п о з ж е ) . П о д х о д я щ и м ли н ей н ы м п р е о б р а зо в а н и ем
(12.19)
у, -
/=і
где функции hij(x) в х=оо аналитичны или имеют полюсы, си стема” (12.17) преобразуется в другую с коэффициентами вида (12.18), но не обязательно при тех же q. Две системы вида (12.17), связанные подстановкой (12.19), называются эквива лентными относительно особой точки оо. Также вводится поня тие эквивалентных особых точек. Опираясь затем на доказанную лемму из теории аналитических функций, Биркгоф доказывает важную теорему о том, что каждая система линейных дифферен циальных уравнений вида (12.17) с особой точкой ранга q+l для х = оо в отношении особой точки х=оо эквивалентна кано нической системе вида
d Y |
п |
x —fa |
= ^ Рц (*) YJ (( = 1,2,..., п), |
|
/=1 |
где Pij(x) — полиномы не выше <7+ 1-й степени.
Таким образом, достигалось приведение к тому случаю, кото
|
|
|
|
рый уже обсуждался ранее Пуанкаре и |
его последователями. |
В специальном случае, |
когда х = оо была так называемой особой |
точкой определенности |
(несущественно особой),т.е.q = —1,функ |
ции Рц(х) переходили в константы Ьц, |
которые были коэффи |
циентами при — в разложениях ац(х) |
по |
убывающим степе |
ням X . В этом случае подстановкой (12.19) |
можно было прийти |
к элементарно интегрируемой системе дифференциальных урав нений. По существу метод Биркгофа позволял однообразно тол ковать как особые точки определенности, так и неопределенно сти конечного ранга. Ряд интересных дополнений по исследова нию уравнений второго порядка предложено в [100.5].
Отдельные вопросы асимптотического поведения интегралов линейных дифференциальных уравнений и представления нере гулярных интегралов рассматривались в работах Перрона, Га меля, Гарнье.
Герристон [158] рассмотрел асимптотические решения неод нородных линейных дифференциальных уравнений п-го порядка и установил их форму.
Развитие общей теории в дальнейшем отражено в большой работе Штернберга [260] и статье Карлемана [119]. В послед ней бьйю существенно обобщено обычное понятие асимптотиче ских рядов и соответственно рассмотрено представление инте гралов общего линейного однородного уравнения с коэффициен тами, представленными в форме асимптотических рядов.
Дальнейшее обобщение результатов Шлезингера и Биркгофа связано с работами Я. Д. Тамаркина и прежде всего с фундамен тальной его монографией [74], вторая глава которой посвяща лась асимптотическому представлению решений дифференциаль ных систем, зависящих от параметра
. п
-17 = Y i aik{X,P) Ук (t = 1' 2, ft=i
Коэффициенты сіік — однозначные функции комплексного пара метра р, аналитические около точки р= °о, т. е. при всех р с до статочно большим |р|, и для которых точка р= °° есть полюс. Автор рассмотрел здесь частично и случай кратных корней ха рактеристического уравнения, когда вместо рядов, расположен ных по степеням р, появлялись ряды, расположенные по
степеням У р (стр. 88 и след.); этот результат совпадал в прин ципе с уже упомянутым результатом Лава, который, видимо, не был известен Тамаркину, отмечавшему, что этот случай до тех пор никем не был рассмотрен.
Следует также отметить, что проблема асимптотического представления решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков и систем линейных дифференциальных урав нений при достаточно больших значениях входящего в уравнение параметра решалась Тамаркиным на основе более простого ме тода, чем у его предшественников. В основе его лежало приве дение дифференциального уравнения к интегральному некоторо го вида и применение к последнему метода последовательных приближений. Упомянутая выше диссертация Тамаркина была первой в России работой по несамосопряженным задачам для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Вскоре результаты Шлезингера, Биркгофа, Тамаркина были распространены на неоднородные дифференциальные уравнения Фоулером и Локком, упростившими также ряд доказательств Биркгофа [80,5].
Довольно полное изложение состояния вопроса об асимпто тическом представлении решений систем обыкновенных линей ных дифференциальных уравнений и обобщение результатов Шлезингера — Биркгофа, Тамаркина на случай линейных инте- гро-дифференциальных уравнений, содержащих параметр, было дано в 1936 г. в статье Тржицинского [266.2].
Гл а в а XIII. СВЯЗЬ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СТЕОРИЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§1. Инварианты. Группа преобразований. Группа монодромии
Большая польза для установления закономерностей в теории линейных дифференциальных уравнений была почерпнута из общей теории алгебраических линейных уравнений и дисциплин, порожденных на ее основе или к ней примыкающих. В этих двух теориях можно наблюдать ряд аналогий как внешнего, так и внутреннего, более глубокого характера. Как известно, для по лучения общего интеграла линейного дифференциального урав нения п-го порядка необходимо иметь п частных линейно неза висимых решений. Также для отыскания решения алгебраиче ского уравнения п-й степени надо знать его п корней. В случае же системы дифференциальных уравнений с п неизвестными строится интегральная матрица из п линейно независимых си стем решений. Тогда коэффициенты системы am будут выражать ся через элементы интегральной матрицы (ут) и их первые про изводные в форме
Иначе говоря, они могут быть вычислены как отношения опреде лителей с общим знаменателем A = \ y ik|, который в случае урав нения п-го порядка переходит в известный определитель Врон-
ского. Представление этого определителя в форме А =е k для уравнения п-то порядка было дано уже Абелем и Лиувиллем, а для системы — Якоби в 1837 г. При переходе от одной ин тегральной матрицы к другой, т. е. когда (ут) испытывает линей ную подстановку {cm) с постоянными коэффициентами, то {am) остаются без изменения, в то время как А перемножается с |с«|. Таким образом, определитель А является инвариантом для зависимой от п2 параметров группы относительно всех линейных преобразований. Изучая аналогичный вопрос в серии сообщений 1880 г. и в статье [94.3], П. Аппель установил теорему, что каж дая целая рациональная функция образующих фундаментали
ную систему интегралов у и у2, ..., уп уравнения вида
уіп)+ а 1у(п~ 1) + . . . + апу = 0 |
(13.1) |
и их производных, которая переходит в себя, перемножаясь с константами через подстановку другой фундаментальной систе мы для у I,... уп, равна целой рациональной функции коэффици ентов дифференциального уравнения и их производных, умно
женной на степень е ^аі dx. Он применил эту теорему для реше ния общей проблемы преобразования линейных дифференци альных уравнений, состоящей в том, чтобы построить линейное уравнение, которое имеет интегралом функцию
ft ' |
(ті> |
' |
(m2J |
' |
J mn\ |
f ІУ\* У\1 |
• **У\ >У2» |
У2» ***У2 »**’ Уп* Уп' ' **Уп ) |
— целую рациональную по своим аргументам, и коэффициента ми — данные функции от х. Здесь же были рассмотрены такие уравнения, интегралы которых удовлетворяли некоторому алге браическому уравнению с постоянными коэффициентами и ука зывалось средство, как установить существование подобных со отношений. Так связывался этот вопрос с классом инвариантов линейных дифференциальных уравнений, введенных Лагерром 1 в 1879 г. После этого появилось большое число исследований, посвященных изучению инвариант линейных дифференциальных уравнений. Фундаментальным в этой области, как отметил К. С. Сибирский [163], было сочинение Альфена [167.3], удосто енное в 1888 г. большого приза Парижской академии. Построе ние и применение инвариантов линейных дифференциальных уравнений рассмотрено в 1886 г. в кандидатской диссертации П. Боля, отмеченной золотой медалью (121).
В дальнейшем инварианты группы линейных преобразований фундаментальной системы интегралов уравнений вида (13.1) были подробно изучены в диссертации Вессиота в 1892 г. и в мо нографии Шлезингера [254.1, т. 1, 38 и след.]. Общая линейная группа, или точнее, как отметил Ли, ее (я—1) -кратное расшире ние, играет здесь ту же роль, что и симметрическая группа в теории алгебраических уравнений. В дальнейшем эта аналогия следовала в направлении алгебраических идей Галуа и под влия нием теории Ли преобразования групп, что нашло отражение в работах Пикара и позже Вессиота.
Первоначально понятие группы преобразований, как и груп пы монодромии2, касалось лишь определенных фундаменталь-
1 Основы теории инвариантов были заложены в работах Кэли в 1846 г. В дальнейшем ее развитии фундаментальное значение сыграли публикации Гильберта в начале 90-х годов XIX века.
2 Этот термин обозначает группу преобразований, которым подвергается
система решений уи у2,...,уп вдоль такого |
замкнутого пути, вдоль которого |
Уь У2,—,Уп остаются монодромными [192.11, |
311]. |
кых систем, но затем эти понятия стали играть для дифферен циального уравнения тождественную роль.
Как известно, основная задача интегрирования линейного дифференциального уравнения, поставленная в самом общем виде, сводится к определению его группы, или, по термину Клей на, группы монодромии. Установление этой группы уже в начале 70-х годов рассматривалось как основная проблема теории, спо собствующая установлению связи между разложениями, кото рые имели место в окрестности отдельных особых точек. Для числового ее определения предлагались различные подходы, применявшиеся сперва к уравнениям фуксова типа. Естественно, что почин в решении этого вопроса принадлежал Фуксу. В ста тьях [153.6] он исходил из положения, что установленные в каж дой особой точке разложения для фундаментальной системы имеют радиус сходимости до ближайшей особой точки. Затем, чтобы выразить друг через друга принадлежащую к соседней особой точке фундаментальную систему, бралась некоторая точ ка, принадлежащая общей части областей сходимости обеих фундаментальных систем, и тут же вычислялись значения инте грала и его п—1 первых производных для обеих фундаменталь ных систем. Вычисления значительно упрощались, когда за точ ку сравнения могла быть выбрана одна из двух рассматривае мых особых точек, на что указывалось в работах Томё, где он пытался решить поставленную задачу Фукса другими способа ми, не весьма, впрочем, эффективными, применяя одну из уста новленных им теорем.
Лежащий в основе решения задачи Фукса метод состоял по существу в построении нового, отличного от общеизвестного при ема аналитического продолжения функции. При этом имелось в виду построить такой метод аналитического продолжения инте гралов линейных дифференциальных уравнений с рациональны ми коэффициентами, в котором была бы ясно видна связь между начальными и конечными значениями этих интегралов. В основе предлагаемого метода лежало аналитическое представление функции, которое получали некоторым рациональным преобра зованием, отображая плоскость одного переменного на плоскость другого. Но, как отметил П. А. Некрасов [52.1, 538], превосход ный по основной идее фуксов метод аналитического продолже ния функций требовал еще в основах своих исправления, что бы
ло задачей далеко нелегкой. |
|
части 2-плоскости на круговую |
Фукс рассматривал отображение |
область до-плоскости |
посредством |
рациональной |
подстановки |
вида |
z — F (до) = |
, |
где g(w) |
и h (до) — целые рациональные |
функ |
ции, отличные от |
нуля |
при |
до = |
0. Точки до |
и дох называются |
соответственными, если |
удовлетворено условие |
|
|
|
|
|
F t w) — F t w j |
|
(13.2) |
|
|
|
---- ш_ Ші |
ф(до,до1) = 0. |
Наибольший из концентрических |
|
кругов, описанных из |
точки w — 0 |
|
как из центра, и обладающий тем |
|
свойством, что всякой точке w, ле |
|
жащей внутри этого круга, соответ |
|
ствуют точки W\, лежащие вне его, |
|
назывался, по Фуксу, предельным |
|
кругом (К), принадлежащим функ |
|
ции F(w). При движении точки w |
|
внутри К по кругу радиуса г</?, |
|
где R — радиус круга |
К, точки wu |
|
изображающие |
корни |
уравнения |
|
(13.2), опишут |
некоторую кривую |
|
С (г). При бесконечно малом г она |
|
будет состоять из бесконечно ма |
|
лых замкнутых кривых, окружаю |
|
щих полюсы функции wF(w), и, ес |
В. А. Анисимов |
ли F(oo)=oü, |
из замкнутой беско |
(1860— 1907). |
нечно удаленной кривой. При возра |
но |
при |
r<lR |
стании г кривая С(г) будет деформироваться, |
лежать вне предельного круга |
К, |
не касаясь |
его. |
Но |
когда |
г, возрастая он нуля, достигает |
R, |
круг К (г) достигнет предель |
ного круга К и кривая С(г) перейдет в предельную кривую С, которая должна в некоторых точках касаться круга К, распола гаясь остальными вне его. Фукс пришел к выводу, что радиус R предельного круга К, принадлежащего функции F(w), равен
|
|
|
наименьшему из модулей корней уравнения F'(w)= 0. |
Неточ |
ность и в общем ошибочность этого положения впервые |
была |
усмотрена П. А. Некрасовым |
и показана на частном примере |
в магистерской диссертации |
[2.1] В. А. Анисимова (94). При |
более тщательном изучении оказалось, что в основе своей ме тод Фукса допускает исключения и может применяться при некоторых ограничениях. О своих возражениях В. А. Анисимов написал Фуксу, и берлинский академик, исправляя свою неточ ность, высказал второе правило для определения радиуса пре дельного круга, которое также не достигало цели вследствие вкравшейся в его заметку новой ошибки, как это было показано П. А. Некрасовым [52.1], исправившим погрешность Фукса и предложившим свое правило определения радиуса предельного круга, годное для всех случаев (стр. 543).
Однако дискуссия на этом не окончилась и Фукс продолжал защищать свое видоизмененное правило в [153.15], считая ука занные ему противоречия парадоксом, который казался легко устранимым. Частично этому способствовала неточность критики Некрасова, на что он сам указал, и после дополнительного ис следования в [52.2] он пришел к выводу, что основа погрешно сти в рассуждениях Фукса состояла в том, что он вводит диф ференциалы сіу и dy} функций ф и фі при таком значении пере-
менного г, когда |
производные |
с(ф |
dq>! |
вообще говоря об |
|
и -^r |
ращаются в бесконечность.
Таким образом, решение задачи об установлении группы уравнения привело к постановке весьма важной проблемы в тео рии функций об исследовании одного из видов аналитического продолжения. Прошедшая дискуссия была весьма плодотворной и послужила основой монографии В. А. Анисимова [2.2], с до статочной полнотой и основательностью охватившей относящий ся сюда круг вопросов.
Возвратимся, однако, к понятию группы монодромии, кото рое изучалось потом Жорданом [186.2] и Пуанкаре [237.6], определивших ее как множество линейных подстановок, которые испытывает фундаментальная система, когда независимое пере менное, выходя из неособой точки и не встречая особой точки, пробегает некоторый замкнутый путь таким образом, что коэф фициенты уравнения после обхода остаются неизменными. Вся система величин, вполне определяющих группу, была названа ее инвариантами. Выше мы указали некоторые работы, касающие ся этого вопроса. В то же время Пуанкаре ввел понятие фунда ментальных инвариантов группы, которые не изменялись при пе реходе от одной фундаментальной системы к другой и посред ством которых можно было вычислить алгебраическим путем коэффициенты подстановок, которые совершались над некоторой фундаментальной системой. Примеры таких фундаментальных инвариантов представляются коэффициентами фундаментально го уравнения, принадлежащего к системе линейных подстановок. Было установлено, что число фундаментальных инвариантов группы монодромии [16.3, гл. IV, § 10] дифференциального уравнения с однозначными коэффициентами зав.исит от числа особых точек (включая бесконечность). Если рассматривать
вместо интегралов систему их отношении вида |
«t |
(г= 2,... п), |
~ |
то она испытывает при обходах особых точек дробнолинейные неоднородные подстановки. Множество их образует так называе мую проективную группу монодромии, зависящую от определен ного числа фундаментальных инвариантов, и характера коэффи циентов уравнения. Подробное исследование фундаментальных
<Ру
инвариантов для уравнения второго порядка - ^ - = р ( х ) у , при
надлежащего фуксовому классу, проведено в диссертации Фогта в 1889 г.
Представление интегралов уравнений в кольце привело к ино му способу числового установления группы монодромии, что по дробно трактуется в работе Миттаг-Леффлера [218.2]. Но подобные способы не давали представления о характере фунда ментальных инвариантов как функций, входящих в дифферен циальное уравнение параметров. Все же Пуанкаре удалось, опи-
раясь на теорему существования дифференциальных уравнений с частными производными и пользуясь методом последователь ных приближений, прийти к заключению [237.9], что интегралы являются целыми трансцендентными функциями тех параметров, от которых коэффициенты уравнения есть целые рациональные функции при условии, что начальные значения рассматриваемых интегралов выбраны независимо от упомянутых параметров. Отсюда непосредственно следовала теорема, что фундаменталь ные инварианты есть также целые трансцендентные функции этих параметров. Этот вопрос изучался позже в статье Гюнтера [165.2]. Из упомянутых работ также следовало, что если коэф фициенты дифференциального уравнения не являются целыми функциями параметров, то интегралы в общем — бесконечно многозначные функции от параметров и, в частности, от пони маемой как переменное особой точки.
§ 2. Проблема Фукса; связь линейной и нелинейной теории в работах Р. Фукса и Л. Шлезингера
Напомним, что Риман первым поставил вопрос [246.4] об изучении интеграла линейного дифференциального уравнения как функции особых точек, имея в виду, как отметил Хилб [172. 2, 502], вероятно, тот случай, когда группа монодромии не зави села от понимаемых как параметры особых точек. Позже раз витие этой проблемы нашло трактовку в серии работ Л. Фукса 90-х годов [153.14 и других], где велось исследование интегра лов как функций от параметров Х \ , Х г , . . . , хп, от которых зависе ли коэффициенты уравнения, но не группа монодромии. Впервые такой класс уравнений вида
у{п) + Р 1У(п' 1) + - Р пУ = Ѵ |
(13.3) |
он рассмотрел в одном из сообщений Берлинской академии 1888 г. В дальнейшем Л. Фукс установил ряд весьма общих тео рем, связанных с трактовкой указанной проблемы.
Обобщение понятия обхода около особой точки на многознач ные функции двух переменных, а также распространение резуль татов Фукса на уравнения с многими переменными рассматри валось сперва в работе Горна, где частично дополнялись резуль таты Соважа, а затем в более общей форме в [177.1.—2]. Здесь исследовались условия регулярности системы полных линейных уравнений с частными производными, а в случае их выполнимо сти — представление регулярной системы ветвей. Т. е. он изучал здесь отдельный вид такого класса системы линейных уравнений с частными производными, которая обладала несущественно особыми точками.
Подробное исследование случая, когда группа монодромии независима от единственной особой точки, в связи с изучением проблемы Римана выполнил Шлезингер в [254.2.—5].
Существенного успеха в решении проблемы о линейных одно родных дифференциальных уравнениях, группа подстановок ко торых не зависима от входящих в коэффициенты уравнений па раметров, поставленной в общем виде и решаемой Л. Фуксом, добился его сын Рихард Фукс. Уже в одной из первых работ [154.1] он дал более простое изложение вопроса. Здесь были прежде всего установлены необходимые и достаточные условия того, что уравнение указанного вида обладает независимой от параметра группой подстановок. Затем выводится теорема о том, что если уравнение указанного вида с однозначными коэффи циентами обладает для фундаментальной системы интегралов независимой от параметра группой подстановок, то этот инте грал, рассматриваемый как функция параметра, также удовле творяет линейному однородному дифференциальному уравнению с однозначными коэффициентами. Р. Фукс доказал и обратную теорему для случая, что оба уравнения, о которых идет речь, второго порядка.
В серии дальнейших работ [154.2, 3 и др.] Р. Фукс стал изу чать проблему независимости группы монодромии от особой точ ки, связав ее с рассмотрением дифференциальных (нелинейных) уравнений с неподвижными критическими точками. Автор ис следовал здесь вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с четырьмя существенно особыми точками: 0, 1, t и оо, для которых коэффициенты подстановок, совершаемых над системой интегралов при обходах независимо го переменного около особых точек, лежащих в конечной части плоскости, обладают любыми заданными и, следовательно, не зависимыми от выбора особых точек величинами, т. е. решал конкретный случай вышеуказанной проблемы. Он сперва пока зал, что наряду с четырьмя вышеуказанными существенно осо быми точками должна существовать по крайней мере одна кажу щаяся (несущественно особая) точка. Затем устанавливались необходимые и достаточные условия для констант, входящих в коэффициенты, чтобы уравнение обладало вышеуказанными свойствами, и доказывалось, что эти условия друг с другом совместимы. Фукс показывает, что координата Х(і) мнимой осо бой точки, как функция от t, удовлетворяет дифференциальному уравнению типа Пенлеве, которое может перейти через преоб разование посредством одного эллиптического интеграла в не однородное линейное уравнение второго порядка, левая часть которого совпадает с левой частью уравнения Лежандра. Р. Фукс показывает также связь данного исследования с про блемой Римана и устанавливает еще ряд интересных соотноше ний. Таким образом Р. Фукс пришел первым к открытию изве стного шестого уравнения (см. С. г. 141; сообщение Гамбье по этому вопросу — С. г. 142; Пенлеве — С. г. 143), установил его значение для рассматриваемой проблемы и изучил некоторые его свойства.
В следующей работе Р. Фукс определял фундаментальные инварианты рассматриваемого уравнения и вычислял с их по мощью фундаментальные и переходные подстановки. Затем он установил зависимость мнимой особой точки от параметра через дифференциальное уравнение с неподвижными критическими точками. Уравнение такого вида встречалось уже в диссертации Гарнье [157.2]. Фукс показал здесь некоторые его интересные свойства.
Почти в то же время аналогичный круг вопросов обсуждался и в ряде статей Шлезингера, связанных главным образом с ре шением проблемы Римана, о чем речь будет дальше. Шлезингер первым занялся изучением проблемы Фукса для систем диффе ренциальных уравнений. Так, в работе [254.5], посвященной па мяти Дирихле, углубляя и развивая по данному вопросу резуль таты [254.2], он явно установил необходимые и достаточные условия того, чтобы фундаментальные подстановки некоторой просто канонической линейной дифференциальной системы вида
т = |
= ^ ....... |
"> |
<13-4> |
Л=1 |
Ѵ=1 |
|
|
не зависели бы от особой точки. Эти условия были представле ны в форме нелинейной системы дифференциальных уравнений, которой должны удовлетворять дифференциальные подстановки как функции особой точки, рассматриваемой в качестве параме тра. Интегрирование этой системы было предметом большой статьи [254.11].
Как известно, Шлезингер был одним из активнейших после дователей Римана, стремившимся обосновать и развить точку зрения последнего на интегрирование дифференциальных урав нений. Именно Шлезингер первый показал, насколько глубоко владел Риман тем аналитическим методом, который впоследст вии развил Фукс. Он первым же поставил вопрос о решении про блемы Римана и в процессе этого, развивая свои идеи далее в [254.6], установил необходимые и достаточные условия для то го, чтобы группа монодромии системы линейных однородных уравнений была независимой от особых точек, обобщая, таким образом, результаты Р. Фукса.
Характерным для многих работ Шлезингера с 1905 г. был метод исследования интегралов линейных дифференциальных уравнений и их систем при помощи матричного исчисления под влиянием работ Вольтерра. Этот же метод был положен в осно ву его курса [254.8] по аналитической теории линейных диффе ренциальных уравнений и применен в упомянутой выше работе [254.11]. Здесь уместно отметить весьма интересный факт, что данная работа Шлезингера была прислана им на шестой кон курс на соискание премии им. Лобачевского по объявленной
