книги из ГПНТБ / Ху, Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях

При решении задачи (10) возможны 2 исхода:

1.Величина 0 ^ 1 при фиксированном к. Это означает, что текущее значение у представляет собой сеть, допустимую для периода времени t = к. Если 0 ^ 1 при всех t, то, значит, у содержит в себе сеть, допустимую для всех t. Следовательно, у является и двойственно допустимым, и прямо допустимым, т. е. является оптимальным решением.

2.Найден т-мерный вектор относительных оценок я15 который

является решением задачи, двойственной к (1 0 ):

rtt. N i > l

(для всех £, так как все коэффициенты при Х\ равны 1 ).

Обозначим яй = (я£, — 1). Легко видеть, что

я й[у, 1 ] < 0 и ttft(№, 1 ) > 0 . (И)

Следовательно, найден вектор яй, для которого не выполняется неравенство (9) при текущем значении у, и его можно использовать в основной части.

Заметим, что задача (10) представляет собой задачу линейного программирования очень большой размерности, так как каждой сети N* соответствует свой столбец. Эти столбцы можно получать

следующим образом. Выберем слабые переменные и несколько произвольных N* в качестве базиса. Найдем из (10) оценки дуг

задача есть задача синтеза сети, рассмотренная выше в случае 1 .

Оценки Я] можно рассматривать как длины дуг, и для получения столбца Nf можно воспользоваться методом нахождения крат­ чайших путей между всеми парами узлов (см. [1 1 1 ]).

Итак, двойственный алгоритм решения задачи (5) состоит из двух частей. В основной части используется модифицированный двойственный симплекс-метод для решения следующей задачи:

минимизировать z — су при условиях

я ‘у > 1 , £ = 1 , . . . , Т, i = l,

где коэффициенты неравенств зт*у ^ 1 получены либо из вспомо­

гательной части, либо из некоторых других соображений (напри­ мер, из того факта, что сумма пропускных способностей дуг, инцидентных некоторому узлу, должна быть не меньше, чем сумма требований к потоку в этом узле). После выполнения неко­ торого конечного числа итераций двойственного симплекс-метода находят вектор у, являющийся и прямо допустимым и двойственно допустимым по отношению к имеющемуся множеству неравенств; этот вектор у далее используется во вспомогательной части.

Во вспомогательной части применяется модифицированный прямой симплекс-метод для решения задачи (1 0 ), где у — вектор,

Р и с . 11.12.

полученный в основной части. Чтобы получить столбец N*, кото­ рый следует ввести в базис для увеличения 0 , используется алго­

ритм решения многополюсной задачи о кратчайшем пути, причем относительные оценки, найденные с помощью модифицированного прямого симплекс-метода, служат длинами дуг. Если 0 ^ 1 для всех периодов времени t = 1 , . . ., Т, то найденная сеть у являет­

ся оптимальной. Если после конечного числа итераций модифици­ рованного симплекс-метода получится, что л^у = 0 < 1 и rtiN* ^

^1 для всех N{, то неравенство л^у ^ 1 следует ввести в основ­

ную часть. Это неравенство надо скорректировать перед тем, как его записывать в таблицу основной части.

Рассмотрим численный пример. На рис. 11.12 (а) представлена нумерация дуг сети, на рис. 1 1 . 1 2 (б) заданы стоимости дуг еди­

ничной пропускной способности. Требования к потоку в течение

^8 , получающимся из того факта, что сумма требований к потоку

вузле N\ в 1-й период времени равна 3 + 1 + 4 = 8 . Это нера­

венство записано в нижней строке таблицы. Ведущий элемент помечен «*». В результате итерации симплекс-метода получается

табл. Д2 (за исключением нижней строки). Затем добавим нера­ венство — 8 + г/2 + У з + У ъ = v2 0, полученное из рассмотре­

ния потоковых требований в узле N 3. Чтобы выразить это нера­ венство через текущие небазисные переменные —щ, —у 2, —у з>

—yk, —1/3, заменим верхнюю строку таблицы Д2 на (1, 0, 0, 0, 0, 0),

(Заметим, что в этом частном случае скорректированное неравен­ ство имеет тот же вид, что и исходное. Не следует ожидать, что так будет и в общем случае.)

Продолжим вычисления. Рассмотрим потоковые требования к узлам АД и N 2, что даст нам неравенства у 3 + г/ 4 — 7 = v3 ^ 0 и 2/i + Уг — 7 = у4 ^ 0. Затем получим табл. ДЗ (за исключением

нижней строки).

Теперь все неравенства, получаемые из рассмотрения потоко­ вых требований к узлам, оказываются использованными. Чтобы получить дополнительные неравенства, следует перейти к вспомо­ гательной части.

потоковым требованиям в 1-м периоде. Это следует из вычислений, проведенных во вспомогательной части. Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли она потоковым требованиям во 2 -м периоде.

Заметим, что эту сеть [3, 4, 3, 4, 1], удовлетворяющую потоковым требованиям в 1 -м периоде, легко можно было бы получить, если использовать стоимости, заданные на рис. 1 1 . 1 2 (б) и решать

многополюсную задачу о кратчайшем пути. Но для того, чтобы удовлетворить потоковым требованиям в течение нескольких перио­ дов времени, требуется иметь табл. Д4. Используя вектор у =

=[3, 4, 3, 4, 1], теперь снова переходим к вспомогательной части

ипроводим вычисления, аналогичные представленным в табл. В1 —

корректируется и записывается в нижнюю строку табл. Д4. Применяя итерацию симплекс-метода к табл. Д4, получаем табл. Д5.

В табл. Д5 у = [9/2, 5/2, 3, 4, 5/2]. Используя этот вектор, снова переходим к вспомогательной части, проводим вычисления для 1-го и 2-го периода и получаем 0 1. Таким образом, у является оптимальной сетью общей стоимости 85,5, как показано

в табл. Д5.

Рассмотренный выше метод синтеза коммуникационной сети является двойственным, допустимая сеть получается только после окончания вычислений. Теперь мы перейдем к рассмотрению прямого метода. В начале вычислений требуется иметь исходный базис и прямо допустимую сеть. Прямой метод состоит из следую­ щих шагов.

Ша г 1. Выбрать столбец, который приводит к улучшению общей стоимости.

Ша г 2. Выбрать строку как в прямом симплекс-методе.

Шаги 1 и 3 выполняются обычным образом. Шаг 2 является более трудным, поскольку здесь требуется найти, какое из огром­ ного числа неравенств (9) будет нарушено первым, когда некоторая текущая небазисная переменная возрастает от нуля.

прямо допустимой для О<0-<0тах- Следовательно, если вели­

0шах,== min 0щах-

t

С другой стороны, нам нужно показать, что существует вектор относительных оценок я, такой, что я [у0 + 0 у15 —1 ] < 0 при

9 > 0тахТак как мы выяснили в (7), что для всех допустимых

В прямом методе решения задачи синтеза сети вычисления состоят из двух частей. В основной части используется модифи­ цированная прямая таблица, в которую записываются неравен­ ства, получаемые во вспомогательной части. Вспомогательная

0тах и вектор относительных оценок я*. Если вспомогательная часть выполнена для всех периодов времени, то получаем 0тах

ивектор относительных оценок я. Затем связывающее неравенство

я[у, —И > 0 добавляется в основную часть. Алгоритм заканчи­ вается, когда в основной части больше нет улучшающих столбцов.

Решим рассмотренный выше пример прямым методом. Прямой

метод имеет то преимущество, что он в процессе вычислений все время дает допустимые сети, и можно остановиться на одной из них, если поиск оптимального решения оказывается слишком

1

принимает вид = 3 и г4 = 3. Следовательно, исходная допусти­ мая сеть имеет вид у0 = 15, 4, 3, 4, 2]. Для получения исходного

базиса введем переменные ut (i = 1, . . ., 5), которые не ограни­ чены по величине и определяются следующим образом:

Это преобразование дает исходную таблицу П1 для основной части. Ясно, что если любая из переменных ut возрастает от нуля,

то стоимость улучшается. Пометим и3 стрелкой для обозначения,

что выбрана именно эта переменная. Следовательно, нам нужно

в столбце под переменной se будет стоять —1 , и мы получим

табл. ВП1 (кроме самого правого столбца). В таблице ВП1 все относительные оценки равны 0 и мы получим сеть [3, 4, 3, 4, 1] в качестве самой дешевой сети в 1-м периоде. Этот вектор расши­ ряется до [0, 3, 4, 3, 4, 1, 1] и добавляется в табл. ВП1. Так как в табл. ВП1 стоит —1 в столбце под s6, то эта таблица не является начальной. Выберем ведущий элемент, помеченный звездочкой, и выполним итерацию симплекс-метода. Тогда получим начальную табл. ВП2.

В табл. ВП2 столбец под 0 является улучшающим, так как он обладает отрицательной стоимостью. Применяя итерацию сим­ плекс-метода (ведущий элемент табл. ВП2 помечен звездочкой), получаем табл. ВПЗ (кроме самого правого столбца).

Используя относительные оценки из табл. ВПЗ, т. е. (0, 0, 1, 0 , 0 ), найдем самую дешевую сеть, удовлетворяющую потоковым

требованиям в 1-м периоде: [3, 4, 0, 7, 4]. Расширим этот вектор до [0, 3, 4, 0, 7, 4, 1] и скорректируем его перед записью в самый правый столбец табл. ВПЗ. Итерация симплекс-метода по отно­ шению к табл. ВПЗ приводит к табл. ВП4.

Используя относительные оценки из табл. ВП4, можно заклю­ чить, что не найдется сети у, для которой (0, 0, 1, 1, 0, 7)-[yi —

выбрать 0max = min (0т ах, 0тах) и соответствующее ему связываю­

щее неравенство.

Однако в нашем примере 0тах = 0, и поэтому не надо повто­ рять вычисления. Запишем неравенство у 3 + у4 — 7 = v{ ^ 0