книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

404

Рис. 6.15

I*ли последняя составляющая оказывается колебательной, то для нее в соответствии с (6.135)

(6.147)

В первом случае при условии t =*■ £ Л можно считать, что закон­ чился процесс, соответствующий координате х п (см.рис.6.14). Во втором случае при том же условии можно считать закончившимся

процесс, соответствующий координатам л:„и

405

В дальнейшем, объединяя оба рассмотренные случая, будем использовать формулу

Будем принимать, что при выполнении (6.149) можно считать за­ кончившимся процесс по координате х п .

Использование условия (6.149) и формулы (6.148) в случае, если последняя составляющая является колебательной, полностью

соответствует формуле (6.147). Бели последняя составляющая является апериодической, то использование (6.148) и (6.149), как видно из сравнения (6.146) и (6.148), приводит к завыше­ нию требований для времени окончания процесса по координате

х п . Однако такое завышение будем считать возможным. После выполнения условия (6.149) описанный подход может

быть применен к координате . г , затем к следующей координате

2 2 Т.д.

В общем случае для оценки времени затухания координаты х^

Как выше отмечалось, недостаток применения формулы (6.150) и условия (6.I5I) состоит в том, что получается существенно за­ вышенным время затухания апериодических составляющих. С другой стороны, удобство применения (6.150) и (6.I5I) состоит в сле­

дующем. Бели координата х j является выходной координатой ко­

лебательной составляющей, то моменты затухания координат Xj

Изложенным выше образом была преодолена первая трудность в применении для определения процессов структурных схем, по­

казанным на рис.6.14 и 6.15. Вторая трудность состояла в вы­

406

боре шага интегрирования. Здесь применялся следующий подход, йзли наиболее быстропротекакяцей составляющей из числа тех,по

которым ведется интегрирование, является координата x j , то вычислялись два предполагаемых шага интегрирования из условия,

что X j есть выходная координата соответственно апериодической

иколебательной составляющих. Из двух предполагаемых шагов, интегрирования выбирался наименьший.

§8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО АЛГОРИТМАМ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА

ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Вработе в целом и в конкретной форме в данной главе пред­ лагается ряд приемов исследования стационарных линейных авто­ матических систем, которым было дано общее название - "метод

эффективных полюсов и нулей" ("метод простейших составляющих"). Метод эффективных полюсов и нулей может использоваться в

ряде случаев при "ручном" расчете автоматических систем. Одна­ ко в целом метод развивался применительно к использованию

здесь ЦВМ. При этом ставилась цель преодоления ряда принци­ пиальных трудностей применения ЦВМ для исследования автомати­ ческих систем, а также имелось в виду возможно большее сокра­

щение потребного времени счета с тем, чтобы расширить круг задач, которые практически моцут быть решены.

Всвязи с этим при составлении метода эффективных полюсов

инулей оказалось необходимым провести ряд общих поисковых ис­ следований, которые и позволили составить описанные выше алго­ ритмы. Указанные исследования соответствуют следующим обобщен­

ным задачам.

Определение коэДхЬипиантов уравнений систем

В методе эффективных полюсов и нулей предполагается воз­ можность получения коэффициентов левых и правых частей уравне­

ний систем. Мзжду тем для многомерных, многоконтурных, много-

связных и вообще сложных в этом отношении систем получение аналитических выражений для коэффициентов путем свертывания

уравнений звеньев в единое уравнение становится практически невыполнимым.

407

Тогда остается пока единственный путь - использовать матрич­

ную запись уравнений систем и определять коэффициенты путем ра­ боты с матрицами, путем использования процедур для векового уравнения.

В настоящее время известно большое число методов вычисле­ ния коэффициентов этого уравнения (методы А.Н.Крылова, Хессен-

берга, Самуэльсона, А.М.Данилевского, эскалаторный метод и др.). Однако все эти методы оказываются чувствительными к различным особенностям исходной матрицы, алгоритмы становятся чрезвычай­

но громоздкими и вообще этими методами можно пользоваться с

большой осторожностью. В связи с этим указанные методы нельзя рекомендовать к использованию при выполнении массовых, объем­ ных исследований.

Имеется метод Леверье с видоизменением Д.К.Фаддеева,кото­ рый оказывается совершенно нечувствительным к различным особен­

ностям исходных матриц систем, и алгоритм оказывается общим. Вместе с тем указанный метод практически также нельзя рекомен­ довать к использованию для систем, порядок которых выше по крайней мере шести. В данном методе ошибки возникают при опре­

делении последних коэффициентов. Для устранения этого недостат­ ка в работе предлагается двойное применение процедур Д.К.Фад-

деева. При первом применении определяются почти все коэффици­ енты, кроме нескольких последних. При втором применении опре­

деляются и последние коэффициенты. Практика применения указан­ ных процедур подтвердила их эффективность.

Вшчале процедуры были составлены применительно к опреде­ лению коэффициентов характеристического уравнения, а затем эти процедуры были обобщены на случаи вычисления коэффициентов пра­ вых частей уравнений.

Вместе с тем нужно заметить, что для практической проверки пределов применимости описанных процедур необходимы дополни­ тельные исследования.

Оценка запасов устойчивости систем

Как известно, запасы устойчивости систем могут оценивать­ ся различными методами. В данной работе используются приемы,

аналогичные корневым методам. При корневых методах для оценки

запасов устойчивости систем необходимо при каждом сочетании значений параметров определять корни характеристического урав-

408

нения. Между тем при большом числе вариантов исследования эта операция становится чрезвычайно громоздкой, а для систем высоких порядков она вообще невыполнима.

По этой причине возникла необходимость искать пути оценки свойств систем без определения корней. В работе это сделано

на базе задачи выделения простейших первых составляющих из

процессов и вместо действительных корней рассматриваются эф­

фективные корни, выражения для которых записываются сразу в

явном виде через коэффициенты характеристических уравнений.

Причем оценка запасов устойчивости по эффективным корням

сочетается с вычислением параметров тл , по которым опреде­ ляется выполнение исходной предпосылки метода. Применение этих параметров оказывается весьма удачным при использовании в зада­ че оптимизации метода Монте-Карло. Это имеет место потому,что

применение указанных параметров позволяет избежать неоправдан­ ных переполнений ячеек в машине и существенно сократить по­ требное машинное время.

Выше указывалось, что отыскание путей оценки запасов устой­ чивости систем без определения корней осуществлено на базе за­ дачи выделения простейших первых составляющих процессов. Эта задача была развита затем в задачу разложения процессов на про­

стейшие составляющие применительно к системам различных поряд­

ков. Это позволило получить приближенные разложения на простей­ шие сомножители передаточных функций систем. Знаменатели этих

сомножителей и определяют эффективные корни, по которым оцени­

ваются запасы устойчивости систем.

Оценка запасов у с т о й ч и в о с т и п о коэффициентам уравнений

Известно, что корни характеристического уравнения являют­ ся весьма удобными параметрами для оценки запасов устойчивости систем.

Однако эти параметры не характеризуют запасы устойчивости по коэффициентам уравнений, т.е. возможны случаи, когда при ^остаточных запасах устойчивости пс корням характеристического

уравнения (по колебательности) запасы устойчивости по коэффи­ циентам уравнений могут быть ничтожными. . ,

409

Для исключения таких случаев и были введены параметры ms , с помощью которых, как выше указывалось, осуществляется про­ верка выполнения исходной предпосылки. Кроме того, на базе кри­

терия Рауса - Гурвяца была составлена укороченная форма этого критерия, позволяющая с помощью тех же параметров оцени­

вать и запасы устойчивости систем по коэффициентам уравнений без дополнительных расчетов.

Определение показателей качества переходных процессов

без интегрирования .уравнений

Наибольшие трудности применения ЦВМ к расчету автоматиче­ ских систем возникают при необходимости оценивать показатели качества переходных процессов, так как обычный прямой путь

определения переходных процессов требует очень большого вре­ мени счета. Так, например, для определения одного переходного

процесса в системах (10 +15) порядков требуется несколько ча­ сов времени счета.-Ясно тогда, что выполнять задачи оптимиза­

ции, где требуется оценивать показатели качества хотя бы сотен

процессов, не представляется возможным.

Наиболее эффективное разрешение этих трудностей заключает­ ся в отыскании аналитических или таблично-аналитических алге­

браических соотношений, по которым можно оценивать показатели качества процессов без интегрирования уравнений в машине. В работе такие приближенные аналитические соотношения получены. Исходной основой для составления этих зависимостей является

.приближенное разложение передаточной функции системы на про­ стейшие сомножители.

Определение показателей качества переходных процессов

путем интегрирования .уравнений

Другой путь сокращения потребного времени для вычисления показателей качества процессов заключается в сокращении вре­ мени счета, потребного для интегрирования уравнений в машине.

Вработе предлагается с этой целью осуществлять интегрирование

споследовательным исключением быстропротекающих составляющих по мере их затухания при соответствующем увеличении шагов ин­

тегрирования. Это обстоятельство позволяет принципиально со­

410

кратить потребное время счета. Здесь возможен ряд вариантов алгоритмов в зависимости от требуемой точности вычисления про­

цессов. Характерным является возможность составления алгорит­ мов с алгебраическим учетом запаздывания от быстропротекающих составляющих, при использовании которого практически отсутст­

вуют ошибки в определении процессов, а потребное время счета фактически совпадает с временем интегрирования уравнений при

обычном исключении быстропротекающих составляющих.

В проблеме использования ЦВМ для определения переходных процессов затруднения возникают не только в связи с большим потребным временем счета. Эти затруднения часто связаны с вы­ бором шага интегрирования и обеспечением устойчивости счета.

Для преодоления затруднений в обеспечении устойчивости счета в работе предлагается вместо исходных уравнений, опи­

сывающих автоматическую систему, применять для интегрирования замещающие системы уравнений, в которых фигурируют коэффициен­ ты уравнения, полученного после свертывания исходных уравне­ ний. Эти системы уравнений характеризуются совпадением коор­

динат после завершения процессов. Практика применения замещаю­ щих систем уравнений показала, что при выполнении исходной пред­ посылки метода эффективных полюсов и нулей затруднений в выпол­ нении интегрирования не получается и такой путь можно реко­ мендовать в качестве общего приема.

Затруднения, связанные с выбором шага интегрирования, удается преодолеть путем использования результатов метода эф­ фективных полюсов и нулей. Шаг интегрирования выбирается каж­ дый раз на основе приближенного разложения передаточных функ­ ций на простейшие сомножители.

Определение данных по амплитудным частотным характери­ стикам замкнутых систем

В методе эффективных полюсов и нулей качество автоматиче­

скихсистем оценивается по показателям качества переходных процессов, по статическим ошибкам, по установившимся динами­

ческим ошибкам в различных характерных режимах, а также по протеканию амплитудных частотных характеристик.

Для методически точного определения амплитудных частотных

характеристик необходимо использовать передаточные функции систем. Однако для систем высоких порядков, когда в знаменателе

4II

передаточных функций и в общем случае и в числителе имеются

полиномы также соответственно высоких порядков, использование

передаточных функций для определения амплитудных частотных ха­ рактеристик осложняется трудностями размещения чисел в машине и возможными большими ошибками в результатах вычислений. Кро­ ме того, если для оценки протекания амплитудных частотных ха­

рактеристик определять их значения для ряда частот с малыми интервалами между ними, то это потребует большого времени сче­

та. Зто время может быть сокращено, если будут каждый раз из­ вестны корни знаменателя передаточных функций. Однако опреде­ ление этих корней, как выше указывалось, должно быть исключено.

Указанные выше трудности удается исключить при использова­ нии результатов метода эффективных полюсов и нулей по прибли­

женному разложению передаточных функций.

Первоначально в этом методе было получено разложение пере­

даточной функции системы на сомножители, которыми можно было пользоваться для оценки показателей качества переходных харак­ теристик при скачкообразных входных воздействиях. Затем после

проведения самостоятельного исследования оказалось возможным

использовать фактически это же разложение для приближенной оцен­ ки протекания амплитудных частотных характеристик систем. Ука­ занное исследование составляет по-существу обобщение метода эффективных полюсов и нулей на один из видов воздействий,от­

личных от скачкообразных.

X X

X

Перечисленные поисковые исследования, как выше указывалось, и позволили развить приемы исследований, которые в совокупности составили метод эффективных полюсов и нулей. Преимущества при­ менения приемов этого метода соответствуют сформулированным вы­ ше результатам основных поисковых исследований. Шесте с тем из этих результатов вытекают дополнительные преимущества.

Применение алгоритмов оптишзании с использованием случай­ ного поиска.

' Существенное сокращение потребного времени счета для оп­ ределения показателей качества систем позволяет сравнительно широко применять в алгоритмах оптимизации случайный поиск. Это относится сначала к первоначальному выбору сочетаний значений

412

выбираемых параметров, где выполняются все ограничения (или

"почти” выполняются) и показатель качества, для которого нужно

выбрать наилучшее значение, достаточно близок к этому значению (последнее устанавливается предположительно в каждом конкрет­ ном случае) .Процедуры такого первоначального выбора сочетаний значений выбираемых параметров в работе именуются как алгоритм

чисто случайного поиска.

Вместе с тем существенное сокращение потребного времени

счета позволяет также затем для движения из "районов" получен­ ных сочетаний значений параметров не применять градиентные ме­ тоды, а использовать опять случайный поиск, который теперь уже подчинен направленному движению в сторону "наилучшего" значе­

ния показателя, по которому ведется оптимизация, при выполне- '' нии ограничений по остальным показателям. Процедуры указанного движения в работе именуются как алгоритмы направленного слу­

чайного поиска. Применение этих процедур позволяет исключить некоторые недостатки градиентных методов [23 и др.] .

Сокращение потребного времени счета гсттем использования объединенных алгоритмов.

Как выше указывалось, применение приемов метода эффектив­ ных полюсов и нулей позволяет существенно сократить потребное время счета. В свою очередь, в применяющихся в этом методе процедурах наибольшая доля расходуемого времени приходится на алгоритм определения коэффициентов уравнений систем. Одна­ ко применяющиеся зависимости для определения показателей ка­ чества систем позволяют использовать объединенные алгоритмы, в которых по мере вычисления коэффициентов уравнений одновре­ менно осуществляется определение показателей качества состав­

ляющих процессов (в том числе оценка запасов устойчивости). При этом, если данное сочетание значений параметров систем из-за каких-либо показателей качества не должно далее рассматривать­ ся, то исключение этого рассмотрения может быть осуществлено

еще до вычисления всех коэффициентов уравнений систем. Такой подход позволяет дополнительно сократить машинное время, осо­ бенно в связи с тем, что процедуры определения коэффициентов

уравнений систем, как выше указывалось, являются по времени счета наиболее трудоемкими.

В данной работе составлен и использовался объединенный ал­

горитм определения коэффициентов характеристического уравнения

и оценки запасов устойчивости применительно к задачам оптими­ зации.