II. Основы молекулярно-кинетической теории.

1.Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

где m₀– масса молекулы, <υ²> - средняя квадратичная скорость

поступательного движения молекулы, <ε_k> - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы,n– концентрация молекул, ρ – плотность.

2. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на

каждую степень свободы поступательного и вращательного движения

молекулы приходится средняя энергия .

3. Средняя энергия молекулы газа ,

где i– число степеней свободы молекулы.

3. Скорости молекул газа.

- среднеквадратичная скорость,

- средняя арифметическая скорость,

- наиболее вероятная скорость.

3. Функция распределения Максвелла

.

3. Распределение Больцмана

,

где E_П– потенциальная энергия молекулы

n– концентрация молекул, имеющих энергиюE_П,

n₀– концентрация молекул, имеющих энергиюE_П=0.

Примеры решения задач.

Задача 1.При давленииP=0,1 МПа молекулы идеального газа с количеством степеней

свободы молекулы i=5 имеют среднюю энергию <ε>=Дж. Определить концентрацию молекул газа.

Дано: Решение

i=5 Воспользуемся основным уравнением

P=Па молекулярно-кинетической теории газов.

<ε>=Дж. (1)

n- ? Так как средняя кинетическая энергия поступательного

движения молекулы , а средняя энергия

молекулы, включая кинетическую энергию вращательного движения,

,

то с учетом закона равномерного распределения энергии по степеням свободы

для <ε> получаем

. (2)

Использую (1) – (2), находим:

.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

Ответ: .

Задача 2. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и тепловую скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность равна.

Дано: Решение

Для нахождения искомых скоростей воспользуемся

формулами их определений. При этом параметры

(температуру и массу молекулы, входящие в эти формулы) выразим из уравнения состояния идеального газа.

Таким образом, получаем:

- наиболее вероятная скорость;

- средняя арифметическая скорость;

- среднеквадратичная (тепловая) скорость.

Проверка размерности:

Вычисления:

;

;

.

Ответ: ,,.

Задача 3. Найти наиболее вероятную скорость молекул газа, находящегося

в состоянии теплового равновесия, при котором скоростям молекул

и соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла.

Дано: Решение

Распределение Максвелла с точностью до постоянного

множителя имеет вид:

.

Учитывая выражения для определения наиболее вероятной скорости ,

получаем функцию распределения Максвелла в следующем виде:

.

Из условия задачи находим:

.

Для υ_Bполучим:.

Соответствие размерности очевидно.

Вычисления: .

Ответ: .

Задача 4. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено,

что среднее число их в слоях, расстояние между которыми , отличается враза. Температура. Диаметр частиц, а их плотность

на больше плотности окружающей жидкости. Определить по этим

данным число Авогадро.

Дано: Решение

Распределение частиц, взвешенных в жидкости,

подчиняется закону Больцмана

_, (1)

Поле тяжести Земли в пределах рассматриваемых

изменений высоты можно считать однородным. Если

учесть, что частицы гуммигута испытывают действие

выталкивающей силы Архимеда, (2)

где V– объем частицы, то для потенциальной энергии частицы следует записать:

Число частиц на высоте h₁равно,

а на высоте h₂>h₁: .

Найдем отношение n₁/n₂:. (3)

Учитывая, что и, из (3) находим.

Проверка размерности:

.

Вычисления:

.

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

2.1. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и водорода при одинаковых температурах.

2.2. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа равна 500 м/с при давление 4·10⁵ Па. Найти плотность газа.

2.3. Найти среднюю арифметическую и среднюю квадратичную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 2·10⁵  Пa равна 0,8 г/м² .

2.4. Во сколько раз средняя квадратичная скорость пылинок, взвешен­ных в воздухе, меньше средней квадратичной скорости молекул воздуха?

Масса пылинки 10^-8 г. Воздух считать однородным газом с молярной массой 29г/моль.

2.5. Два одинаковых сосуда содержат одинаковое число молекул кисло-

рода. Сосуды соединены краном. В первом сосуде средняя квадратичная скорость молекул равна 400 м/с, во втором — 500 м/с. Какой будет эта ско­рость, если открыть кран, соединяющий сосуды?

2.6. При какой температуре средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости на Земле?

2.7. При какой температуре молекулы кислорода имеют такую же сред­нюю квадратичную скорость, как и молекулы водорода при температуре 100 K?

2.8. Колба объемом 4 л содержит некоторый газ массой 0,6 г под давлени­ем 200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа.

2.9. Смесь гелия и аргона находится при температуре 1,2·10 К. Опреде­лить среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

2.10. Определить среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость равна 1 км/с.

2.11. При 0°С вычислить среднюю квадратичную скорость теплового дви­жения молекулы: 1) водорода; 2) азота; 3) кислорода.

2.12. Найти средний квадратичный импульс молекулы водорода Н₂ при температу­ре 27°С.

2.13. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода равна средней квадратичной скорости молекул азота при темпера­туре 100°С?

2.14. На рис. 2.1 изображена молекула кислорода. Найти значение средней

квадратичной частоты вращения молекулы кислорода при 27°С. Момент инерции молекулы кислорода относительно оси АА' равен 19,2·10^-40  г·см³

2.15. Найти кинетическую энергию теплового движения всех молекул ки­слорода, занимающих объем 5,5 л при давлении 2·10⁵  Па. Колебаниями атомов в молекулах пренебречь.

2.16. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре 300 К. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость молекулы, если ее момент инерции 2,1·10^-39 г·см .

2.17. Считать, что воздух состоит из молекул азота, кислорода, во­дорода и углекислого газа. Молекулы какого из газов обладают наибольшей средней скоростью?

2.18. Сравнить средние квадратичные скорости молекул двух газов с па­раметрами: a) p₁= 600 кПа, р=1,2 кг/м³; б) Р₂=400 кПа, ρ₂=0,8 кг/м³.

2.19. При какой температуре средняя кинетическая энергия теплового движения атомов гелия будет достаточна для того, чтобы атомы гелия пре­одолели земное тяготение и навсегда покинули земную атмосферу?

2.20. Частицы гуммигута диаметром 10^-6 м участвуют в броуновском дви­жении. Плотность гуммигута 1.2·10³ кг·м³. Найти среднюю квадратичную скорость частиц при 17°С.

2.21. В момент взрыва атомной бомбы температура достигает 10⁷°С. Считать, что при этой температуре молекулы полностью диссоции­рованы на атомы, а атомы ионизированы. Найти при этих условиях среднюю квадратичную скорость иона водорода.

2.22. Пользуясь распределением Максвелла и понятием относительной скорости а как отношения скорости молекулы υ к наиболее вероятной ско­рости υ_в, получить распределение в приведенном виде:

2.23. Определить вероятность того, что какая-нибудь молекула кислорода при температуре 0°С имеет скорость, точно равную наиболее вероятной ско­рости.

2.24. Перейти от распределения Максвелла для молекул по интервалам скоро­стей к распределению молекул по интервалам энергий:

где ε — кинетическая энергия молекулы, υ_B - наиболее вероятная скорость.

2.25. Доказать, что максимум функции распределения молекул по интер­валам энергий:

соответствует скорости .

2.26. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной не более чем на 1%?

2.27. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от средней квадратичной скорости не более чем на 1%?

2.28. Какая часть молекул азота при нормальных условиях имеет скоро­сти, лежащие в интервале от 99 м/с до 101 м/с?

2.29. При какой температуре число молекул азота, обладающих скоростя­ми в интервале от 299 м/с до 301 м/с, равно числу молекул, обладающих ско­ростями в интервале от 599 м/с до 601 м/с?

2.30. Сколько процентов молекул азота при температуре 280 К обладает скоростями в интервале от 500 м/с до 510 м/с?

2.31. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной не более чем на 10 м/с, при температуре 0°С.

2.32. Водород находится при температуре 273 К. Определить отношение числа молекул водорода, обладающих скоростями в интервале от 2000 м/с до 2001 м/с, к числу молекул, обладающих скоростями от 1000 м/с до 1001 м/с.

2.33. Определить температуру при которой функция распределения мо­лекул кислорода по скоростям имеет максимум при скорости 500 м/с.

2.34. Сколько процентов молекул кислорода обладает скоростями, отли­чающимися от наиболее вероятной скорости не более чем на 10 м/с, при тем­пературе 300°С?

2.35. Найти температуру кислорода, при которой скоростям молекул 400 м/с и 600 м/с соответствуют одинаковые значения функции распределе­ния Максвелла.

2.36. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температуру считать одинаковой и равной 273 К.

2.37. Определить показания барометра на высоте Останкинской телевизи­онной башни равной 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 280 К.

2.38. При подъеме аэростата барометр изменил свое показание на 11 кПа. На какой высоте находится аэростат, если на поверхности Земли барометр показывал 0,1 МПа? Температуру воздуха считать одинаковой и равной 290 К.

2.39. Чему равна концентрация молекул воздуха на высоте 2км над уров­нем моря? Давление на уровне моря 101 кПа, а температура 10°С. Изменени­ем температуры с высотой пренебречь.

2.40. Пылинки массой 10^-10 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температуру воздуха во всем объеме считать равной 27°С.

2.41. У поверхности Земли концентрация молекул водорода почти в 10⁶ раз меньше, чем концентрация молекул азота. На какой высоте при 0°С кон­центрация молекул водорода и молекул азота будут равны?

2.42. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обна­ружено, что их среднее число в слоях, расстояние между которыми 40 мкм, отличается друг от друга в 2 раза. Диаметр частиц 0,4 мкм, а их плотность на 0,20 г/см больше плотности окружающей жидкости. Температура среды 290 К. Определить по этим данным число Авогадро.

2.43. Найти массу водяного пара, заключенного в столбе атмосферного воздуха сечением 1,0 м² и высотой 4,15 км. Температура воздуха во всех сло­ях постоянна и равна 15°С. Парциальное давление паров воды на поверх­ности Земли 10³  Па.

2.44. Толщина слоя воздуха, в пределах которого концентрация взвешен­ных в воздухе пылинок различается не более чем на 1%, равна 4,2 мм. Опре­делить массу пылинки. Температуру воздуха считать одинаковой и равной 300 К.

2.45. На высоте 123 км от поверхности Земли концентрация молекул водо­рода и азота равны. Вычислить отношение концентрации молекул водорода и азота у поверхности Земли.

2.46. При наблюдении в микроскоп взвешенных в воде частиц гуммигута оказалось, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми 40 мкм, отличается друг от друга в 2 раза. Плотность гуммигута 1,2 г/см³. Тем­пература среды 290 К. Определить диаметр частиц.