книги из ГПНТБ / Лихачев В.С. Испытания тракторов учеб. пособие

к и с т и н н о й в е л и ч и н е . Погрешности при этом оценивают как погрешности средней арифметической

X — средняя арифметическая ряда измерений.

Заметим, что понятие «среднее арифметическое» относят к не­ большому числу измерений в качестве выборочного значения; тождественное по форме понятие «математическое ожидание» является генеральным и справедливо для п —>оо, во всяком слу­ чае — для достаточно большого ряда измерений (не менее 30). При п = оо математическое ожидание равно истинной величине.

Квадрат средней квадратической погрешности называют дис­ персией D, генеральной и выборочной, т. е. а2 — D и сг| = £>-.

Дисперсия является мерой рассеяния ряда относительно матема­ тического ожидания. О д и н а к о в ы е д и с п е р с и и д в у х р я д о в и з м е р е н и й г о в о р я т о р а в н о т о ч н о с т и э т и х и з м е р е н и й .

Различать понятия «выборочная» и «генеральная» необходимо для правильного пользования расчетными формулами.

Относительную величину средней квадратичной погрешности,

личными методами, так как величина вариаций непосредственно связана с точностью измерений и их необходимым повторением.

П—

£I Х і — х \

п

Прямые скобки в формуле показывают, что суммируются абсо­ лютные значения разностей без учета знака.

Средняя арифметическая погрешность г меньше среднеквадра­ тичной погрешности в соотношении

При числе измерений п < 30 правильнее пользоваться при­ ближенной формулой

Величиной средней арифметической погрешности г пользуются редко, потому что при числе измерений п •< 30 нет критерия для априорной оценки вероятности, с которой величина случайной

Р= 2/ 3а .

Вероятная погрешность р своим положением на оси абсцисс кривой нормального распределения делит пополам частоту появ­ ления случайных погрешностей как больших, так и меньших величины р, т. е. величины 2/3а (5j = S 2 на рис. 102), иначе говоря, одна половина всех ошибок (ошибки положительного

шие р) — слева отр. Следовательно, вероятность того, что результат измерения уложится в пределы погрешностей ± р, составляет 50%.

Вычисления показывают, что при величине 6 = 2а лишь одно из 22-х измерений может выйти за пределы ±2а, т. е. измере-

тат измерения с допуском ±3сг имеет, следовательно, вероят­ ность 99,73%. Погрешность 6 = 4а появляется один раз за 15 625

и при обработке результатов измерения исключается. (При по­ верочном вычислении на промах, взятый под сомнение, результат измерения в расчет не принимают).

При испытаниях тракторов и двигателей часто имеют место единичные измерения или измерения с двукратным повторением. За оценку точности таких измерений принимают вероятную по­ грешность р, имеющую вероятность появления 50% (один раз за два измерения). Величину погрешности р или квадратичной по­

148

грешности а при единичных измерениях можно оценить по пре­ дельной ошибке измерения, которую, в свою очередь, часто можно оценить априорно, исходя из различных соображений на основа­ нии опыта. Если есть возможность провести в процессе методи­ ческой подготовки эксперимента 15— 17 измерений, то можно подсчитать величину а- и при дальнейшей оценке погрешностей

исходить из нее.

Случайная погрешность, превосходящая по величине а, появ­ ляется один раз за три измерения, т. е. с вероятностью 2/3 или 67%, и ею чаще всего пользуются для оценки точности измерений (если измерения не являются единичными).

При оценке точности измерения все время обращаются к ве­ роятности, с которой получена эта точность; без этого оценка точности измерения не имеет смысла.

(относительно среднего арифметического ряда измерений). При

рии ошибок и математической статистики, поэтому при оценке случайных погрешностей с помощью этих величин мы подразу­ меваем, что доверительная вероятность известна. При жестких требованиях к надежности измерений или к надежности конструк­ ций задается более высокая доверительная вероятность, чем 0,5 или 0,67. При этом задается и определенной жесткости допуск ± А. Возникает вопрос: удовлетворяют ли данный метод измерения и его техника требованию получения измерения с заданной точ­ ностью ±А при заданной доверительной вероятности а.

Может возникнуть также необходимость вычисления коли­ чества измерений для получения заданной доверительной вероят­ ности или задача определения доверительной вероятности изме­ рения при заданной доверительной погрешности.

Доверительная погрешность, ее надежность (доверительная вероятность) и число измерений связаны между собой выражением, вытекающим из соотношений нормального закона распределения

где ta — коэффициент, учитывающий число измерений. Коэффициент ta находят из таблиц Стьюдента-Фишера, при­

лагаемых в руководствах по теории вероятностей, по теории оши-

149

бок и по теории измерений. Пользуясь указанными таблицами, при известной величине а- можно определить доверительный

интервал и доверительную вероятность при любом числе измере­ ний или определить число измерений при заданных доверительном интервале и доверительной вероятности (то же относится и к кван­ тованию осциллограммы или ее обработке и т. п.).

§ 34. СУММИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ. ОШИБКА ФУНКЦИИ

Как было сказано, при измерении с помощью сложных изме­ рительных устройств можно насчитать более 20 источников по­ грешностей. Кроме того, могут возникать одноименные погреш­ ности различных блоков измерительной схемы. Аппаратурные погрешности исключают калибровкой, методические учитывают расчетом, случайные погрешности отдельных элементов измери­ тельной схемы суммируют и таким образом определяют общую случайную погрешность измерения. Затем суммируют все виды погрешностей и оценивают фактическую рабочую точность изме­ рения.

Общее выражение для суммарной среднеквадратичной слу­ чайной погрешности имеет вид

где Oj и <т2 — частные выборочные среднеквадратичные погреш­ ности;

г — коэффициент корреляции погрешностей о 1 и ст2. При сильной связи между погрешностями, когда г12 «=* ±1,

т. е. коррелированные случайные погрешности складываются арифметически (аддитивно).

Арифметическое суммирование дает завышенную величину суммарной погрешности.

При слабой корреляции между погрешностями, когда г12 = 0, погрешности суммируются геометрически (мультипликативно):

О= У о\ + a t

Геометрическое суммирование дает меньшее значение суммар­ ной погрешности по сравнению с арифметическим.

Когда погрешности не две, а более, их суммирование произ­ водится точно так же.

Сказанное в одинаковой степени относится и к суммированию средних арифметических ошибок.

Практически при оценке суммарной погрешности исполь­ зуют лишь два указанных крайних случая суммирования слу­ чайных погрешностей — при большой корреляции и при ее от­ сутствии. Сначала из общего числа возможных погрешностей вы-

150

Деляют те, у которых возможна явная взаимная связь через При­ чины их возникновения, и суммируют их арифметически. Затем результат суммирования этой группы погрешностей и все осталь­ ные погрешности, в том числе отдельных блоков, суммируют геометрически.

При геометрическом сложении погрешностями, которые по величине не превышают 30% (иногда 40 и 50%) общей погреш­ ности, пренебрегают, поскольку они изменяют суммарную по­

грешность о всего на 5% (иногда на 8— 12%).

Пусть некоторая частная погрешность omln составляет 30% суммарной погрешности оу, подсчитанной без учета взятой под сомнение погрешности omln, т. е. omln = 0,3ох.

в измерительно-информационную систему (ИИС) блок, имеющий более высокую погрешность, поглощает своим интервалом по­ грешности меньшую погрешность предыдущего блока. Для выяс­ нения этого вопроса надо проанализировать передаточную функ­ цию рассматриваемого блока.

Систематические погрешности 8Ссуммируются со случайными арифметически:

60бщ = öc -j- ö x .

При конструировании ИИС и измерительных схем параметры их элементов следует выбирать так, чтобы эти элементы были оди­ накового класса точности; тогда вопрос оценки общей погреш­ ности будет решаться проще.

Сказанное относится к общим соображениям теории ошибок относительно суммирования частных случайных погрешностей, подчиненных нормальному закону распределения и возникаю­ щих в результате действия отдельных дестабилизирующих фак­ торов или в результате функционирования отдельных блоков ИИС.

При анализе накопления погрешностей и выборе способа расчетного их суммирования следует учитывать как структуру ИИС (последовательное и параллельное включение блоков и взаи­ мосвязь между звеньями системы), так и метрологические и дина­ мические характеристики отдельных блоков системы.

Инерционность датчиков всегда выше инерционности усили­ тельных, функциональных и вычислительных блоков, поэтому погрешность первичных преобразователей надо рассматривать специально, особенно, если в измерительно-информационный

151

канал поступают сигналы нескольких датчиков различных изме­ ряемых величин. Погрешности информации накапливаются и пе­ рерабатываются совместно с самой информацией, поэтому по­ грешности отдельных блоков ИИС непосредственно связаны с пе­ редаточными функциями блоков.

При определении суммарной ошибки результата косвенных измерений, когда интересующая экспериментатора величина определяется измерением одной или нескольких величин, связан­ ных с первой функциональной зависимостью, исходят из следую­

ляется N, а величина ± d x — погрешность измерения, то

N + dN — f (х + dx).

и учитывая, что вторые и более высокие степени ошибок лежат за пределами -точности измерений и ими можно пренебречь,'по­ лучим

~d x

т. е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции.

Для сложной функции

N =■ f {хи х 2, x-j, . . ., хп)

абсолютная ошибка равна арифметической сумме частных оши­ бок, в каждой из которых за переменную принимается только один из аргументов, т. е.

От абсолютной ошибки легко перейти к относительной, зная что относительная ошибка измерения какой-либо величины яв­ ляется частным от деления абсолютной ошибки на эту величину, т. е.

На основании изложенных выше общих положений при опре­ делении ошибки результата опыта можно пользоваться простым дифференцированием формул подсчета определяемой опытом ве-

152

личины, что позволяет, проанализировав источники погрешностей измерений, подсчитать ошибку функции измеренных при опыте величин.

Следует при этом подчеркнуть, что так как знак случайной погрешности неизвестен, то при определении суммарной ошибки опыта берут наиболее неблагоприятный случай, когда все частные ошибки, составляющие ошибку результата, имеют одинаковый знак. Поэтому после дифференцирования все частные ошибки берут с одним знаком «плюс» независимо от знака, полученного при дифференцировании.

Вследствие простоты формулы для подсчета относительной ошибки, ошибку результата удобнее определять следующим обра­ зом: 1) оценить размеры частных предельных (а иногда непосред­ ственно вероятных) погрешностей по отдельным элементам изме­ рений, входящих в опыт; 2) оценить относительную ошибку ре­ зультата; 3) от относительной ошибки перейти к абсолютной ошибке результата.

Рассмотрим пример метода подхода к оценке погрешностей результата опыта при испытаниях. Требуется определить ошибку в измерении часового расхода топлива двигателя при тормозных испытаниях, если расход топлива за опыт Gon = 0,5 кг, продолжи­ тельность опыта Топ = 188,5 с и часовой расход топлива GT = = 9,6 кг/ч.

Продифференцировав формулу для подсчета часового расхода топлива

GT= 3 ,6 - |^ *on

и взяв все члены со знаком плюс, получим формулу для подсчета

получим формулу относительной ошибки

Из этих формул видно, что ошибка измерения расхода топ­ лива складывается из погрешности взвешивания и погрешности измерения продолжительности опыта.

Предельная погрешность взвешивания определяется порогом чувствительности весов, найденным опытным путем. Он состав­ ляет 5 г, т. е. AGon = ±5 г. Как показывает опыт, случайные погрешности взвешивания перекрываются нечувствительностью весов.

153

Предельная погрешность измерения продолжительности опыта слагается из основной (несистематической инструментальной) погрешности секундомера и случайной погрешности вследствие несвоевременности включения и выключения секундомера.

Приведенная погрешность секундомера по данным поверки

Погрешность несвоевременности включения и выключения секундомера по опытным данным составляет 0,4 с.

Общая предельная ошибка в измерении продолжительности опыта

АГоп = ± (0,005ГОП+ 0,4) с.

Относительная предельная ошибка

Соответственно вероятные ошибки этого единичного измере­ ния (с малым числом повторений) будут в 3 раза меньше, т. е. 0,6% и 0,05 кг/ч, что вполне приемлемо по требованиям точности результатов испытаний.

Заметим, что абсолютные предельные ошибки AGon и отчасти АТоп не зависят от режима опыта, и для повышения точности ре­ зультатов, особенно на режимах с большим часовым расходом, приходится удлинять опыт, увеличивая расходуемую за опыт порцию топлива. Для определения необходимой продолжитель­ ности опыта следует оценить погрешность для нескольких ха­ рактерных режимов.

Аналогично можно оценить, например, ошибку определения тягового усилия из осциллограммы:

денную формулу, погрешность (возьмем предельную) АРкр можно найти как сумму погрешностей средней ординаты и масштаба:

АРкр = А hcp + Am.

Погрешность Аhcp измерения средней ординаты можно найти как погрешность средней арифметической ряда ординат, изме­ ренных через некоторый интервал по длине ординаты.

154

Погрешность масштаба в общем виде может включать несколько погрешностей:

Ат = Ат к + Ат ус + Атм + Атд + За,

п р и б о р а — определение масштаба его показаний по сравне­

смысле, в условиях экспериментальной практики (термин, выхо­

155

нанесение На указатель прибора шкалы, в том числе и выпол­ няемое при калибровке нанесение опорных точек для градуи­ ровки.

Поверка приборов перед испытаниями и контрольная по­ верка их в процессе испытаний являются основными условиями обеспечения требуемой точности и достоверности результатов испытаний.

Основные измерительные приборы, измерительный инстру­ мент и все образцовые, контрольные и эталонные приборы и меры подвергают обязательной поверке в местных отделениях Коми­ тета стандартов, мер и измерительных приборов при СМ СССР. Все приборы должны иметь паспорта или свидельства о поверке. Это, однако, не исключает текущей поверки приборов при испы­ таниях.

На право поверки приборов выдается регистрационное удосто­ верение базовой лаборатории Комитета стандартов, мер и изме­ рительных приборов. Всякая поверка сводится к сличению пока­ заний поверяемого прибора и прибора более высокого класса точности с установлением инструментальной (аппаратурной) по­ грешности поверяемого прибора. Наиболее высокую точность имеют эталонные приборы; они бывают первичные, вторичные и т. д. Следующими по точности являются образцовые приборы разря­ дов I, II, III и IV, затем— контрольные и, наконец, рабочие приборы различных классов точности.

В процессе испытаний требуется контрольная поверка при­ боров, поэтому необходимо обращать особое внимание на уком­ плектование научно-экспериментальной базы тарировочными станками, образцовыми приборами и эталонными мерами.

Поверка динамометров

По точности динамометры разделяют на образцовые разрядов I, II, III и рабочие 1 и 2-го классов. Рабочие динамометры, в том числе тензометрические тяговые звенья, поверяют по образцовым динамометрам разрядов II и III, образцовые динамометры раз­ ряда III — по образцовым разряда II. Последние поверяют по образцовым разряда I, которые, в свою очередь, поверяют эта­ лонными грузами. Каждый образцовый прибор должен иметь в несколько раз большую точность, чем прибор, который по нему поверяют.

Для эталонного груза и образцовых динамометров установ­ лены следующие допустимые погрешности в процентах от изме­ ряемого усилия:

156