книги из ГПНТБ / Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие

Р А 3 В 5 Л Iii

ВЗ А И М О Д Е Й С Т В ИЕ М О Щ Н Ы Х КОГЕРЕНТНЫХ ПОТОКОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ

Появление мощных источников когерентного светового излучения (лазеров) привело к появлению новой большей области исследований, которую можно назвать взаимодействием мощных когерентных пото­

Кроме того, существует второе направление, которое в литературе называют воздействием излучения мощных лазеров на вещество (ис­ парение твердых тел, световая искра, получение и нагревание плазмы и т. д.). Фактически сюда относят все остальные эффекты за исклю­ чением оптических.

Основной материал данного раздела посвящен проблемам нели­ нейной оптики. Все остальные эффекты кратко рассмотрены в послед­ нем параграфе «Воздействие излучения мощных лазеров на вещество».

Г Л А В А 11

НЕКОТОРЫЕ В О П Р О С Ы Н Е Л И Н Е Й Н О Й ОПТИКИ

До появления лазеров число нелинейных оптических эффектов можно было перечислить по пальцам. Это, например, комбинационное рассеяние света, впервые наблюдавшееся Ч. Раманом, К. Кришнаком в жидкостях и Л. И. Мандельштамом, Т. С. Ландсбергом в твердых телах. Существовавшие до лазеров источники давали световые волны слишком малой интенсивности и как следствие этого большинство наблюдаемых оптических эффектов не зависело от интенсивностей волн. Распространение таких волн в среде описывается линейными дифференциальными уравнениями, поэтому оптика до появления лазе­ ров была в основном линейной.

280

Только после появления принципиально новых источников света —

ными, нелинейные явления в оптике стали предметом пристального изучения.

Заметный вклад в нелинейную оптику внесли советские ученые С. А. Ахманов и Р. В. Хохлов. В 1964 г. за работы по нелинейной оптике им была присуждена Ломоносовская премия. Из зарубежных ученых следует отметить П. Франкена и Н. Бломбергена.

§ 11.1. Основные понятия. Поляризация диэлектрика

в постоянном электрическом поле

Задача этого параграфа — напомнить некоторые положения, необ­ ходимые для понимания нелинейных оптических явлений, и проиллю­ стрировать их на примере диэлектрика в постоянном электрическом поле.

Любой электромагнитный процесс в среде описывается уравне­ ниями Максвелла:

Одних уравнений Максвелла недостаточно для решения электро­ магнитной задачи, нужно написать также так называемые материаль­ ные уравнения, устанавливающие дополнительные связи между век­ торами, входящими в уравнения (П.І). Эти материальные уравнения

Уравнения (11.2) устанавливают связь между вектором макро­ скопической поляризации среды З0', вектором макроскопической на­ магниченности среды Ж и векторами D и В, а также между плотно­ стью тока / и напряженностью электрического поля Щ. Ниже не бу-

дем учитывать магнитные свойства среды, поэтому все внимание сконцентрируем на первом из материальных уравнений.

Макроскопическая поляризация среды зависит от электрического поля Щ и, если ввести восприимчивость среды эта зависимость примет вид (изотропный случай)

Восприимчивость среды в общем случае зависит от напряженности поля.

Если подставить равенство (11.3) в первое уравнение (11.2), то это уравнение примет вид

В слабых полях восприимчивость среды, а следовательно, и ди­ электрическая проницаемость — константы, не зависящие от напря­ женности электрического поля, а равенства (11.3), (11.4) и (11.4а) имеют вид:

Таким образом, в слабых полях связь между макроскопической поляризацией среды и вектором напряженности электрического поля линейна. Это означает по существу, что реакция среды на внешнее поле является линейной.

Нелинейные эффекты появляются лишь тогда, когда поля доста­ точно сильны и величины % и г уже нельзя считать не зависимыми от напряженности поля. В этом случае справедливы общие уравнения (11.3), (11.4) и (11.4а), а восприимчивость среды и диэлектрическая проницаемость существенно зависят от напряженности поля.

Чтобы проиллюстрировать появление нелинейной зависимости величин X и е> вычислим их в рамках простой классической задачи.

приобретет дипольный момент.

Зададимся простейшей моделью атома: пусть имеются два точечных заряда: положительный (ядро или атомный остаток) и отрицательный (электрон). В отсутствие внешнего поля положение точечных зарядов совпадает. Во внешнем поле заряды разойдутся. Если смещение/ элек-

282

Таким образом, восприимчивость % [см. определение (11.3)1 имеет

вид

и является нелинейной функцией напряженности поля. Если же поле достаточно слабое, то членом, пропорциональным <§2, можно пре­ небречь (это означает, что смещение г мало и в выражении для / у мы пренебрегаем членом qr3) н восприимчивость становится постоян­ ной величиной. Тогда для макроскопической поляризации и величины восприимчивости в случае слабого поля имеем следующие выражения:

При переходе от формулы (11.13) к формуле (11.14) мы опериро­ вали понятием «слабое поле». Когда говорят о слабом поле, имеют в ви­ ду поля, по порядку величины значительно меньшие внутриатомных, а под сильными полями подразумевают поля, близкие к внутриатом­

анизотропна, то формулы следует изменить. Восприимчивость среды и диэлектрическая проницаемость в анизотропной среде вместо ска­ ляров становятся тензорами второго ранга, а связь между векторами

где ôj; — единичный тензор.

Тензор диэлектрической проницаемости выражается через тензор

Отметим, что в записи (11.15), (11.16) подразумевается суммиро­ вание по повторяющимся индексам. Например, в декартовой системе координат, где индексы i, j принимают значения x, у, z, связь (11.16) в развернутом виде выглядит так:

еосх $ х ~Ь ежу &у ~Ьежг <° г>

D y " Еух ^х ~t~ ^уу <°у ~Ь6г/г ^г» ггх $х + ггу $у ^"ezz $ z-

384

Тензоры %jj и г и — это симметричные тензоры второго ранга. Например, тензор е и в декартовой системе координат имеет вид

женность электрического поля не слишком велика, то компоненты тен­ зора восприимчивости можно разложить в ряд Тейлора по компонен­ там поля. Оставив только первые три члена разложения, имеем следую­

Тензор % i j k отличен от нуля лишь для кристаллов, которые обла­ дают пьезоэлектрическими свойствами. Для других кристаллов, а так­ же для изотропных сред тензор %цк равен нулю.

Если подставить выражение (11.18) в формулу (11.15), то зависи­

Разложение (11.19) является общим для любых сред и любого поля (постоянного или высокочастотного). Его часто берут как исходное при анализе нелинейных процессов, причем тензоры % i j h и дІІІа

считают феномелогическими величинами, определяемыми экспери­ ментально. Однако, строго говоря, соотношение (11.19) должно быть получено в рамках микроскопического подхода.

§11.2. Поляризация диэлектрика

всветовом поле

ного момента, которая использована в предыдущем параграфе. По­ скольку напряженность электрического поля теперь зависит от вре­ мени, необходимо решать динамическую, а не статическую задачу для движения электрона. Очевидно, уравнение движения электрона запи­ шется в виде

285

Сила трения / т =•• —ту.л где уя декремент затухания, т. е.

сила трения пропорциональна скорости движения электрона.

Сила трения вводится в уравнение для того, чтобы учесть возмож­ ные потери энергии электроном.

Подставляем явное выражение для сил в уравнение (11.20), при­

Из равенства (11.5) выражаем смещение /-через поляризацию 3s ' и,

Пусть поле $ (/) меняется по гармоническому закону:

'£(t) = <S0cos (ùt.

Тогда будем искать решение для поляризации в виде

SP' = °р0 cos (at• + Ф),

где ёРо и ф — константы, которые надо определить.

Дифференцируя выражения для & ' нужное число раз, подставляем его в уравнение (11.22) и получаем:

((ùl —со2) (cos (ùt cos ф — sin at sin ф) —

m

Приравнивая по отдельности члены при cos (ùt и sin at нулю, имеем:

а подставляя это выражение во второе равенство (11.24), получаем:

286

Следовательно, решение для поляризации имеет вид

Обсудим это выражение. Прежде всего поляризация меняется с той же частотой со, что и высокочастотное электрическое поле. Кроме того, амплитуда поляризации существенно зависит от соотношения частот con и со. В частности, если со = со0 (резонанс), то амплитуда поляри­ зации максимальна. Вдали от резонанса, т. е. там, где | со — со0 | > у3 , справедливо следующее приближенное равенство:

(мы использовали здесь предположение о том, что со А ; со0 и тогда, очевидно, соо + со А ; 2СО). В этом случае фаза поляризации близка к нулю, как видно из выражения (11.25). Будем считать ее равной нулю. Тогда поляризация

где величина %(со) зависит от частоты и равна:

и мы приходим к формуле (11.14).

До сих пор предполагалось, что на электрон действует поле малой

лого смещения электрона). Теперь же будем считать, что напряжен­ ность светового поля и смещение электрона могут быть достаточно

Отсюда, используя равенство (11.5), найдем уравнение для поля­ ризации

287

d2 £f> '

н о в - ^ р - и co25ù' и им можно пренебречь. Нелинейный член, пропорцио­ нальный 55 '3 , будем также считать малым (первого порядка малости). Решение для поляризации 3"д' будем искать в виде суммы двух членов:

Подставляя вид решения (11.32) в уравнение (11.31) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядка малости, получаем два уравнения:

Это уравнение гармонического осциллятора, на который дейст­ вует внешняя сила (правая часть уравнения). Внешняя сила состоит из двух членов: один меняется с частотой со, другой —• с частотой Зсо. Поэтому будем искать решение (11.36) в виде

288

Подставляя его в уравнение (11.36) и приравнивая порознь ко­ эффициенты при cos со/ и cos Зсо/ нулю, получим:

а величина %(co) определяется формулой (11.29).

Следовательно, в сильном световом поле частоты со поляризация является не только гармонической функцией частоты со. В поляриза­ ции появляется компонента частоты Зсо. Известно, что заряд, совершаю­ щий гармоническое колебание с некоторой частотой, излучает моно­ хроматическую электромагнитную волну той же частоты. Поэтому в рассмотренной задаче появляются две волны: одна с частотой со, другая — с частотой Зсо.

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле появляются гармоники (конкретно третья гармоника). Далее разберем более строго генерацию второй гармоники.

§ 11.3. Генерация второй гармоники

На рис. 11.1 показана установка для наблюдения генерации второй гармоники световой волны в кварце.

Основные элементы установки — рубиновый лазер / и тонкая квар­ цевая пластинка 3. Световая волна от рубинового лазера фокусируется линзой 2 на кварцевую пластинку. Выходящее из пластинки излуче­ ние проходит через призму и попадает на фотопластинку. После про­ явления на ней видны два пятна: одно образуется световой волной от

Для описания этого явления будем исходить из уравнений Мак­ свелла (11.1). Магнитными свойствами среды пренебрежем и будем считать, что вектор макроскопической намагниченности среды Ж равен нулю. Тогда из второго материального уравнения (11.2) имеем

289