-mmf-tvims-chernova-tv-portr

(f1) Неотрицательность:ZfZξ1, ξ2 (x1, x2) > 0 для любых x1, x2 R;

R2

Справедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения. Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.

По функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:

∂2

(f3) fξ1, ξ2 (x1, x2) = ∂x1∂x2 Fξ1, ξ2 (x1, x2) для почти всех (x1, x2).

Из существования плотностей ξ1 и ξ2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, век-

72 ГЛАВА 8. Многомерные распределения

тор (ξ, ξ) принимает значения только на диагонали в R2 и уже поэтому не имеет плотности совместного распределения (его совместное распределение сингулярно). Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частные распределения тоже таковы.

Теорема 27. Если случайные величины ξ1 и ξ2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f(x1, x2), то ξ1 и ξ2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

Для n > 2 плотности случайных величин ξ1, . . . , ξn по плотности их совместного распределения f(x1, . . . , xn) находятся интегрированием функции f по всем «лишним» координатам.

Доказательство. Например, в силу равенств (16),

Аналогично устанавливается и справедливость второго равенства.

§ 3. Примеры многомерных распределений

Приведём два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.

Равномерное распределение. Пусть S Rn — борелевское множество с конечной лебеговой мерой λ(S). Говорят, что вектор (ξ1, . . . , ξn) имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения fξ1, ..., ξn (x1, . . . , xn) постоянна в области S и равна нулю вне этой области:

Как и в одномерном случае, вектор (ξ1, . . . , ξn) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошенной наудачу в область S.

Многомерное нормальное распределение. Пусть Σ > 0 — положительно определённая симметричная матрица (n×n), матрица Σ−1 — обратная к Σ, и ~a Rn — n-мерный вектор-столбец. Транспонированный вектор мы будем обозначать так: ~aT = (a1, . . . , an).

Говорят, что вектор (ξ1, . . . , ξn) имеет многомерное нормальное распределение N~a, Σ с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ, если плотность совместного распределения fξ1, ..., ξn (x1, . . . , xn) равна

распределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение (~x −~a)T Σ−1(~x −~a) в показателе экспоненты является квадратичной формой от переменных (xi − ai): действительно, для матрицы B = Σ−1 с элементами bij

Подробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимся в курсе математической статистики, и там же выясним, что означают слова «с вектором средних ~a и матрицей ковариаций Σ».

Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайных величин ξ1, . . . , ξn.

§ 4. Роль совместного распределения

Если нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы, разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин. Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайных величин многих привычных нам функций не выводит нас из класса случайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайная величина.

Следующие два простых примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать их совместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции) н е о п р е д е л я е т с я, вообще говоря, распределениями слагаемых: при одних и тех же распределениях слагаемых распределение суммы может быть разным в зависимости от с о в м е с т н о г о распределения слагаемых.

Пример 33. Рассмотрим две случайные величины ξ и η с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/2 и следующей таблицей совместного распределения: для 0 6 r 6 1/2 положим

Если r = 0, то P(ξ + η = 1) = P(ξ = 0, η = 1) + P(ξ = 1, η = 0) = 1, т. е. распределение ξ + η вырождено в точке 1.

Если r = 1/2, то P(ξ+η = 0) = P(ξ+η = 2) = 1/2, т. е. ξ+η имеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0 и 2 с равными вероятностями.

Взяв r = 1/4, получим P(ξ + η = 0) = 1/4, P(ξ + η = 2) = 1/4 и P(ξ + +η = 1) = 1/2, т. е. ξ+η имеет биномиальное распределение с параметрами

2 и 1/2.

Если взять r = 1/3, получим уже P(ξ + η = 0) = 1/3, P(ξ + η = 1) = 1/3 и P(ξ + η = 2) = 1/3, т. е. ξ + η принимает значения 1, 2 и 3 с равными вероятностями (это н е биномиальное распределение).

Ещё раз отметим, что частные распределения ξ и η от r не зависят. Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением ξ и η при неизменных частных распределениях величин ξ и η.

Пример 34. Пусть случайная величина ξ имеет стандартное нормальное распределение.

Возьмём η = −ξ. Тогда η тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма ξ + η = 0 имеет вырожденное распределение.

Возьмём теперь η = ξ. Тогда сумма ξ + η = 2ξ имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение N0, 4 (проверить!).

Распределение функции от нескольких случайных величин может определяться их частными распределениями, если, например, потребовать независимости этих случайных величин. В этом случае совместное распределение также полностью определяется частными распределениями (а именно, как их произведение).

п о п а р н о н е з а в и с и м ы м и, если независимы любые две из них.

Оба этих определения годятся не только для конечного набора случайных величин, но и для их бесконечной последовательности.

Замечание 17. Независимость случайных величин в совокупности влечёт попарную независимость. Достаточно в определении независимости в качестве нескольких борелевских множеств взять числовую прямую R.

Пример 35. Вспомним пример Бернштейна 25. Свяжем с событиями A, B и C случайные величины ξ1, ξ2 и ξ3 — индикаторы этих событий. Например, ξ1 = 1, если A произошло, и ξ1 = 0, если A не произошло. Случайные величины ξ1, ξ2 и ξ3 независимы попарно (проверить), но зависимы в совокупности:

P(ξ1 = 1, ξ2 = 1, ξ3 = 1) = P(A ∩ B ∩ C) = 14 ,

P(ξ1 = 1) P(ξ2 = 1) P(ξ3 = 1) = P(A) P(B) P(C) = 18 .

Попарная независимость случайных величин встречается редко. Поэтому всюду, где мы будем употреблять термин «независимы», будет подразумеваться независимость в совокупности.

Определение независимости можно сформулировать в терминах функций распределения:

Определение 39. Случайные величины ξ1, . . . , ξn независимы (в совокупности), если д л я л ю б ы х x1, . . . , xn имеет место равенство:

Fξ1, ..., ξn (x1, . . . , xn) = Fξ1 (x1) · . . . · Fξn (xn).

Для случайных величин с дискретным распределением эквивалентное определение независимости выглядит так:

Определение 40. Случайные величины ξ1, . . . , ξn с дискретным распределением независимы (в совокупности), если д л я л ю б ы х чисел a1, . . . , an имеет место равенство:

P(ξ1 = a1, . . . , ξn = an) = P(ξ1 = a1) · . . . · P(ξn = an).

Упражнение. Доказать, что из независимости в смысле определения 37 следует независимость в смысле определения 39 (доказательство в обратную сторону см. в § 4 гл. 3 учебника А. А. Боровкова «Теория вероятностей»).

Упражнение. Доказать, что для случайных величин с дискретным распределением определения 37 и 40 эквивалентны.

Для случайных величин с абсолютно непрерывным совместным распределением определение независимости можно сформулировать так:

Определение 41. Случайные величины ξ1, . . . , ξn с абсолютно непрерывным совместным распределением независимы (в совокупности), если плотность совместного распределения равна произведению плотностей случайных величин ξ1, . . . , ξn, т. е. д л я л ю б ы х x1, . . . , xn имеет место равенство: fξ1,..., ξn (x1, . . . , xn) = fξ1 (x1) · . . . · fξn (xn).

Замечание 18. Плотность распределения определяется с точностью до её значений на множестве нулевой лебеговой меры (распределение не меняется от изменения плотности на множестве нулевой меры). Поэтому равенство плотности совместного распределения и произведения плотностей можно понимать тоже как равенство «почти всюду».

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 39 и 41. По теореме 27, если совместное распределение ξ1, . . . , ξn абсолютно непрерывно, то и в отдельности ξ1, . . . , ξn также имеют абсолютно непрерывные распределения. Пусть случайные величины ξ1, . . . , ξn независимы в смысле определения 39, т. е. для любых x1, . . . , xn

Fξ1,..., ξn (x1, . . . , xn) = Fξ1 (x1) · . . . · Fξn (xn).

Но функция совместного распределения равна

xZ1 xZn

Fξ1,..., ξn (x1, . . . , xn) = . . . fξ1,..., ξn (s1, . . . , sn) ds1 . . . dsn = I1,

−∞ −∞

а произведение функций распределения записывается произведением интегралов, или одним n-мерным интегралом:

=. . . fξ1 (s1) . . . fξn (sn) ds1 . . . dsn = I2.

−∞ −∞

Равенство интегралов I1 = I2 при всех значениях x1, . . . , xn влечёт, после дифференцирования по x1, . . . , xn, равенство подынтегральных выражений почти всюду (дифференцировать можно почти всюду), т. е. независимость в смысле определения 41. Для доказательства в обратную сторону можно использовать те же равенства, но в обратном порядке.

§ 6. Функции от двух случайных величин

Пусть ξ1 и ξ2 — случайные величины с плотностью совместного распределения fξ1, ξ2 (x1, x2), и задана борелевская функция g : R2 → R. Требуется найти функцию (а если существует, то и плотность) распределения случайной величины η = g(ξ1, ξ2).

Пользуясь тем, что вероятность случайному вектору попасть в некоторую область можно вычислить как объем под графиком плотности распределения вектора над этой областью, сформулируем утверждение.

Теорема 28. Пусть x R, и область Dx R2 состоит из то-

Далее в этой главе предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2 неза-

висимы, т. е. fξ1, ξ2 (x1, x2) ≡ fξ1 (x1) fξ2 (x2). В этом случае распределение величины g(x1, x2) полностью определяется частными распределени-

ями величин ξ1 и ξ2.

Следствие 9 (ф о р м у л а с в ё р т к и). Если случайные величины ξ1

и ξ2 независимы и имеют абсолютно непрерывные распределения с плотностями fξ1 (x1) и fξ2 (x2), то плотность распределения суммы ξ1 + ξ2 равна «свёртке» плотностей fξ1 и fξ2 :

Доказательство. Воспользуемся утверждением теоремы 28 для борелевской функции g(x1, x2) = x1 + x2. Интегрирование по области Dx = = {(x1, x2) | x1 + x2 < x} можно заменить последовательным вычислением двух интегралов: наружного — по переменной x1, меняющейся в пределах от −∞ до +∞, и внутреннего — по переменной x2, которая при каждом x1

должна быть меньше, чем x − x1. Здесь Dx = {(x1, x2) | x1 R, x2 (− −∞, x − x1)}. Поэтому

Сделаем в последнем интеграле замену переменной x2 на t так: x2 = t − x1. При этом x2 (−∞, x − x1) перейдёт в t (−∞, x), dx2 = dt. В полученном интеграле меняем порядок интегрирования: функция распределения