 кПа. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Дано: Решение

Для каждого компонента в смеси газов можно записать

уравнения состояния.

Давление смеси равно(по закону Дальтона).

Суммируя (1) и (2) с учётом закона Дальтона, найдём объём газа:

(3)

Для плотности смеси находим:

(4)

Проверка размерности:

Вычисления:

Ответ: кг/м³.

Задача 3. Поршневым воздушным насосом откачивают баллон объёмомV=10,0 л. За один цикл (ход поршня) насос захватывает объём ΔV=0,4 л. Через сколько циклов давление в баллоне уменьшится от Р_0­=0,1 МПа до Р=0,1 кПа? Процесс считать изотермическим, газ – идеальным.

Дано: Решение

V= 10 л = 1,0 10^-2м³ Для изотермического процесса в первом

ΔV= 0,4 л = 0,4 10^-3м³ и следующих циклах можно записать:

Р₀= 0,1 МПа = 1,0 10⁵Па, (1)

Р = 0,1 кПа = 100 Па ,

Т = const -----------------------

N - ? .

Получаем рекуррентную формулу:

, (2)

где N– число циклов.

Прологарифмировав соотношение (2), получим для числа циклов

(3).

Правая часть (3) содержит отношения однородных величин и является безмерной.

Вычисления:

Ответ: N=176 циклов.

Задача 4. Найти максимально возможную температуру идеального газа в процессе, для которого зависимость давления от объёма задана уравнениемP=P₀-αV², гдеP₀=0,1 МПа, α=1,0·10⁷Па·моль²/м⁶,V– объём одного моля газа.

Дано: Решение

P=P₀-αV²

P₀=0,1 МПа=10⁵ Па Найдём зависимость. Для этого воспользуемся

α=1,0·10⁷Па·моль²/м⁶ уравнением состояния для одного моля газа

.

Т­_max- ?

Исключая давление, получим:

. (1)

Из следующих условий находим максимум функции T(V):

Получается, что в области положительных значений Vи Т зависимость (1) при объёме моля газа

имеет максимальную температуру, равную

.

Проверка размерности:

Вычисления:

Ответ: =465 К.

Задачи для самостоятельного решения.

1.1. Найти число молекул водорода в объёме 1,55 л при температуре 27°С и давлении 750 мм рт. ст.

1.2. Найти концентрацию и плотность азота при давлении 10^-4мм  рт. Ст. и температуре 15°С.

1.3. Найти массу одной молекулы: азота (N₂), аммиака (NH₃), ацетиле­на (C₂H₂), ацетона (CH₃COCH₃).

1.4. Сколько молекул содержится в 22г водорода?

1.5. Сколько молекул газа находится в колбе объёмом 2 л? Дав­ление газа равно 0,66·10⁵ Па, его температура 17°С.

1.6. Удельный объём газа при нормальных физических условиях (р=760 мм рт. ст., t = 0°С) составляет σ=5,6 м³/кг. Определить молярную мас­су газа. Какой это газ?

1.7. Какое давление оказывает кислород на стенки сосуда объемом 200 л? Масса газа 0,02 кг температура 40°С.

1.8. При какой температуре кислород имеет плотность 1,2 кг/м³? Дав­ление газа 2·10⁵ Па.

1.9. Определить массу метана (СН₄), который содержится в баллоне объемом 15 л. Давление газа 10⁶ Па, температура 27°С, масса 1 кг.

1.10. Определить давление, оказываемое азотом на стенки сосуда объ­емом 1 м³. Температуре газа 27°С, его масса 1 кг.

1.11. Баллон ёмкостью 12 л наполнен азотом при давлении 8,1·10⁶ Па и температуре 17°С. Какое количество азота находится в баллоне?

1.12. Температура воздуха в комнате равна 10°С. Объём комнаты 50 м³, давление воздуха 730 мм рт. ст. На сколько изменилась масса воздуха после того, как температура в комнате возросла до 20°С? Считать, что молярная масса воздуха равна 29г/моль.

1.13. 716 мг органического соединения с формулой (С₃Н₆О)_n превраща­ется при 200°С и давлении 750 мм рт. ст. в пар объемом 242,6см³. Найти чис­ло n.

1.14. Найти химическую формулу молекулы некоторого соединения уг­лерода с кислородом, если 1 г этого вещества в газообразном состоянии соз­даёт в сосуде объёмом 1 л давление 0,56·10⁵ Па. Температура газа 27°С.

1.15. Сколько электронов содержится в кислороде, который занимает при давлении 10⁶ Па и температуре 200°С объём 1 л?

1.16. В баллоне объемом 15л находится 96 г неизвестного газа. Давле­ние газа 10⁶ Па, его температура 300К. Определить химическую формулу га­за, если в состав молекулы газа входят атомы водорода и углерода.

1.17. Определить плотность паров ртути при 420°С и давлении 2,3 мм рт. ст. Молярная масса ртути 200 г/моль.

1.18. Определить подъёмную силу воздушного шара радиусом 6 м, за­полненного гелием. Давление гелия и окружающего воздуха равно 740 мм рт. ст., температура 17°С. Молярная масса гелия 4 г/моль, воздуха 29г/моль.

1.19. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри воздушного ша­ра, чтобы шар взлетел? Диаметр шара 10 м, масса его оболочки 10 кг. Атмо­сферное давление воздуха 735 мм рт. ст., температура 27 °С, молярная масса воздуха равна 29г/моль.

1.20. На дне цилиндра лежит полый стальной шарик радиусом 2 см и массой 5 г. До какого давления надо сжать воздух в цилиндре, чтобы шарик поднялся? Температура воздуха 20°С. Считать, что для воздуха при больших давлениях справедливо уравнение состояния идеального газа.

1.21. В сосуд, на дне которого лежит твёрдый шар радиусом 5 см, нагне­тают воздух при температуре 27°С. Когда давление в сосуде становится рав­ным 2·10⁵ Па, шар поднимается. Определить массу шара. Молярная масса воздуха равна 29 г/моль.

1.22. При нагревании на 1°С объём некоторой массы идеального газа увеличился на 1/335 начального объема. Определить начальную температуру, если давление газа было постоянным.

1.23. До какой температуры нужно нагреть запаянный шар объемом 1 л, содержащий 17,5 г водяного пара, чтобы шар разорвался? Стенки шара вы­держивают давление не более 10⁷ Па.

1.24. Цилиндрическая трубка длиной 66см наполовину погружена в ртуть. Верхний конец трубки закрывают пальцем и вынимают трубку из рту­ти. Часть ртути при этом вытекает. Какой длины столбик ртути остался в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм рт. ст.

1.25. Определить плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при температуре 7°С и давлении 700 мм рт. ст.

1.26. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одного конца, содержит воздух, отделённый от наружного воздуха столбиком ртути длиной 15 см. Когда закрытый конец трубки расположен сверху, длина столбика воздуха равна 30 см, когда трубка расположена так, что открытый конец наверху, длина столбика воздуха равна 20 см. Определить атмосферное давление.

1.27. Закрытый горизонтальный цилиндр разделён поршнем на две час­ти. В одной части находится 8г кислорода, а в другой – некоторое количество гелия. Определить массу гелия, если он занимает 0,67 часть объёма.

1.28. Внутри закрытого с обоих концов горизонтального цилиндра име­ется подвижный поршень, который скользит в цилиндре без трения. С одной стороны поршня находится 3 г водорода, а с другой – 17 г азота. Какую часть объёма занимает водород?

1.29. В вертикально расположенном закрытом цилиндрическом сосуде с площадью основания 25 см находится газ, разделённый поршнем массой 1 кг на два равных отсека. Масса газа под поршнем в два раза больше массы газа над, поршнем. Найти давления газа в каждом отсеке. Тре­нием в системе пренебречь, температура в обеих частях сосуда постоянна.

1.30. При нагревании газа при постоянном объёме на 1°С его давление увеличилось на 0,2%. Определить начальную температуру газа.

1.31. В баллоне находится газ при атмосферном давлении 10⁵  Па и тем­пературе 10°С. При открытом вентиле баллон нагрели, а затем вентиль закрыли и баллон остудили до начальной температуры. Давление газа в балло­не после этого стало равно 0,7 атм. На сколько градусов нагрели баллон?

1.32. Сколько молекул воздуха вышло из комнаты объёмом 120 м при увеличении температуры от 15°С до 25°С? Атмосферное давление 750 мм рт. ст.

1.33. Из баллона объемом 10 л вследствие неисправности вентиля выте­кает водород. Начальная температура газа 7°С, давление 5·10⁶ Па. Через не­которое время при температуре 17°С манометр показал такое же давление. Насколько уменьшилась масса газа?

1.34. Определить молярную массу неизвестного газа, свойства которого соответствуют свойствам смеси 64 г кислорода и 8 г гелия.

1.35. Сухой воздух по массе состоит из азота (75,52%), кислорода (23,15%), аргона (1,28%) и углекислого газа (0,05%). Пренебрегая примеся­ми других газов, найти молярную массу сухого воздуха.

1.36. В сосуде объёмом 2 м³ при температуре 100°С и давлении 4·10⁵ Па находится смесь кислорода и 8кг сернистого газа (SO₂). Определить парциальные давления газов.

1.37. Плотность смеси азота и водорода при температуре 320 К и давле­нии 2·10⁵ Па равна 0,3 кг/м³. Найдите концентрацию молекул водорода в сме­си.

1.38. В закрытом сосуде емкостью 1 м³ находится 0,9 кг водяного пара и 1,6кг кислорода. Найти давление этой смеси на стенки сосуда при темпера­туре 600°С. Диссоциацией воды пренебречь,

1.39. В сосуде находится 14 г азота и 9 г водорода при температуре 20°С и давлении 10⁵ Па. Найти молярную массу смеси и объём сосуда.

1.40. Найти массу водяных паров в 1 м³ воздуха при 760 мм рт. ст. и тем­пературе 25°С. Относительная влажность воздуха 60%. Давление насыщаю­щего водяного пара при этой температуре равно 3167 Па.

1.41. В баллоне ёмкостью 2 м содержится смесь азота и окиси азота (NO). Определить массу окиси азота. Масса смеси равна 14 кг, температура 300 К, давление 0,6·10⁶ Па.

1.42. Плотность смеси азота и водорода равна 0,3 кг/м³. Какова концен­трация молекул азота в смеси, если концентрация молекул водорода в смеси равна 4,2·10¹⁹ см^-3?

1.43. Молярная масса смеси кислорода и 8 г гелия равна 18 г/моль. Оп­ределить массу кислорода в смеси.

1.44. В объёме 10 л содержится смесь 2 г водорода и 2 г кислорода. В ре­зультате реакции в баллоне образовалась вода. Определить парциальное давление водорода при 17°С,

1.45. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре Т, когда азот полностью диссоциирован на атомы, давление стало равно Р (дис­социацией водорода пренебречь). При температуре 2Т, когда оба газа полно­стью диссоциированы, давление в сосуде 3Р. Каково отношение масс азота и водорода в смеси?

1.46. При комнатной температуре жидкая четырёхокись азота частично диссоциирует в двуокись азота N₂O₄ => 2NO₂, которая превращается в газ. В сосуде объёмом 250 см находится 0,9 г N₂O₄ при 27°С и давлении 960 мм рт. ст. Сколько процентов четырёхокиси азота при этом диссоциировано?

1.47. Газ, имеющий молярную массу и, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две молекулы, массы которых одинаковы. Какова степень диссоциации газа (в процентах), если средняя молярная масса обра­зующейся смеси составляет 62,5% молярной массы исходного газа?

1.48. Найти массу воздуха в колодце площадью сечения 2 м² и глубиной 6 м. Температура воздуха изменяется по высоте по линейному закону от 7°С до 37°С. Молярная масса воздуха 29 г/моль. Атмосферное давление 100 кПа.

1.49. Воздух находится под давлением 0,1 МПа между двумя одинако­выми горизонтальными пластинами. Температура возрастает линейно от 17°С у нижней пластины до 117°С у верхней. Объём газа между пластинами 3 л. Найти массу воздуха между пластинами.

1.50. Газ, молярная масса которого μ, диссоциирует так, что из исход­ной молекулы образуются две одинаковые молекулы. Степень диссоциации газа равна 60%. Определить молярную массу образующейся смеси.

1.51. Давление воздуха внутри бутылки при температуре 17°С равно 0,1 МПа. На сколько градусов нужно нагреть бутылку, чтобы пробка вылете­ла? Без нагревания пробку можно вытянуть, приложив силу силой 15 Н. Площадь поперечно­го сечения пробки 3 см².

1.52. Сколько качаний нужно сделать поршневым насосом рабочим объёмом 1 л, чтобы повысить давление от атмосферного 0,1 МПа до 0,3 МПа в со­суде объёмом 10 л?

1.53. За какое число качаний поршневым насосом рабочим с объёмом 1 л можно откачать сосуд объёмом 10 л от атмосферного давления 0,1 МПа до 50 кПа?

1.54. Объём идеального газа изменяется по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится давление газа при уменьшении температуры от 327°С до 27°С?

1.55. При расширении идеального газа давление изменяется в некото­ром процессе по закону V=αp, где a > 0. Во сколько раз изменится объём га­за при увеличении температуры от 400 К до 625 К?

1.56. В некотором процессе давление газа изменяется по закону p=αV², где α > 0. Определить начальную температуру газа, если после уве­личения объёма в 1,2 раза температура газа оказалась равной 200°С.

1.57. Давление газа изменяется по закону, гдеα > 0. Во сколь­ко раз изменится температура газа при увеличении его объёма в 1,4 раза?

1.58. Определить наименьшее возможное давление идеального газа в процессе, в котором температура изменяется по закону T=T₀+αV³ , где Т₀=273 К, α=4·10⁹ К/м³, V - объём моля газа.

1.59. Найти максимальную возможную температуру идеального газа в процессе, при котором давление зависит от объёма по закону Р=Р₀ – αV³, где Р₀=0,1 МПа, α=2·10⁸ Па/м³, V - объём моля газа.

1.60. В левой части цилиндрического сосуда длиной 1 м, разделённого теплонепроницаемым поршнем, находится водород, а в правой — гелий. Объ­ём гелия в 3 раза больше объёма водорода. При нагревании гелия поршень сместился на 5 см. На сколько градусов изменилась температура гелия, если начальные температуры газов были одинаковы? Температура водорода поддерживается постоянной и равной 300 К.