Функция распределения принимает вид

.

Обычно используется обозначение

. (4.11)

Интеграл не выражается через элементарные функции. Это так называемый интеграл вероятности. Для него составлены таблицы. Поскольку функцияФ(u) симметрична, то .

Вероятность нахождения случайной величины X в диапазоне [, ] определится выражением

. (4.12)

В ряде таблиц приводится значение интеграла для. Приu=0 Ф(u)=0,5.

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеяния m.

Вероятность попадания величины на участок :

;;

Ф(1)=0,8413; Ф(-1)=1-Ф(1)=1-0,8413=0,1587;

.

Вероятность того, что случайная величина не попадет на этот интервал

.

Вероятность попадания на интервал :

,;

;.

Вероятность попадания на интервал :

,;

;.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина попадает на интервал , равна 99,72%. Вероятность того, что она не попадет на этот интервал, равна 0,3%. Отсюда следует так называемое «правило трех сигм», согласно которому с практической достоверностью можно считать, что диапазон изменения случайной величины ограничен пределами .

13. Никакая математическая теория не изучает непосредственно вещи, с которыми сталкиваемся на опыте. Математическая теория всецело принадлежит к области понятий и оперирует с чисто абстрактными объектами. Однако теория служит моделью некоторой группы явлений реального мира. Абстрактные объекты теории имеют своих двойников в реальном мире.

Во многих случаях задача проверки согласованности теории с опытом, т.е. адекватности модели, описывающей исследуемые явления, производится следующим образом: по математической модели рассчитываются некоторые характеристики процесса, затем проводятся опыты на реальном объекте и экспериментально определяются те же характеристики.

Очевидно, что полного совпадения результатов может не быть. Фактически перед проверкой адекватности выдвигается некоторая гипотеза о соответствии опытных данных некоторому теоретическому закону. В дальнейшем эта гипотеза должна быть или принята, или отвергнута.

Для проверки статистических гипотез используются критерии значимости. Идея применения критериев заключается в следующем. На основании данного статистического материала необходимо проверить гипотезу о том, что случайная величина Х подчиняется определенному закону распределения. Эта гипотеза называется нулевой и обозначается как H₀. Гипотеза о том, что случайная величина распределена не по рассматриваемому закону, называется альтернативной и обозначается как H₁. В результате анализа наблюдаемых реализаций случайной величины X мы должны принять гипотезу H₀ и отвергнуть H₁ или принять H₁ и отвергнуть H₀.

Для того, чтобы принять или отвергнуть данную гипотезу, рассмотрим некоторую величину U, характеризующую степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величина U может быть выбрана различными способами. Например, в качестве U можно взять сумму абсолютных значений расхождений теоретического и статистического распределений, сумму квадратов отклонений, сумму квадратов отклонений с некоторыми весовыми коэффициентами, сумму отклонений четвертой степени или наибольшее значение отклонений. Допустим, что величина U выбрана тем или иным способом. Очевидно, что это есть некоторая случайная величина. Закон распределения этой случайной величины зависит от закона распределения величины Х и от числа опытов n.

Предположим, что в качестве меры расхождения U была взята сумма квадратов отклонений теоретического и полученного экспериментальным путем значений случайной величины. Теоретический диапазон изменения величины U будет равен [0, +]. Выберем некоторую положительную величину u*, которая разобьет этот диапазон на две области. Будем считать, что если наблюдаемая величина u₀.попадает в область u₀>u*, то наблюдения не согласуются с рассматриваемой гипотезой; если же во вторую – то гипотеза подтверждается результатами наблюдений. Первая область называется критической областью критерияU, вторая – областью принятия гипотезы. Эти области показаны на рис.5.1.

. (5.2)

Если же в качестве меры расхождения было принята величина наибольшего расхождения между теоретическим и экспериментальным значениями случайной величины, то диапазон возможных значений U будет равен [-, +]. В этом случае следует считать не согласующимися с гипотезой те наблюдения, для которых u > u^* и u < -u^*. Здесь появляются две критические области, в которых нулевая гипотеза отвергается. Данная ситуация показана на рис.5.2.

Если известно распределение вероятности наблюдений, соответствующее проверяемой гипотезе H₀, то величину u* можно выбрать таким образом, чтобы при выполнении гипотезы H₀ вероятность отвергнуть гипотезу H₀ была равна заранее заданной величине ,

. (5.3)

Вероятность , которую можно фиксировать произвольным образом, называется уровнем значимости критерия или размером критерия. Она определяет вероятность отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна, то есть совершить ошибку первого рода. Выберем u^* таким образом, чтобы величина  была столь малой, чтобы можно считать практически несомненным, что событие с вероятностью  не произойдет в единичном опыте.

14. При обработке статистического материала приходится решать вопрос, как подобрать для данного статистического ряда теоретическую кривую распределения. Такая задача называется выравниванием или сглаживанием статистических рядов.

Аналитическое выражение выбранной кривой распределения зависит от нескольких параметров. Задача выравнивания статистических рядов переходит в задачу выбора тех значений параметров, при которых соответствие между статистическим и теоретическим распределением оказывается наилучшим.

Предположим, что исследуемая величина Х есть ошибка измерения, возникающая в результате суммирования множества независимых элементарных ошибок. можно ожидать, что величина Х подчиняется нормальному закону распределения с плотностью

.

Задача выравнивания сводится к соответствующему выбору m и .

Наиболее часто для оценки совпадений распределений используется критерий ² Пирсона (хи-квадрат).

Предположим, что произведено n опытов, в каждом из которых случайная величина Х приняла определенное значение. Результаты опытов сведены в k разрядов и оформлены в виде статистического ряда.

Ni	x1-x2	x2-x3	…	xk-xk+1
p*i	p*1	p*2	…	p*k

Зная теоретический закон распределения, можно найти вероятности попадания случайной величины в каждый из интервалов p₁, p₂, , p_k.

Проверяя согласованность теоретического и статистического рядов, будем оценивать их расхождение по сумме квадратов отклонений , взятых с некоторыми весовыми коэффициентамис_i:

. (6.1)

Коэффициенты c_i вводятся потому, что в общем случае отклонения, относящиеся к различным разрядам, нельзя считать равноценными по значимости. Одно и то же по абсолютной величине отклонение можно считать малым, если значениеp_i велико, или очень большим, если p_i мало.

Пирсон показал, что если взять , то при большихn закон распределения величины U практически не зависит от функции распределения F(x) и от числа опытов n, а будет определяться только числом разрядов k. При увеличении n закон распределения выбранной таким образом функции

_(6.2)

приближается к «распределению хи-квадрат». Сама функция в этом случае обозначается как . Для удобства вычислений функцию расхождения хи-квадрат приводят к виду

. (6.3)

Здесь m_i – количество попаданий случайной величины в i-ый интервал.

Распределение ² зависит от параметра , называемого «числом степеней свободы» распределения. Число степеней свободы  равно числу разрядов минус число независимых условий (связей), наложенных на частоты p^*_i. Примерами таких связей могут быть:

1) , {это должно быть всегда};

2) , {среднее арифметическое должно совпадать с математическим ожиданием};

3) . {Должны совпадать теоретическая и выборочная дисперсии}.

Могут быть другие связи.

Для распределения ² составлены специальные таблицы. Пользуясь ими, можно для каждого значения ² и числа степеней свободы  найти вероятность p того, что величина, распределенная по закону ², превзойдет это значение.

Распределение ² дает возможность оценить степень согласованности теоретического и статистического распределений. Будем исходить из того, что величина X действительно распределена по закону F(x). Тогда вероятность p, определенная по таблице, есть вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и статистического распределений будет не меньше, чем полученное значение ². Если эта вероятность p мала, то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения случайной величины Х есть F(x).

Таким образом, соответствие теоретического и статистического распределений проводится в следующей последовательности:

1). Определяется мера расхождения

.

2). Определяется число степеней свободы

=k – s , где s – число наложенных связей.

3). По  и ² по таблице определяется вероятность того, что величина, имеющая распределение ² с  степенями свободы, будет иметь отклонение, большее, чем наблюдаемое в опыте ² .

Насколько мала должна быть вероятность р для того, чтобы отвергнуть гипотезу о совпадении распределений, является неопределенным вопросом. На практике, если p < 0,1 , необходимо проверить эксперимент и в случае повторения результатов попытаться подобрать другой закон распределения.

Для примера рассмотрим обработку результатов стрельб. Было произведено 500 выстрелов. Результаты отклонения попаданий от центра мишени сведены в статистический ряд.

i	-4,-3	-3,-2	-2,-1	-1,0	0,1	1,2	2,3	3,4
mi	6	25	72	133	120	88	46	10
P*i	0,012	0,05	0,144	0,266	0,24	0,176	0,092	0,02

Вычислим среднее арифметическое и выборочную дисперсию, считая, что величина внутри интервала принимает значение, равное середине интервала

.

Предположим, что разброс значений имеет нормальное распределение. Тогда принимаем, что .