книги из ГПНТБ / Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие

В = Ж. Применив операцию")^ к правой и левой частям первого урав­ нения Максвелла, получим:

С учетом В — Ж. Подставим сюда значение rot Ж из второго уравнения

где Зд'л — часть вектора поляризации, линейно зависящая от напря­ женности электрического поля, а 3й н Л — нелинейная часть вектора поляризации.

Для простоты будем считать, что линейная часть вектора поляри­ зации 3й'], связана с вектором напряженности электрического поля со­ отношением (11.3,а).

Тогда

290

Будем учитывать пространственную зависимость напряженности электрического поля и нелинейной поляризации лишь в направлении

Задачу генерации второй гармоники поставим следующим.обра­

оз. В среде же могут одновременно распространяться как волна основ­ ной частоты, так и гармоники.

вать в нелинейной части вектора поляризации только члены, квад­ ратичные по компонентам вектора напряженности электрического

что поле основной частоты направлено вдоль некоторого направления

Множитель 2 в выражении (11.48,а) появляется вследствие того, что в сумме (11.47) есть по два одинаковых члена, содержащих ехр (i(àt) и ехр (—iat). Действительно, член с ехр (tat) получается, если взять (os = — и, cùr = 2со, а также сог = —со и COS = 2<B.

291

Приведем еще некоторые формулы, которые понадобятся в после­

Щг = ет [Ат (z) ехр і (кг z — сог t) + A* (z) ехр — i (kT z—cor t)\ ( 11.46а)

Ограничимся для простоты изотропным случаем. Тогда, подстав­ ляя выражения (11.48) и (1.148а) в уравнение (11.45) и беря волны, распространяющиеся в среде, в виде (11.46), получаем, приравнивая члены при экспонентах с одинаковыми показателями, следующие урав­ нения для амплитуд волны и ее второй гармоники:

Отметим, что при этом получается не одна, а две пары уравнений ком­ плексно сопряженных между собой. Учтем, что между компонентами тензорах;;; выполняется соотношение %аЪЪ((л, со) = %ЬаЬ(—2со,со). Тогда,

Заменим теперь комплексные амплитуды Е с соответствующими индексами согласно выражению (11.49), причем будем считать, что комплексные амплитуды Ат (z) как функции z меняются достаточно

292

небречь. В результате получаем два уравнения для комплексных ам­

Отметим, что переход от уравнений (11.52), (11.52а) к уравнениям (11.53), (11.53а) является примером достаточно общего подхода к опи­

означает квазистационарное приближение; заметное изменение поля происходит на расстояниях, много больших длины волны. Уравнения квантового генератора (6.76) также получены в квазистационарном приближении, однако если при выводе уравнений (11.53), (11.53а) предполагалось медленное изменение полей в пространстве, то при

выводе уравнений (6.76) — медленное [по сравнению с периодом

Т = |р| изменение всех переменных во времени.

Наконец, используем для комплексных амплитуд Аг вид (11.50). Подставляя этот вид в уравнение (11.53) (11.53а) и разделяя действи­ тельную и мнимую части, получаем вместо уравнений (11.53), (11.53а):

Наиболее интересно решение системы( 11.54), если амплитуда второй гармоники мала по сравнению с амплитудой волны основной

лой скобке третьего уравнения системы (11.54) можно пренебречь первым членом по сравнению со вторым. Нетрудно показать непо­ средственной подстановкой, что решение системы (11.54) при сделан­ ных допущениях имеет вид

293

Используя формулу (11.56), запишем выражение для потока энер­

т. е. выражение для потока энергии волны с частотой 2со в точке z через поток энергии падающей волны (частота со) в точке z — 0.

Видно, что в точке 2 = 0 поток І2 (г = 0) = 0, т. е. на границе среды волны с частотой 2со нет. В среде падающая волна создает не­ линейную поляризацию, и за счет этого возникает волна на частоте 2со. Интенсивность волны по мере увеличения z растет, но лишь до тех

пор, пока аргумент синуса не станет равным у . Это будет при z = г0. При z > z0 волна на частоте 2со начинает ослабляться вплоть до точки

294

2 = 2z0, где ее интенсивность вновь падает до нуля, а энергия, запа­ сенная в волне, передается опять падающей волне. При z > 2z0 ин­ тенсивность волны на частоте 2а» опять растет, затем падает и при z = 4z0 снова обращается в нуль. Точки, в которых интенсивность волны на частоте 2со обращается в нуль, нетрудно найти, приравняв аргумент синуса в выражении (11.58) целому числу я:

~ [п (2(0) — п (СО)] Zq — nq,

где q—целое число.

Отсюда

qX

кварцевую пластинку, изменяя длину оптического пути, проходимого

Изменение угла \р эквивалентно изменению длины пути падающей

второй гармоники на выходе кварцевой пластинки проходит перио­ дически через ряд максимумов и минимумов.

В экспериментах с кварцевой пластинкой, в которых была снята

295

означает, что ничтожная доля энергии падающей волны преобразова­ лась в энергию второй гармоники. Однако существуют условия, при которых почти вся энергия падающей волны передается второй гармо­ нике. Для выяснения этих условий прежде всего обсудим вопрос о фа­ зовых скоростях падающей волны и ее второй гармоники в среде.

Фазовая скорость падающей волны Ѵф (со) определяется через ча­ стоту волны и волновой вектор к, соотношением (со) ----- -~. Выра­ жая фазовую скорость волны через показатель преломления среды,

Вернемся снова к формуле (11.59). Если разность показателей преломления на частоте второй гармоники [n (2co)j и частоте падаю­ щей волны In (со)] уменьшается, то расстояние между соседними точка­ ми, в которых интенсивность второй гармоники обращается в нуль, увеличивается; при выполнении равенства п (2со) = п (со) это расстоя­ ние обращается в бесконечность. Условие п (2со) = п (со) нетрудно записать в виде равенства фазовых скоростей соответствующих волн:

Как было установлено выше [см. формулу (11.61)1, фазовые ско­ рости основной волны и ее второй гармоники одинаковы, если выпол­

при выполнении условия синхронизма величина 2z0 будет максимальна,

296

первым членом разложения. Тогда вместо формулы (11.58)получим:

Эта формула определяет нарастание потока энергии второй гармо­ ники при соотношении между (разовыми скоростями волн, близком к выполнению условия синхронизма, и при выполнении условия син­ хронизма; поток энергии второй гармоники при этом растет пропор­ ционально квадрату расстояния.

Выясним вопрос о том, как можно выполнить условие синхрониз­ ма (11.61), (11.62). Оказывается, его удается выполнить в двулучепреломляющих кристаллах. В качестве примера разберем одно­ осный кристалл KDP (химическая формула К Н 2 Р 0 4 — дигидрофосфат калия).

В кристалле KDP могут распространяться две волны с одинаковой частотой, но с разными фазовыми скоростями, так называемые обык­ новенная и необыкновенная волны. На рис. 11.3, а показаны волновые поверхности в кристалле KDP. Здесь оптическая ось совпадает с осью 2. Фронт обыкновенной волны сферический, и его сечение плоскостью рис. 11.3, а показано окружностью с индексом п0 (со) для основной волны и п0 (2со) для второй гармоники.

Фазовая скорость необыкновенной волны в кристалле KDP за­ висит от направления распространения, и фронт необыкновенной волны представляет собой поверхность эллипсоида вращения (в пло­ скости рисунка это эллипсы с индексами пя (со) для падаюшей волны и па (2<м) для второй гармоники). В кристалле КДЗР показатель пре­ ломления для необыкновенной волны (па) меньше, чем показатель

297

преломления (п0) для обыкновенной волны, поэтому эллипсы, являющиеся проекциями волновых поверхностей необыкновенной вол­ ны на плоскость рис. 11.3, а, вытянуты вдоль оси г. Отметим, что

стоте ю равна фазовой скорости необыкновенной волны па частоте 2ш:

§11.4. Законы сохранения энергии

иимпульса волн при нелинейных взаимодействиях

Как следует из предыдущего параграфа, процесс преобразования падающей волны <»! = со в волну частоты со2 = 2со происходит эф­ фективно, если для волн одновременно выполняется закон сохранения

выше было установлено, что такое преобразование происходит наиболее эффективно при выполнении условия синхронизма, т. е. при равенстве

1. е. закон сохранения импульса квантов при образовании второй гар­ моники.

На частном примере преобразования волны частоты со в волну ча­ стоты 2со мы показали, что этот процесс наиболее эффективен при одно­ временном выполнении закона сохранения энергии и импульса для взаимодействующих волн. Однако этот результат справедлив и при других нелинейных взаимодействиях. Можно обобщить его на случай

распространения в среде трех волн с частотами со1( со2, ю 3 и волновыми

298

пространяются в ней, а третья волна (с частотой со3 и волновым вектором ks) возникает в среде под влиянием нелинейного взаимодействия пер­ вых двух волн. Генерация третьей волны в среде происходит наиболее эффективно, если для трех волн одновременно выполняется закон со­ хранения энергии и импульса, т. е.

для случая вычитания двух волн. Отметим, что для осуществления про­

ос^и волновым вектором k± в две волны с частотами со2 исо3 и волновыми

Этот процесс дает возможность создавать лазеры с плавно перестраи­ ваемой частотой. Действительно, пусть нелинейный кристалл, через который пропускается мощная волна частоты ю1 (обычно она назы­ вается волной накачки), помещен в открытый резонатор, собственные частоты которого совпадают с частотами ю2 и со3. Тогда, если выпол­ няются условия синхронизма (11.65а), то при достаточно больших

ходимо, чтобы наряду с волной частоты % через кристалл пропускалась хотя бы одна из волн частоты ы2 или со3 (достаточно слабой волны). В резонаторе роль этих «затравочных» волн играют собственные флук­ туации излучения, неизбежно имеющие место в кристалле.

Так как частоты со2 и ш3 , для которых выполняется условие син­

299