книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

425

(Ttр + 1) х, = f ,

(Тг р + 1 ) х 2 = х , ,

где

(7.3)

Бее коэффициенты этой системы, а следовательно, и постоян­ ные времени Tj и Tg будем считать постоянными.

Системе уравнений (7.2) соответствует замещающая структур­ ная схема, представленная на рис.7.3.

Для первой, стационарной, системы переходные процессы по координатам jc,и х г представлены на рис.7.4,а. Для второй, в

целом нестационарной, системы процесс по координате о?, пол­

ностью совпадает с процессом по этой координате для первой системы (рис.7.4,б и в). Для второй составляющей процесс пол­ ностью совпадает с кривой х г для стационарной системы до мо­

мента t = t ' . В этот момент постоянная времени Tg скачком умень­ шается в шесть раз и, как видно из протекания рассматриваемой

кривой, скорость изменения координаты х г также резко изменя­ ется.

Излом в протекании кривой дсг возникает вследствие резкого изменения постоянной времени Т£. Для того чтобы заметить это более наглядно, на рис.7.4,6 и в показано взаимное расположе­

ние кривых (при построении процессов по Д.А.Башкирову) для ша­ га, непосредственно предшествующего моменту t = £ '(точки А и Б),

428

Как выше указывалось, при исследовании нестационарных си­ стем целесообразно использовать замещающие системы уравнений я структурные схемы.В этих с хе м а х в качестве параметров звеньев

используются постоянные времени, являющиеся отношениями коэф­ фициентов уравнений. Это обстоятельство показывает, что при исследовании систем, к которым применимы результаты метода эффективных полюсов и нулей значение имеют не законы измене­ ния коэффициентов уравнений этих систем, а законы изменения

отношений коэффициентов. Следовательно, в общем случае нестационарноеть систем должна оцениваться по нестабильности постоянных времени составляющих процессов, а не коэффициентов

уравнений.

В рассмотренных выше примерах цри анализе особенностей про­ текания процессов в нестационарных системах при построении этих процессов использовались именно постоянные времени со­ ставляющих.

X X

X

При выполнении исходной предпосылки для каждого шага до­ стигаются непосредственно без дополнительных исследований сле­ дующие результаты по обобщению приемов и алгоритмов метода эффективных полюсов и нулей на исследование нестационарных

систем.

1. Обобщаются алгоритмы определения коэффициентов уравне­

ний систем. Эти алгоритмы должны использоваться для определе­ ния коэффициентов на каждом шаге интегрирования A t ’ . Из этого

не следует, что полностью на интервале At' указанные коэффи­ циенты должны приниматься постоянными. По вычисленным коэффи­ циентам проверяется выполнение исходной предпосылки метода.

Внутри же интервалов A t 1можно выделять интервалы любой мень­ шей длительности, для которых коэффициенты могут, как выше

указывалось, определяться в предположении, например, линейного

закона изменения коэффициентов внутри интервала A t ' .

2. Обобщаются алгоритмы оценки запасов устойчивости на каж­ дом шаге At ' и проверки выполнения исходной предпосылки мето­ да. Алгоритмы могут использоваться самостоятельно. Могут также

применяться объединенные алгоритмы определения коэффициентов уравнений и оценки запасов устойчивости, которые применительно

к нестационарным системам также должны использоваться на каж­ дом шаге интегрирования. Можно заметить, что нарушение исход­

42Э

ной предпосылки метода эффективных полюсов и нулей для какихлибо составляющих на относительно небольшом числе шагов инте­ грирования не является принципиальным препятствием для обобще­

ния метода на исследование нестационарных систем.

3. Распространяются также на исследование нестационарных

систем алгоритмы определения переходных процессов путем инте­ грирования уравнений с последовательным исключением быстропротекающих составляющих. Однако здесь возникают две особенности. Первая особенность отражает необходимость вести контроль скоро­

сти изменения коэффициентов уравнений, описывающих быстропротекающие составляющие, после затухания этих составляющих. Вто­ рая особенность состоит в использовании специфических приемов

оценки моментов затухания процессов по быстропротекающим со­ ставляющим. Эти моменты для каждой составляющей процессов мо­ гут определяться, например, по практическому совпадению кривых трех смежных по номерам координат.

При некоторых довольно характерных ограничениях для зако­ нов изменения коэффициентов уравнений систем может быть осуще­

ствлено обобщение и других результатов метода эффективных полю­ сов .и нулей на нестационарные системы.

составляющие процессов, являются практически стабильными по от­

ношению к длительности протекания процессов по этим составляющим. Оказывается возможным осуществить разделение уравнения с

переменными коэффициентами на стационарную и нестационарную

части.

Очевидно, что в данном варианте ограничений при определе­ нии процессов по быстропротекающим составляющим можно не учи­

тывать нестабильность коэффициентов. Однако из этого вывода еще не следует,что после затухания не нужно обращать внимания на законы изменения коэффициентов, описывающих быстропротекающие составляющие, на остальных участках.

В связи с изложенным указанное выше содержание первой груп­

пы ограничений должно быть дополнено тем обстоятельством, что коэффициенты уравнений систем, описывающие быстропротекающие

составляющие, являются практически стабильными по отношению к длительности протекания процессов по этим составляющим для любо­

го интервала времени, расположенного на участке протекания всего процесса.

43.0

Таким образом, при данной группе ограничений полностью

распространяются на быстропротекающие составляющие алгоритмы определения показателей качества процессов, полученные в мето­

де эффективных полюсов и нулей.

В т о р о й в а р и а н т о г р а н и ч е н и й скорости 'изменения коэффициентов уравнений систем ограничены

по модулю. Здесь речь идет о составляющих процессов, для кото­ рых коэффициенты уравнений, их описывающие, изменяются не на­

столько медленно, чтобы можно было считать их стабильными, но все же имеют малые скорости изменения, при которых может быть осуществлено обобщение задачи разложения процессов на состав­ ляющие. В общем случае трудно указать ограничения, при которых

это возможно. Однако можно утверждать, что при ограничении для всех постоянных времени |7^j 0,3 часто может быть осуще­ ствлено полностью обобщение задачи разложения процессов на

составляющие, т.е. может применяться для определения переходных процессов приближенный метод последовательного формирования от­ дельных составляющих, развитый в методе эффективных полюсов и нулей для стационарных систем. При этом для оценки показателей

качества систем можно использовать показатели качества отдель­ ных составляющих. В указанном здесь ограничении Г- = ——1 ,т.е.

данная постоянная времени равна отношению рядом расположенных коэффициентов уравнения системы, а величина есть производ­ ная от этого отношения.'

Могут быть указаны и другие варианты ограничений, при ко­ торых в различной степени, различными сторонами обобщаются ре­ зультаты метода эффективных полюсов и нулей на нестационарные системы.

С учетом изложенных выше вариантов ограничений и того по­ ложения, что на нестационарные системы во многих случаях обоб­ щаются алгоритмы определения процессов с последовательным ис­ ключением быстропротекающих составляющих, можно для яестацио- - нарных систем указать несколько вариантов алгоритмов анализа и

синтеза систем.

X X

X

В начале Главы указывалось, что она в значительной мере

носит характер рекомендаций. Этим имелось в виду подчеркнуть,

что при использовании изложенных выше положений и проведении

431

дополнительных исследований можно получить достаточно широкое обобщение приемов метода эффективных полюсов и нулей на иссле­ дование нестационарных систем (кроме тех результатов, которые обобщаются непосредственно).

В указанные дополнительные исследования могут быть, напри­ мер, включены задачи составления аналитических зависимостей

для показателей качества нестационарных систем (нестационар­ ных составляющих) невысокого порядка при различных законах из­ менения коэффициентов (с использованием уже имеющихся в лите­ ратуре результатов); исследования по определению ограничений для законов изменения коэффициентов уравнений систем, при ко­

торых может применяться приближенный метод последовательного формирования отдельных составляющих процессов (с учетом изло­ женных выше ограничений)исследования по определению диапазо­ нов изменения коэффициентов уравнений составляющих, при кото­ рых эти составляющие можно считать стационарными, и другие ис­ следования.

При выполнений перечисленных исследований могут быть

оставлены алгоритмы анализа и сивтеза нестационарных систем, аналогичные тем, которые для стационарных систем описаны в главе У1. Некоторые из этих алгоритмов уже были составлены, но здесь не описаны;например, алгоритмы определения переход­

ных процессов (в том числе и с учетом исключения быстропротекагацих составляющих), объединенный алгоритм оценки запасов устойчивости и определения процессов и объединенный алгоритм оценки запасов устойчивости, определение стационарной части

и определения процессов.

§2. О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОШНИЯ МЕТОДА ЭФФЕКТИВНЫХ ПОЛЮСОВ

ИНУЛЕЙ НА ЖСЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Приемы исследования нелинейных систем, которые могут быть получены при обобщении метода эффективных полюсов и нулей,во

многом аналогичны соответствующим приемам исследования неста­ ционарных линейных систем. Однако нелинейности автоматических

систем накладывают и свои специфические особенности на эти приемы. Указанные особенности связаны, в первую очередь, с

линейным представлением на каждом шаге интегрирования уравне­ ний нелинейных звеньев. При использовании этого представления системы в целом на каждом шаге описываются линейными уравне­

433

удовлетворяющая условиям данного случая. Применительно к этой нелинейности и будем рассматривать существо рассматриваемого

вляться на каждом шаге интегрирования. Если пределы изменения координаты х на отдельных шагах интегрирования соответству­

ют отрезкам, указанным на рис.7.5,б, то использование уравне­ ния (7.6) для функции (7.4) в целом будет графически означать

замену кривой этой функции, представленной на рис.7.4,а, пунк­ тирной ломаной, показанной на рис.7.4,б. Точность замены дей­ ствительной кривой (7.4) указанной ломаной будет тем выше, чем меньше пределы изменения координаты х на каждом шаге интегрирования.

Таким образом, при рассмотренном линейном представлении

нелинейности у функция (7.4) заменяется линейной зависимостью (7.6), в которой коэффициент к изменяется при переходе от

шага к шацу интегрирования и остается постоянным в пределах данного шага. Следовательно, автоматическая система в целом на каждом шаге интегрирования будет описываться линейными