книги из ГПНТБ / Бабаев С.Г. Надежность и долговечность бурового оборудования

М П^х] = Он П - F Ы

+

М К] = Он [1 — F (toi)] +

1’‘ tdF (t) =

b

=

T

[1 — /^(ОІЛ;

(38)

о

M [1Д] = M [T]] [1

- F (t0J)] + M [j.i] F (/01) =

= TnV - F { h M + TbF(t^.

(39)

П =

T „ l i - F ( l 01) ] + T aF(t 0l)

(40)

to1

min Я = min

T n [ l - F ( t n )] + TaF (tn )

(41)

tot

0<*oi<°°

0 < /Ot<oo

— F(t))dt

0!'

Дифференцируя выражение

(40) по Он и приравнивая произ­

водную нулю, после элементарных преобразований получим

^Ol

Ло (Он) Г

[1 - F

(01 dt — F (t01) = - I n —

,

(42)

•0'

‘ а

/ п

где

F’ (0

МОя) — 1— я (О і=іаі

Исследование функции

д*П

показывает,

что

д°-П >0,

сле­

дР0і

dt*оі

довательно, выражение (40) в точке Он имеет минимум.

Для второй стратегии суммарное время исправной работы

изделия за период между профилактиками будет

ІІЯ — 0>4і

(43)

а суммарное время вынужденного простоя изделия

' т), если 'Q> О,,

(44)

У

I

а ((„,)

I1/. если Q< tg2,

ГП +

У)

то

в установившемся режиме

о)

ожидаемое число отказов

за

время t0 2 равно среднему числу

восстановлений за

это же

время. Поэтому можно записать [19]:

М [п (/02)] =

Я (/02),

(45)

сать:

М [W2] = /02;

(46)

М [V,] =

М [г,] +

М \п (/Оо)1 М [р] — Тп ~гН (/02) Т,.

(47)

Подставляя полученные значения M[W2] и М[Ѵ2] в формулу

(35), получим

П = тп+ Я (<02) Та

(48)

Оптимальный период профилактического обслуживания для

второй стратегии можно определить из условия

•

Г7

*

Г +

Я (^оч) Та

/ЛО\

гпшЯ = min

--- 1— —

(49)

0 < los<oa

0 < ( 02< 00

^02

Дифференцируя выражение (49) по hi и приравнивая про-

дП

изводную —— нулю, получим

дік

hit1(4г)

Н (4з) — ~т~ ’

(50)

I а

где h(t0 2 ) —

dH{()

— плотность восстановления.

dt

<=<о*

Исследуя

вторую

производную

dm

убеждаемся,

что

F (і) < И (/) <

- I -У)— .

(51)

ѵ'

’

1— F (0

' ’

Из

выражения (51)

следует,

что на

начальном участке

вре­

мени,

когда Р(/)<С 1, справедливо приближенное равенство

H (t)^F (t).

(52)

Необходимо отметить, что этот случай имеет наибольшее зна­

чение на практике.

(52), уравнение

(50)

Учитывая приближенное равенство

можно записать в виде:

tmF'(t0 J - F ( t aJ = ^ - .

(53)

* а

Я (/) =

,

где /.о и т — параметры распределения

Вейбулла.

В этом случае для первой и

второй

стратегии проведения

* 0

dt —“ 1)+

exp (— У о і) =

т

■■; (54)

Ѵ я *1о ГехрГ ( — V

п

0

* а

' п

гтік0 і0 2

ехр (— У 02) — 1 + ехр (— Я/оО) =

.

(55)

* а

Введя обозначения

1

р;

= и,

пг

уравнение

(54) после

преобразований можно

записать в

виде:

, I

к + о

у - у + ш

(56)

Г( - j - ) J (и,

р) =

где

Г

— гамма-функция, табулирована [88]

Г

со

1

ехр (—х) сіх;

J (и, р) — неполная гамма-функция, табулирована

J (и, р) =

и IѴ н

хрехр (— х) dx.

Г ( Р -

Ы )

■<

Соответственно уравнение (55) будет иметь вид:

т -Сехр ^

У2 \

I

(

—

У.2 \ _

1 I. Та

(57)

+ ехр

1 -ь

Для решений уравнений

(56) и (57) составлены специальные

номограммы

(рис. 57

и 58). При

этом использована

известная

зависимость

, между

параметром

распределения

Вейбулла

т —— и коэффициентом вариации ѵ [88]:

Р

V =

Ѵ Г { \ + 2 р )

+ [ Г ( І + р ) Р

(58)

/ ’

( І + Р )

где а — среднее квадратическое

отклонение

времени

безотказ­

ной

работы

изделия;

Т0 — средняя

наработка до

отказа изде­

лия.

V2 по найден­

Номограмма позволяет определять параметр

То

_

получим

Т» / (^Г гп1

+ 0

(59)

*01

) ‘

Д Д

\ 2

58) значению параметра

определяется оптимальный период

Анализ уравнений (54)

и (55) и номограмм (см. рис. 57 и

58) показывает, что при v ^ t

(m s^l), а также, как было отмечено

На

основе проведенного анализа с использованием номо­

грамм

(см. рис. 57 и 58)

построена

(рис. 61) зависимость

величины Мо1 от величины

Гп/Га для

различных значений

коэффициента вариации ѵ.

,OO-

- 1.00

волило

построить график

(рис. 62)

зависимости

коэффициента вариации ѵ от величины Т„/Тя при

1

ir

0,95i J- -

условии /оі = ^о2. который позволяет при заданных

I

значениях ѵ и TJTa выбрать стратегии с боль­

шим периодом

профилактического обслужива­

- 1,10

ния. Так,

если

точки на

графике

(рис. 62) ло­

0.90-

жатся выше кривой, то йи<й)2 и вторая страте­

гия будет предпочтительнее. Если же точки иа

0,85-'-

графике

ложатся ниже кривой, то выполняется

условие t0

l>to2

и предпочтительнее будет первая

І - Ц О

стратегия.

0,80-

Как было отмечено выше, при /п=1, т. е. в

-1,30

случае экспоненциального закона

распределения

времени безотказной работы и времени проведе­

0,75-

ния аварийных ремонтов, профилактическое об­

'-'-1,50

служивание нецелесообразно. Однако необходи­

0,70-

мо учитывать,

что в этом случае

проверка ис­

правности оборудования обладает

восстанавли­

-150

вающим свойством, т. е. после проверки, если об­

0,55-

наружено, что оборудование исправно, то оно

как бы становится «новым» [58]. В этом случае

Oßlh-'r1’1 0

замена

деталей

и узлов

проверяемого оборудо­

вания

производится только при

обнаружении

- і - 1,80

неисправности.

случай усеченного

ц

0,55-1-1,90'

Рассмотрим

нормального

-

2,00

распределения. В этом случае

0,50-:

2,10

—

2,20

1 - Ф

t — a

N.

0,55^.

2,30 .

>

2,50 1

0

_

2J50

F ( t ) = 1

а V 2

0,50-

-

ф

т)

—~ %70

1 + Ф

:э-tso

то У

iz Ü S -3 ,0 0

0,35^=Щ-3,10

(tpl а)2 би.

( і —а \

> 1— Ф

------

)

____

1öo V 2 / dt ■

1 + ф /

“

'

Vа0 у 2

или

Ool °)2

l/TT“P

2TO

\

( tül

_

a

1T

а

1- ф (

Ш л +

To 1 cb

\

2

[1_* U

r s

Л L

) \

ф(T0V

1—ф / <ог — а \

Uo у т )

та-т„

(60)

1+ Ф

<jp 1/ 2