-mmf-tvims-chernova-tv-portr

Г Л А В А 3

Аксиоматика теории вероятностей

Математик должен знать меру, норму и предел

(фольклор ММФ НГУ)

§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий

Алгебра событий. Пусть Ω — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т. е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую т о л ь к о на множестве событий.

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества Ω, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств Ω. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был з а м к н у т относительно обычных операций над событиями, т. е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество A, элементами которого являются подмножества множества Ω (не обязательно все) называется а л г е б р о й (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

событиями алгебра содержит их объединение).

Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество = Ω также содержится в A. Из (A3) следует, что вместе с любым к о н е ч н ы м набором событий алгебра содержит их объединение: для любого n > 2, для любых A1, . . . , An A выполнено A1 . . . An A. Вместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.

Свойство 1. В определении 10 можно заменить (A3) на (A4): (A4) если A A и B A, то A ∩ B A.

Свойство 2. В определении 11 можно заменить (S3) на (S4): (S4) если A1, A2, . . . F, то A1 ∩ A2 ∩ . . . F.

Как показывает следующее свойство, всякая σ-алгебра есть алгебра. Свойство 3. Если F — σ-алгебра, то она удовлетворяет свой-

ству (A3), т. е. для любых A F и B F выполняется A B F. Доказательство. Превратим пару A, B в счётную последователь-

ность событий так: A, B, B, B, B, . . . , т. е. положим A1 = A, Ai = B при всех i > 2. Объединение A B совпадает с объединением всех множеств Ai из этой бесконечной последовательности. А так как F — σ-алгебра, то

∞

[

A B = Ai F.

i=1

Упражнение. Докажите, что для любых A, B F выполнено A \ B F.

Итак, всякая σ-алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведём пример алгебры, не являющейся σ-алгеброй.

Пример 16. Пусть Ω = R, и пусть A — множество, содержащее любые конечные подмножества R (т. е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. В частности, множество {0, 2, π} принадлежит A, множество (−∞, −7,2) (−7,2, 5) (5, ∞) принадлежит A.

Легко проверить, что множество A является алгеброй. Действительно, пустое множество и само Ω = R там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в A по определению, дополнение к множеству вида R \ A для конечных A совпадает с A и также принадлежит A по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит A. Объединение конечного множества с множеством вида R \ A, где A конечно, есть снова множество вида R \ B, где B конечно (или пусто). Объединение двух множеств R\A и R\ B, являющихся дополнениями до R конечных множеств A и B, есть снова множество такого же вида.

Однако алгебра A не содержит ни одного счётного множества точек. Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд N не принадлежит A. Поэтому A не является σ-алгеброй: для бесконечной, но счётной последовательности одноточечных множеств Ai = {i} из A их объединение N = A1 A2 . . . не принадлежит A.

Все алгебры из примера 15 являются σ-алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве Ω понятия алгебры и σ-алгебры совпадают. Множество всех подмножеств Ω является σ-алгеброй для любого Ω.

Борелевская5 σ-алгебра в R. Приведём пример σ-алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,— σ-алгебры б о р е л е в с к и х множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в R называется самая маленькая среди всех возможных σ-алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, σ-алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств R — это σ-алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое «самая маленькая σ-алгебра» из нескольких данных? Обратимся к примерам.

Пример 17. Пусть Ω = R — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся σ-алгебрами, и увидим, как их

(−∞, 0) (0, ∞)}. Более точно:

Определение 12. Минимальной σ-алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех σ-алгебр, содержащих A.

Ещё раз напомним, что пересекать в определении 12 есть что: хотя бы одна σ-алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся — это σ-алгебра всех подмножеств Ω (в данном случае Ω = R).

Упражнение. Доказать, что пересечение д в у х σ-алгебр, содержащих набор множеств A, снова является σ-алгеброй (невероятно!), содержащей A.

Упражнение. Найти минимальную σ-алгебру, содержащую следующий набор подмножеств R : A = {R, , [0, 1], {3}}.

2. Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоит из в с е в о з м о ж н ы х открытых интервалов (a, b), где a < b:

A = {(a, b) | − ∞ < a < b < ∞}.

Упражнение. Проверить, что множество A всех интервалов ни в коем случае не является ни алгеброй, ни σ-алгеброй! Указание: привести примеры двадцати множеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пяти множеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.

Определение 13. Минимальная σ-алгебра, содержащая множество A всех интервалов на вещественной прямой, называется б о р е л е в с к о й σ- алгеброй в R и обозначается B(R).

5Felix´ Edouard Justin Emile Borel (7.01.1871 — 3.02.1956, France)

Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B(R) по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B(R), требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B(R), и B(R) — σ-алгебра. Отсюда сразу следует, что B(R) содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счётного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

В частности, R принадлежит B(R). Это сразу следует из свойства (S1) σ-алгебры, но может быть доказано и исходя из свойств (S2), (S3).

B Интервал (−n, n) принадлежит A, а значит, принадлежит и B(R) при любом n N, т. е. (−n, n) B(R). Но B(R) — σ-алгебра, и содержит счётное объединение любых своих элементов, поэтому

∞

[

R = (−n, n) B(R).

n=1

Далее, любой интервал вида (a, b ] (или [a, b), или [a, b ]), где a < b, принадлежит B(R).

B Интервал (a, b + 1/ n) принадлежит B(R) при любом n N. Тогда счётное пересечение этих интервалов

n=1

сечения множеств: x A ∩ B тогда и только тогда, когда x A и x B.

Любое одноточечное подмножество {b} R принадлежит B(R).

B Действительно, {b} = (a, b ] \ (a, b), а разность A \ B = A ∩ B двух множеств из σ-алгебры снова принадлежит σ-алгебре.

Упражнение. Докажите, что множества вида (a1, b1) (a2, b2) принадлежат B(R), что множество натуральных чисел N принадлежит B(R), множество рациональных чисел Q принадлежит B(R).

3. Борелевская σ-алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R. Это должна быть минимальная σ-алгебра, содержащая все множества вида (a1, b1) × . . . × (an, bn) — уже не интервалы, как в R, а прямоугольники в R2, параллелепипеды в R3 и т. д. Вместе с ними B(Rn) содержит любые множества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в R2 является борелевским множеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.

∞

димости этого ряда следует, что «хвост» ряда, равный P μ(Ci), стремится

i=n

к нулю при n → ∞. Поэтому

∞

X

μ(Bn) = μ(B) + μ(Ci) −→ μ(B) + 0 = μ(B).

n→∞

i=n

В полезности этого свойства легко убедиться упражнениями.

Упражнение. Используя аксиому непрерывности меры для убывающей последовательности множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n), доказать, что мера Лебега одноточечного подмножества {x} вещественной прямой равна нулю: λ {x} = 0. Используя этот факт, доказать, что λ (N) = 0, λ (Z) = 0, λ (Q) = 0, λ (a, b) = λ [ a, b ].

Замечание 8. В отсутствие предположения μ(B1) < ∞ (или μ(Bn) < ∞ для некоторого n > 1), заставляющего меры вложенных множеств быть конечными,

свойство μ(B) = lim μ(Bn) может не выполняться.

n→∞

Например, зададим меру на B(R) так: μ(B) = 0, если B не более чем счётно, иначе μ(B) = ∞. Тогда для множеств Bn = (x − 1/n, x + 1/n) имеем:

∞

\

B = Bn = {x}, μ(Bn) = ∞ 6→μ(B) = 0.

n=1

И вот наконец мы в состоянии определить понятие в е р о я т н о с т и.

Вероятность как нормированная мера.

Определение 15. Пусть Ω — непустое множество и F — σ-алгебра его подмножеств. Мера μ : F → R называется н о р м и р о в а н н о й, если μ(Ω) = 1. Другое название нормированной меры — в е р о я т н о с т ь или в е р о я т н о с т н а я м е р а.

То же самое ещё раз и подробно:

A1, A2, A3, . . . F имеет место равенство

(P3) вероятность достоверного события равна единице: P(Ω) = 1. Свойства (P1) — (P3) называют аксиомами вероятности. Определение 17. Тройка hΩ, F, Pi, в которой Ω — пространство эле-

ментарных исходов, F — σ-алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется в е р о я т н о с т н ы м п р о с т р а н с т в о м.

30 ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей

Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Ниже мы не будем всякий раз оговаривать, что имеем дело только с событиями.

С в о й с т в о 0. P( ) = 0.

B События Ai = , где i > 1, попарно несовместны, и их объединение есть также пустое множество. По аксиоме (P2),

∞∞

XX

P( ) = P(Ai) = P( ).

i=1 i=1

Это возможно только в случае P( ) = 0. Аксиома счётной аддитивности вероятности (P2) тем более верна для

конечного набора попарно несовместных событий.

С в о й с т в о 1. Для любого к о н е ч н о г о набора попарно несовместных событий A1, . . . , An F имеет место равенство

n n

B Положим Ai = при любом i > n. Вероятности этих событий, по свойству 0, равны нулю. События A1, . . . , An, , , , . . . попарно несовместны, и по аксиоме (P2),

B Представим B в виде объединения двух несовместных событий: B = = A (B \ A). По свойству 1, P(B) = P(A) + P(B \ A). Сразу же заметим, что по аксиоме (P1) выражение в правой части равенства P(B) = P(A) + P(B \ A) больше либо равно P(A), что доказывает

следующее свойство м о н о т о н н о с т и вероятности.

Св о й с т в о 4. Если A B, то P(A) 6 P(B).

Св о й с т в о 5. Для любого события A выполнено: 0 6 P(A) 6 1.

B P(A) > 0 по (P1). А так как A Ω, то P(A) 6 P(Ω) = 1. С в о й с т в о 6. Всегда P(A B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

B Имеем A∩B B, поэтому P(B \(A∩B)) = P(B)−P(A∩B) по свойству 3. Но A B = A (B \ (A ∩ B)), причём A и B \ (A ∩ B) несовместны. Снова пользуясь свойством 1, получим:

P(A B) = P(A) + P(B \ (A ∩B)) = P(A) + P(B) −P(A ∩ B).