-mmf-tvims-chernova-tv-portr

64 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения

Следствие 2. Если ξ = Na, σ2 , то η = ξ −σ a = N0, 1. Доказательство. Убедимся, что случайная величина η имеет функцию

Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения Φ0, 1(x). Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их на графике п л о т н о с т и стандартного нормального распределения):

Но величина η = (ξ − a) / σ имеет стандартное нормальное распределение, и можно использовать свойство 11: 1 − P(|η| < 3) = 1 − (1 − 2Φ0, 1(−3)) = = 2Φ0, 1(−3) = 2 · 0,00135 = 0,0027 (найти в таблице!). Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах

от a − 3σ до a + 3σ.

Г Л А В А 7

Преобразования случайных величин

. . . По данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями.

И. Ньютон, Метод флюксий и бесконечных рядов...

Пусть на вероятностном пространстве hΩ, F, Pi задана случайная величина ξ. Если функция g : R → R такова, что g(ξ) — случайная величина, то нужно уметь находить распределение g(ξ) по распределению ξ. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. А если нам необходимы значения показательно распределённой случайной величины, нужно знать, какое преобразование применить, чтобы из равномерного распределения получить показательное.

§ 1. Измеримость функций от случайных величин

Вопрос об измеримости g(ξ) решает следующая теорема.

Теорема 22. Пусть ξ — случайная величина, а g : R → R — б о р е л е в с к а я (измеримая по Борелю) функция, т. е. такая, что для всякого борелевского множества B его прообраз g−1(B) есть снова борелевское множество. Тогда g(ξ) — случайная величина.

Доказательство. Проверим, что прообраз любого борелевского множества при отображении g(ξ) : Ω → R является событием. Возьмём произвольное B B(R) и положим B1 = g−1(B). Множество B1 борелевское, так как функция g измерима по Борелю. Найдём (g(ξ))−1(B):

{ω | g(ξ(ω)) B} = {ω | ξ(ω) g−1(B) = B1} = ξ−1(B1) F,

поскольку B1 B(R) и ξ — случайная величина. Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмеримого множества Витали. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты эк-

зотические, в обычной жизни не встречающиеся.

Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t заменим на новую переменную y так: t = (y − b) / a. Тогда dt = dy / a, верхняя граница области интегрирования t = (x − b) / a перейдёт в y = x, нижняя

Функция под интегралом — плотность распределения fη(y) случайной величины η = aξ + b при a > 0.

Пусть теперь a < 0.

Сделаем ту же замену переменной t = (y − b) / a, y = at + b. Но теперь граница интегрирования t = +∞ перейдёт в y = −∞, поскольку a < 0. Получим

x−∞

Функция под интегралом и есть плотность распределения fη(y) случайной величины η = aξ + b при a < 0. Для произвольной монотонной функции g справедливо утверждение:

Теорема 24. Пусть ξ имеет плотность распределения fξ(x), и функция g : R → R монотонна. Тогда случайная величина η = g(ξ) имеет плотность распределения

fη(x) = g−1(x) 0 fξ g−1(x) .

Здесь g−1 — функция, обратная к g, и g−1(x) 0 — её производная.

Упражнение. Доказать теорему 24.

Из теоремы 23 следуют уже знакомые нам утверждения: Следствие 4. Если ξ = N0,1, то η = σξ + a = Na,σ2 . Доказательство. Действительно,

68 ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин

Квантильное преобразование.

Теорема 25. Пусть функция распределения F (x) = Fξ(x) непрерывна. Тогда случайная величина η = F (ξ) имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.

Доказательство. Найдём функцию распределения случайной величины η. Заметим, что всегда 0 6 η 6 1. Предположим сначала, что функция

постоянства. В этом случае просто обозначим через F −1(x) самую левую точку из замкнутого множества {t | F (t) = x} прообразов точки x (0, 1). При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаются справедливыми вместе с равенством P(ξ < F −1(x)) = F F −1(x) = x для любого x (0, 1).

Теорему 25 можно использовать для построения случайных величин с заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел). Следующее утверждение верно не только для непрерывных, но для любых функций распределения F . Обозначим через F −1(x) точную нижнюю грань множества тех t, для которых F (t) > x:

F −1(x) = inf{t | F (t) > x}.

Для непрерывной функции F это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 25.

Упражнение. Доказать теорему 26 и следствие 8, а также продолжить список соотношений. Как получить случайную величину с распределением Парето? А с нормальным распределением? (Указание: так её никто не получает).

Г Л А В А 8

Многомерные распределения

Не следует множить сущности сверх необходимости.

Принцип «бритва У. Оккама»

§ 1. Совместное распределение

Пусть случайные величины ξ1, . . . , ξn заданы на одном вероятностном пространстве hΩ, F, Pi.

Определение 34. Функция

Fξ1, ..., ξn (x1, . . . , xn) = P(ξ1 < x1, . . . , ξn < xn)

называется функцией распределения вектора (ξ1, . . . , ξn) или функцией с о в м е с т н о г о распределения случайных величин ξ1, . . . , ξn.

Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (ξ1, ξ2) из двух величин.

(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения ξ1 и ξ2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +∞:

Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Т. е. выполнение этих свойств для некоторой функции F : R2 → R не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

Упражнение. Доказать, что функция

(

F (x1, x2) =

0, если x1 6 0 или x2 6 0 или x1 + x2 6 1;

1, если одновременно x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1.

удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределения никакого вектора (ξ1, ξ2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдётся и прямоугольник [a1, b1) ×[a2, b2), «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a1 6 ξ1 < b1, a2 6 ξ2 < b2) < 0.

Легко доказать (убедиться, что легко), что для любых a1 < b1, a2 < b2

справедливо равенство: P(a1 6 ξ1 < b1, a2 6 ξ2 < b2) = Fξ1, ξ2 (b1, b2) + + Fξ1, ξ2 (a1, a2) − Fξ1, ξ2 (a1, b2) − Fξ1, ξ2 (b1, a2).

Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a1 < b1, a2 < b2).

§ 2. Типы многомерных распределений

либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярные совместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости, и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).

Дискретное совместное распределение.

Определение 35. Говорят, что случайные величины ξ1, ξ2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счётный набор {ai, bj} такой, что

∞∞

XX

P(ξ1 = ai, ξ2 = bj) = 1.

i=1 j=1

Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит вероятность P(ξ1 = ai, ξ2 = bj), называют таблицей совместного распределения случайных величин ξ1 и ξ2.

Таблицы распределения каждой из случайных величин ξ1, ξ2 в отдельности (таблицы частных, или м а р г и н а л ь н ы х распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул:

есть полная группа событий, и поэтому событие {ξ1 = ai} раскладывается