книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

415

Следует иметь в виду,что наличие производных от воздействий в правых частях уравнений (6 . 1 5 4 ) создает особенности в опреде­

лении коэффициентов правых частей. В таких случаях вначале должны определяться эти коэффициенты обычным образом по отно­

операция соответствует увеличению на единицу числа коэффициен­

Для определения коэффициентов правых частей, как следует

из предыдущих материалов данной главы, кроме матрицы (6.156) необходимо задать столбцы коэффициентов, которыми будут заме­

няться столбцы матрицы (6.156). По уравнениям (6.154) для воз­

(6.157)

(6.156) при определении коэффициентов правых частей. В послед­ ней строке в (6.157) записаны координаты, которым соответст­

Вели при проведении исследований проводить задачу оптими­ зации с поиском наилучшего запаса устойчивости системы и с выполнением ограничений по времени переходных процессов, по максимальным отклонениям регулируемых в е л и ч и н ^ ^ т м - $5тах) и по скоростям и ускорениям изменения этих величин^ тах-,$3тах\

WW W ' - i i i ; » » . ) '10 блок-схема программы решения задачи оп­ тимизации может быть представлена в виде, показанном на

рис. 6.16.

йрмент выдачи результатов на печать може'г быть иным в за-

. висимости от объема памяти машины. Оценивать запасы устойчиво-

418

сти по коэффициентам т можно последовательно по мере вычис­ ления соответствующих коэффициентов характеристического уравне­ ния вместе с оценкой положительности этих коэффициентов,'как это описано выше (5 6 данной главы), но не отражено в данной блоксхеме.

419

Г л а в а УП

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ си стеш .

голодные положения

Одно из достоинств метода эффективных полюсов и нулей,как

выше указывалось, состоит в том, что этот метод в значительной степени распространяется на нестационарные и нелинейные систе­ мы, В данной главе излагаются некоторые исходные положения по обобщению метода эффективных полюсов и нулей на указанные си­

стемы. Глава носит в значительной мере характер рекомендаций.

§ I. О ВОЗМОЖНОСТИ ОБОЩЕНИЯ МЕТОДА ЭФФЕКТИВНЫХ

ПОЛШОВ И НУЛЕЙ НА ИССЛЕДОВАНИЕ нестационарных СИСТЕМ

При обобщении метода эффективных полюсов и нулей на неста­ ционарные системы целесообразно вводить в рассмотрение понятие шага интегрирования по переменности коэффициентов A t 'и на каж­ дом шаге системы рассматривать как стационарные, т.е. коэффи­ циенты уравнений систем на каждом шаге принимать равными их

значениям для одной из точек данного интервала A t 1 . Условием обобщения метода эффективных полюсов и нулей на

исследование нестационарных систем является предварительное обобщение исходной предпосылки метода, которое состоит в том, что для нестационарных систем эта предпосылка должна выполнять­

ся для каждого шага, т.е. условия (6.58) для нестационарных

систем должны выполняться для каждого интервала A t 1.

Нужно иметь в виду, что шаг интегрирования по переменности

коэффициентов At' в общем случае отличается от шага A t , ко-

420

торый должен применяться при интегрировании дифференциальных уравнений систем обычными методами.

При развитии метода эффективных полюсов и нулей для ста­ ционарных линейных систем широко использовались замещающие си­

стемы уравнений и замещающие структурные схемы.

Для обобщения метода эффективных полюсов и нулей на ис­

следование нестационарных систем также целесообразно использо­ вать замещающие системы уравнений и замещающие структурные схемы. Однако переход к этим системам должен осуществляться

для каждого шага интегрирования A t 1 , т.е. для каждого шага должно осуществляться свертывание уравнений системы в единое уравнение, а затем должен осуществляться переход от уравнения системы к замещающим уравнениям и замещающим структурным схе­ мам.

В общем виде единое уравнение системы для каждого шага A t 1 будем записывать

(Р П+ а , р ПЧ+- а г Р П' г+ ' • • + а п ~ , Р + ° п ) а: = bm f-

В уравнении (7.1) не учитывается в полной мере правая

часть уравнения, от полинома правой ’.'"ти сохранен лишь сво­ бодный член Ьт .

Для стационарных систем правая часть уравнений не учиты­ валась в связи с тем, что учет этой правой части заменялся введением ненулевых начальных условий. Кроме того, это было возможно в связи с тем, что рассматривалось поведение систем при скачкообразном входном воздействии.

Для нестационарных систем возможность не учитывать в пол­ ной мере правую часть.объясняется теми же обстоятельствами, так как предполагается, что будут рассматриваться также скачко­

образные входные воздействия. Особенность заключается лишь в том, что начальные условия определяются по уравнению системы,

вычисленному для начальной.точки процессов.

Для уравнения (7.1) может быть записана исходная замещаю­ щая система уравнений и исходная замещающая структурная схема. Однако целесообразно применять конечные преобразованные си­ стемы уравнений и структурные схемы, об особенностях которых для нестационарных систем говорится ниже.

421

Как уже указывалось, для,нестационарных систем переход к

замещающим системам уравнений и замещающим структурным схемам

должен осуществляться для каждого шага интегрирования A t ' . Однако это не-означает, что для каждого шага необходимо выпол­ нять все преобразования. Необходимо лишь один раз получить тре­

буемые соотношения и зависимости и представить структурные схе­ мы. Затем необходимо лишь для каждого шага определить значения

коэффициентов уравнения (7.1), через которые выражаются коэффи­ циенты замещающих систем уравнений и параметры звеньев в этих уравнениях и в замещающих структурных схемах. Величина шага интегрирования At' при этом может уменьшаться без выполнения операций определения коэффициентов уравнений систем с использо­ ванием процедур Леверье -Фаддеева. Можно при вычислении этих коэффициентов исходить из предпосылки, что требуемые значения коэффициентов для уменьшенных шагов интегрирования по перемен­ ности коэффициентов лежат на отрезках прямых, соединяющих точ­

ки, соответствующие первоначально принятым шагом A t 1. Отметим ешр одно обстоятельство. Замещающие уравнения и

замещающие структурные схемы при переходе от шага к шагу ин­

тегрирования A t 1 будут полностью сохраняться лишь при условии сохранения при этих переходах порядков уравнений отдельных со­ ставляющих.

Из материалов главы I следует, что для стационарных систем

При изменении же порядков отдельных составляющих изменяются

обозначения координат для исходных и конечных замещающих си­

стем уравнений и структурных схем и даже появляются принципи­ альные отличия. В связи с этим обстоятельством должно рассмат­ риваться два случая обобщения задачи приближенного разложения

процессов на исследование нестационарных систем. Более простым является первый случай, при котором порядки отдельных состав­

ляющих не изменяются при изменении шагов интегрирования.

422

Конечные преобразованные замещающие системы уравнений и

структурные схемы, которые использовались при рассмотрении ста­ ционарных систем, характеризуются тем, что в этих системах и

схемах не учитывается взаимное влияние отдельных составляющих, что видно, например, из схем, представленных на рис Л . 28 и

I .41. Для того чтобы подчеркнуть эту особенность, можно указан­

ные системы уравнений и структурные схемы называть конечными преобразованными замещающими системами уравнений и структур­ ными схемами без учета взаимного влияния отдельных составляю­ щих.

При рассмотрении нестационарных систем, кроме указанных, целесообразно использовать также конечные преобразованные за­

мещающие системы уравнений и структурные схемы с учетом взаим­ ного влияния отдельных составляющих. На рис.7.1 показан пример

Рис.7.1

такой структурной схемы для системы п -го порядка. Для этого

примера было принято, что первая, вторая, предпоследняя и по­

следняя составляющие имеют уравнения соответственно первого,

второго, второго и первого порядков.

423

При рассмотрении нестационарных систем целесообразно ис­ пользовать и другие замещающие структурные схемы и системы

уравнений.

Почти использовавшиеся ранее и указанные выше замещающие структурные схемы и системы уравнений отличаются тем, что в этих схемах и системах уравнений индексы координат соответст­ вуют составляющим процессов. Однако это оказывается неудобным

в случае, когда при переходе от шага к шагу интегрирования по­ рядок отдельных составляющих может изменяться.

В связи с этим указанные предыдущие замещающие структурные схемы и системы уравнений можно называть схемами и системами

лесообразно использовать структурные схемы и системы уравне­

ний, которые можно называть схемами и системами уравнений для

не с т а б и л ь н ы х с о с т а в л я ю щ и х .

Вэтих схемах и системах уравнений все координаты имеют

последовательную индексацию от I до л . Поэтому эти схемы и системы уравнений сохраняются при изменении порядков уравнений отдельных составляющих.В ряде случаев эта особенность данных схем и уравнений оказывается удобной. Эта особенность указы­ валась в главе П (§ 7).

На рис.7.2 в качестве примера показаны исходная и конечная

преобразованные замещающие структурные схемы системы /7-го по­ рядка для нестабильных составляющих.

В общем случае применительно к произвольным законам измене­ ния коэффициентов обобщение всех приемов метода эффективных по­

люсов и нулей на нестационарные системы едва ли может быть до­ стигнуто. Однако при определенных ограничениях такое обобщение возможно. Эти ограничения связаны, в первую очередь, с влияни­ ем скоростей изменения коэффициентов уравнений (скоростей изме­ нения постоянных времени отдельных составляющих).

Для пояснения этого влияния обратимся к двум конкретным системам. В качестве первой системы возьмем стационарную си­

стему второго порядка, для которой конечная замещающая система Уравнений имеет вид