Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1304 вуза, 5171 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
16.72 Mб
Скачать
☆

364

ставляюцей.

В качестве

примера изложим алгоритмы для

^ -й со­

ставляющей.

 

 

 

 

Предварительно фиксируется порядок предыдущей j

~ J -й со­

ставляющей.

_

 

_

 

Вели

то

I, и если

то^_,=

2.

Затем по соотношению (6.51) получаем

 

 

 

 

i =

'

(6*54)

После этого для j-

составляющей вычисляется параметр p(j^)

по формуле (1.84) с учетом (6.54).

 

 

 

Если р- -с I, то

j составляющая имеет первый порядок и

ее передаточная функция соответствует

(4.138).

 

 

Если

$» I, то j-

составляющая имеет второй порядок и ее

передаточная функция соответствует (4.139).

 

L

При использовании функций (4.138)

и (4.139)

в качестве

должно приниматься число (6.54).

 

 

 

 

Последняя А составляющая

 

 

Для того чтобы правильно осуществить окончание процесса

формирования передаточных функций составляющих процессов,

в

ходе процедур для всех составляющих выполняется сравнение чи­

сел

L

с величиной

п .

 

 

 

Если окажется для

J -й составляющей

 

 

 

 

 

i -

= /7»

(6.55)

то

это означает,

что данная составляющая не существует, и по­

казывает, что предыдущая j

~ I -я составляющая является послед­

ней (

А - составляющей)..

Условие (6.53) используется как

признак окончания процессов.

 

 

В использовании условия (6.55) может возникнуть затрудне­

ние. Действительно, если окажется для очередной J - 1

состав­

ляющей

.

.

.

 

 

 

 

 

 

I =■ i-j-i - п - 11

 

то это показывает,что

эта составляющая является последней

(

Л -

составляющей)

и имеет первый порядок. Однако опреде­

лить затем величину (6.55) не представляется возможным, так как для J— 1 составляющей нельзя определить величину р (р ^ ) (один из коэффициентов в формуле будет иметь отрицательный ин­

декс). Уто свидетельствует о том, что указанный коэффициент не существует. Поэтому принимается условно здесь

365

? j -i = 0,90,

(6.56)

Величине p^_f может быть присвоено и любое другое число, мень­ шее единицы.

х х

х

Таким образом, в результате расчетов по описанным выше

алгоритмам оказываются известными для каждой j -й составляю­ щей параметры и общий порядок i = Lj уравнений уже выделен­ ных составляющих. Это позволяет, как уже указывалось, выбрать формулы для передаточных функций составляющих и определить их

коэффициенты. Оказывается известным также общее число состав­ ляющих Л .

§ 3. МГОРИТШ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ

Алгоритмы определения запасов устойчивости должны состоять из процедур вычисления параметров т 3 и процедур определения

параметров

р

для колебательных составляющих.

Параметры

должны вычисляться по соотношениям (4.140),

а параметры

р

по формуле, которую мы запишем для промежуточ­

ной составляющей. Эта формула имеет вид

(6.57)

Формула (6.57) легко записывается по характеристическому уравнению для j -й колебательной составляющей, которая соот­

ветствует знаменателю функции (4.139). При использовании фор­

мулы (6.57) необходимо учитывать, что оценивать по этой фор­ муле колебательности для составляющих процессов можно при вы­ полнении исходной предпосылки метода, т.е. при условии, когда все параметры т^ равны или меньше единицы (4.140). Это усло­ вие будем записывать

(6.58)

Только при выполнении условия (6.58) могут применяться и все

другие излагаемые ниже алгоритмы.

366

§ 4. АЛГОРИТМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ

Алгоритмы определения показателей качества процессов со­ стоят в применении зависимостей для цроцессов по выходным ко­ ординатам отдельных составляющих для вычисления показателей

качества этих составляющих, а также в использовании зависимо­ стей для времени процессов.

Зависимости для показателей качества апериодических составляющих

Рассмотрим произвольную J -й составляющую. Будем предпо­ лагать, что эта составляющая апериодическая , т.е. имеет урав­ нение первого порядка.

Уравнение для апериодической составляющей при скачкообраз­ ном входном воздействии соответствует (4.138). Для этого урав­ нения процесс по выходной координате (рис.6.1) будет

В (6.59) через х е^ обозначено установившееся значение входной

координаты, которая совпадает с выходной координатой для урав­ нения предыдущей составляющей. Тогда вместо х вх . в формуле (6.59) должно с т о я т ь ((+■ 0),т.е. принимаем

^ в х ,£ ~ х выж , j - 1 0 ) .

367

Вместо (6.59) получаем

 

 

г

1

 

 

a" " r ’ ■ (6,60>

Выражение для х вь/х .(+О)соответствует

(4.138). Соотноше­

ние для х 54/т^_;(+0)может"быть получено из

(4.138) или (4.139)

с учетом того, что здесь рассматриваемая

^-я составляющая име­

ет первый порядок. Тогда с учетом формул перехода

{62] и с

учетом начальных значений для входных координат

и J - 1-ы

составляющих записываем

 

 

Х вых,4

х в ь / X , J - l ( + ^ )

Подставляя (6.61) й (6.62), имеем

х

bm-ii

 

7

Ь Г Т )-1 ;

в ы х , j

а

Лл --1;.,.--7

а П-1;

 

п~Ь

>-

а

 

Ь,

a "‘ V

a n~L:

еQnLj">

(6.61)

(6.62)

(6.63)

Запишем также выражение производной для выходной коорди­ наты:

b m- j. -l

m-i>:

 

О n-i

 

— —J .

n - l . -7

(6.64)

' 8 b i X , J

 

 

 

 

 

 

Q П~ i f

Для оценки качества процессов по апериодическим составляю­ щим необходимо знать начальные значения составляющих и макси­ мальные по абсолютной величине скорости изменения выходной координаты \x gtlxJ max.

Для начального значения апериодической составляющей Хвых,д (+ (^аналитическое выражение составляет (6.61), а выражение

для максимальной по абсолютной величине скорости изменения вы­ ходной координаты получается из (6.64) при^= 0. Имеем

 

bm-i--i

О n - i

Ь m-ij

(6.65)

х В ы х I m a x

а п - 1-

 

'jL . _

tL .

1

'П-Lj-I

а

 

О

 

 

 

 

368

Зависимости для показателей качества колебательных составляющих

Здесь рассмотрим также произвольную j- -ю составляющую. Од­ нако будем предполагать, что эта составляющая является колеба­

тельной, т.е.

имеет уравнение второго порядка.

 

 

Уравнение

для колебательной составляющей при скачкообраз­

ном входном воздействии соответствует

(4.138). Для этого урав­

нения процесс

по выходной координате

(рис.6.2)

будет [э ,62]

 

—

Р t

Р г £

<6-66)

 

х в ы х , ^ Х в х 4 + с, е + с г е

*.

В (6.66) через x 8jc обозначено установившееся значение вход­

ной координаты, которая, как и в процессе для апериодической

составляющей, совпадает с выходной координатой для уравнения предыдущей составляющей. Тогда вместо (6.66) получаем

х в ы х , д ~ lX6bix,j-i(+ Q)i~^ i e 1 + C-ie •

(6.67)

Выражение для х 6б/^с^_1(+0)ыожно получить из (4.138)

и

(4.138), учитывая, что рассматриваемая J -я составляющая имеет второй порядок. Тогда получаем, как и в предыдущем пункте, (6.62).

В зависимости (6.67) р , и р г есть корни характеристическо­ го уравнения. Для колебательных составляющих эти корни комп­ лексно-сопряженные, поэтому для этих корней записываем

Р, =<*

и

р г = a - j c o ,

(6 .68)

369

где

Ot = -

l a n-i: -2

 

 

 

(6.69)

CO =

a n-i i

1

а » - ч - ’

rf

— ---

 

a

 

a

 

n~ r l

 

n- Lr *

Тогда для постоянных Ct

и Сг \&2\,

используя для числителя и

знаменателя функции (4.139) соответственно обозначения R ip ) и Qj(p) имеем

 

 

 

 

w i i p , )

 

(6.70)

 

 

 

 

Pj (P z)

 

 

Цодставляя (6.62),

 

 

PzQUPz)

 

(6.6ь) и (6.70) в зависимость (6.67), по­

лучаем

 

 

 

 

 

 

х Вых,

'т-к1

+

Pj(P,)

e P,t+

Pi (Рг) е Рг t

(6.71)

Р,«Ш

РгЦ(Рг)

 

Cl

 

Представляя постоянные

(6.70)

в виде

 

 

С, = Re

Pj (Pi)

P j(p ,)

P,Qj(P,).

P ^ J ( P r ) J

и

 

Р^(Рг)

Сг = Re

~ Ri(Pz)

M j ( P z )

 

 

 

учитывая, что

г* A

 

 

 

Re

Pj (Pz)

CpJ

 

= Re

 

J>2 Q[(Pz).

f i W P , ) .

Dm Г P i ( P z ) 1 = - Dm

и делая подстановку

e ~ * Mt = co s оo t ± J si-п сo t ,

(6.72)

(6.73)

(6.74)

(6.75)

(6.76)

370

вместо

(6.71)

записываем

 

 

 

 

 

 

 

х

b*n~ii

+

_ °*ij

) R e

 

 

C O S i O t - D m

sincotf.(6.77)

 

 

*

2 е

 

 

 

Bblx’i

an- i a

 

 

 

LMj(Pr).

 

 

щ

т

 

 

Введем обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B = Re М Ы

 

и

C = 3m

 

( 6 . 7 8 )

 

 

 

 

 

P ^ M r )

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

в ы х Лt

Ьm~ i.

+ 2 e° l t [ i 7 c o s c o i - -

C s i n c o t ] .

( 6 . 7

 

an- i;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для представления выражений В

а

С (6.78) через коэффи­

 

циенты исходной передаточной функции обратимся к (4.139).

 

Дифференцируя Qjifi),

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

P j ( f })

_

Ьт - 1 ^ - 2 р

+ (b / n -ij-1 ) Р + Ь т - ij.

 

 

 

рг $

W

 

~

Р ; ( 2 a n~ir

г Р, + a n - i- - ; )

 

 

 

Подставляя

[см. (6.68 )J

и преобразуя, записываем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f y ( P t )

 

 

M + J N

 

(6.80)

 

 

 

 

 

 

 

PjQj(Pj)

 

M l+j P '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

Rj. (Pj)

(ММ'+ N N 'jijiN M 1- MN')

 

 

 

 

 

 

(6.81)

 

 

 

p

 

, W

 

 

 

 

t l ' 2 +

N'z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражения для

M ,

Pi' ,

И

и

N1 представлены ниже.

 

 

Сравнивая (6.78)

и (6.81),

получаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В -

М М ' +

N N 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

5------ 5

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

М ' + И'

 

 

(6.82)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С =

n m ' - m n '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м ,г+ N1

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

М = Ьт - 1 - -

г

 

f

 

 

 

<Г

о

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

N = 2 6 m -ij-г d c o + b ^ ^ ^ c o ;

\

(6.83)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

2 a n - Z ~ i j ^

2 a n - Z - i + a n - i j - l 01 ’

 

 

 

N , -

lt

a

n . i

 

+

a

n _ L

 

cxJ.

 

 

 

<r

<f

.

371

Запишем также выражение для производной выходной коорди­

наты. Из (6.79)

^вь/х,^ ~ 2е°*4 £(Z7oiCcojcos to£-(Cd+J?co)slncoi]. (6.84)

Для оценки качества процессов по колебательным составляю­ щим необходимо знать максимальные значения выходных координат

и максимальные скорости их изменения. Очевидно, что для опре­

деления максимального значения координаты необходимо^найти

значения этой' координаты в трех точках

t = 0 ;

t

- t■zэ.,

 

*

 

 

 

 

 

(ё-85)

и выбрать из них наибольшее. На рис.6.3

показаны примеры,ког­

да максимальные значения соответствуют одной из трех точек

(6.85).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Очевидно также,

что для определения максимальной скорости

изменения координаты х д

-необходимо найти значения этой ско­

рости для трех точек

/

-

.

 

.

 

 

_

‘

 

 

5Г

 

 

 

л

( 6 . 8 6 )

t - 0 •, t - t 3r!

2

'со

И

£ = £

 

_ . + - г - • г г •

^

^э,1 +

2

со

 

и выбрать из них наибольшее. На рис.6.4

показаны кривые,когда

указанные максимальные скорости соответствуют одной из трех

точек (6.86). Вводится также условие,

что для второй точки

цри

 

 

 

 

^ ~ ^Э,1

1 - ^ -

о

(6.87)

 

г сю

 

 

значение х Вь1Х ^ае определяется,

так как значение скорости в

этой точке не имеет Физического смысла.

Из описания излагаемых алгоритмов следует,что для определе­ ния искомых характеристик качества процессов необходимо предва­ рительно определять точки t=t3 , и t = t3Z.Для этого воспользуем­ ся материалами, имеющимися в [9J.

Введем в рассмотрение комплексную функцию

 

Ф ( t) = 2 е* t R* ( P i) j a t .

(6 .88)

W iW

Нетрудно видеть, что ф (f) цредставляет собой логарифмиче­

скую спираль, для которой угол поворота радиуса-вектора равен oot • Причем перемещения проекции точек этой спирали по веще­

ственной оси соответствуют процессу (6.79), точнее его пере-

372

менной части, а точки с вертикальными касательными соответст­ вуют точкам экстремумов процесса йсв&/х^(рис .6.5).

Для того чтобы показать, что перемещения проекции точек рассматриваемой спирали по вещественной оси соответствуют пе­ ременной части процесса (6.79), убедимся в том, что вещест­

венная часть (6.88) равна переменной части (6.79). Для этого достаточно сделать в (6.88) одну из подстановок (6.76), вос­ пользоваться (6.78) и провести преобразования.

Действительно, имеем

373

y{t) = te1* (D + jc)(cosu)t +<fsincot).

(6.89)

Выполняя перемножения, находим

ф(£) = 2е [(Pcoscot - Csin cot)+j- (Ccosoot-<-l)si.ncot)j. (6.90)

Таким образом, на самом деле вещественная часть (6.88) совпа­

дает с выражением для переменной части (6.79).

Из полученного результата вытекает как следствие, что точ­ ки с вертикальными касательными для кривой (6.88) соответству­

ют экстремумам процесса а'й •. Из рис.6.5 видно, что угол по­ ворота радиуса-вектора щжвои (6.88) до точек экстремумов, а

следовательно, и моменты t и t3 г зависят от положения началь­

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности