книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ
.pdfа п -з , n Qп-г,п ~ °n -s,n Qn-г, n .
a n ~ Q n - i
Каждое из соотношений (5.45) есть условие устойчивости по
критерию Гурвица для соответствующего уравнения червертого порядка, в которое введен коэффициент q-L .
Для того чтобы показать справедливость предположения о том, что закономерности взаимного расположения рабочих областей и границ укороченных областей устойчивости, установленные для системы пятого порядка, характерны и для систем других поряд
ков, необходимо провести два исследования.
Нужно, во-первых, доказать, что условия (5.46) действитель
но составляют укороченную форму критерия устойчивости Рауса - Гурвица. Зто будет сделано ниже. Кроме того, нужно показать, что относительно границ, определяемых соотношениями (5.44),
рабочие области имеют такое же расположение, как и для системы пятого порядка, т.е. нужно показать, что закономерности для за
пасов устойчивости по коэффициентам уравнений, установленные для системы пятого порядка, справедливы и для системы п по рядка.
Предварительно рассмотрим понятие о соответственных точках,
точнее о соответственных точках границ рабочих областей.
Пусть рассматриваются запасы устойчивости до двум коэффи
циентам уравнения п порядка |
(2.62) с номерами aL n и |
а ^ , п > |
||
причем примем |
|
|
(5.47) |
|
т.е. рассматриваются запасы устойчивости |
||||
|
||||
т * ( а i . n ) |
и |
rnK ( a h „ ) . |
(5.48) |
|
Нужно сделать суждение о том, |
что здесь идет речь о запа |
|||
сах для соответственных точек, или о том, что рассматриваемое соответствие для указанных запасов отсутствует.
327
n~ ^ Ao,n,n-sP + " ' + P + P +^n-3, n , n s P +An-Z,n,n-sP + An-i,n,nsP+ ^n,n,n-5
n~^ А0,П,П~чР +'" + А П~3,П,П-Чр+Р +P + ^n-2,n,n-!tP +АП~1,П,П-чР+АП,П,П-Ч
n
^ A o,n, П-3p + - " + А п - з , п , п - з Р + А п - ч , п , п - з Р + P + P +An-i,n,n-3,P+An,n,n-i 0
(5.54)
между коэффициентами этих уравнений будут выполняться равенства
1 |
- А |
= А |
2, П,3 • |
- |
А |
А |
|
Ло , л , 1 |
Л 1, п , г |
н |
' |
n n -5fn,n~4- ~ |
п П-Ч,П,П-3 » |
|
|
з , п , 1 = А ч, п, г |
|
5, Пг3 = * |
' • = |
А n - г , п, n - ч ~ & п - 1 , П, П-3 |
(5.55) |
||
|
’ |
||||||
ч, п, |
~ A s , n , - i~ |
^6. п,3 ~ ' |
• • ~ ^ п - 1 , п , п - ч = |
А п, П, П - 3 ’ |
|
||
Пока мы говорили о запасах устойчивости в соответственных точках применительно к одному уравнению. При этом сравнивали
запасы устойчивости по разным коэффициентам. Однако можно го ворить о запасах устойчивости в соответственных точках приме нительно и к разным уравнениям. Зти уравнения могут иметь раз личный порядок и сравниваться могут запасы устойчивости по раз
личным коэффициентам. Так, например, при рассмотрении запасов устойчивости (5.48) можно было считать, что они соответствуют двум уравнениям и даже различных порядков.
Для удобства б дальнейшем обозначения запасов устойчивости
по коэффициентам уравнений, если они отвечают соответственным точкам, будем снабжать индексами с (например, в виде
тн ,Л Ад * Т-Д-Ь
Теперь можно конкретизировать задачу о распространении за кономерностей изменения запасов устойчивости для системы пято го порядка на системы любого порядка.
Требуется доказать, |
что |
справедливы соотношения |
т к ,с (а ч , п ) - т к ,с (а 5,п) |
• • • |
т к , с ( а n -i,n ) ~ т к,с ( a n,n) ~ |
|
|
(5.56) |
Все запасы устойчивости в (5.56), кроме двух последних, от носятся к системе произвольного п -го порядка, а два послед
них - к системе пятого порядка.
328
Для доказательства соотношений (5.56) воспользуемся урав нениями в форме (2.65), т.е. при доказательстве предположения
о том, что закономерности изменения запасов устойчивости для
систем высоких порядков совпадают с закономерностями изменения запасов устойчивости для системы пятого порядка, будем исполь зовать запись уравнений в третьей форме. Это возможно в связи с тем, что переход от уравнений (2.62) и (1.65) к уравнениям
в третьей форме осуществляется при изменениях масштабов оси времени, яри которых, как показано в § I, запасы устойчивости по коэффициентам уравнений не изменяются.
Таким образом, требуется доказать вместо (5.56) следующие соотношения:
т к , с ( А ч , п , п - з ) “ т к , с ( А5, Л , Л - з ) —' • ' - |
т к , с ( Ап-г9п ,п - з ) " |
|||
— т нр (АП,П, П-з) ~ |
( АЧ,5,г ) |
= т к , с |
( А5,5,г)- |
(5.57) |
При доказательстве соотношений (5.57) |
воспользуемся |
|||
вместо (5.54) следующими уравнениями: |
|
|
|
|
4>a o,<m P V +A а з,ч,,Р + а чл,1 = ° * |
|
|
||
5 )Ао,5,гР + А ь5,гР‘*+ Р |
+ Р + Ач,5,гР + А 5,5, г = ®> |
|
||
^ Ао , б , зР +Аь е , з Р + А г , б , э Р + Р +Р + Аз , в , з Р + Аб,б,з~®'> |
|
|||
|
|
|
V |
(5.58) |
п ~ ^ Ao , n - z , n - s P + - " + р + р + Ап ~ з , п - г , п - 5 Р +Ап-г,п-г,п-5
п~» Ао, л-», п^ Р П' ,+ ■■‘ +An-s, п - и п - ч Р ^ Р ^ Р* +
+ ^п -г,п -1,п -ч Р + А п -и п ч ,п -ч = ® >
П) А 0, П , П - Э р П + - ' - + А Л -5 , П, П-3 Р * + АП-Ч, Л, /7-3 Р * + Р3 +
+ Р + А Л -7 , Л , /7-3 + А П, П, П-3 ~ 0 •
Уравнения (5.58) получены из (5.54). При этом в каждом урав нении коэффициенты, номера которых на четыре единицы выше тре тьего индекса в этих коэффициентах, опускаются с одновременным уменьшением порядка уравнений на число опускаемых коэффициен
тов, т.е. в уравнениях учитываются только коэффициенты от нуле вого до коэффициента, номер которого на три единицы выше номе
ра первого из принимаемых за единицу коэффициентов.
Рассмотрим для уравнений (5.58) запасы устойчивости
330
Ч п ^ П - 1,п, п-з ^ П-Ц-, п, П-3 А П-1, п, п-з)
п )т * ,с(К,п,п-з > |
6А п-1? п, п -з |
(5.60) |
|
||
|
|
|
|
1*9Ап-1,П,П-3+ ^(^^^П -Ц ,П ,П -з)Ап-1,П , п -з + |
|
|
+ 0,h-(l + 1QGAn_lh> п_3J / Л. , |Л)Л. з |
|
Учитывая (5.55) и замечания на стр.325-327озапасах устой
чивости в соответственных точках для систем различных порядков, замечаем, что запасы (5.60) равны, т.е. для ряда (5.59) можем
записать
т к , с ( А ч, s 7) = r n H , c ( ^ s , S , z ) = Л7*,с ( А в , 6 , з ) = • ' ‘ ~ т к,с(^п-г,п-г,п-^~
т Х ,с (А п - 1, п -1, п -ь ) ^ к , с ^ п, п, п - з ) ' (5.61)
Рассмотрим последовательно в системе (5.58) сначала два
первых уравнения, затем второе и третье уравнения и далее бу дем увеличивать каждый раз номера следующей пары уравнений.
При рассмотрении первых двух уравнений системы (5.58) заме чаем, что второе уравнение может быть получено из первого урав
нения с использованием связей (2.75) и увеличением порядка уравнения на единицу. При этом запас устойчивости по коэффици
енту А¥ не изменяется, так как при использовании связей (2.75) изменяется лишь масштаб оси времени.
Таким образом, используя равенство между первыми двумя за пасами устойчивости в (5.61), получаем
т н , с ( А 5,z) = т к, с ( А 5,s, г ) • |
(5.62) |
При рассмотрении следующих двух уравнений системы (5.58) замечаем, что третье уравнение этой системы может быть получе но из второго опять с использованием связей (2.75) и увеличе нием порядка уравнения на единицу. При этом запасы устойчиво сти (5.62) по коэффициентам Ач т А5 не изменяется по той же
причине, что и в предыдущем случае.
Таким образом, используя (5.62) и равенство между втор ы м и
третьим запасами в (5.61), получаем
т к,с М ч^в.з) = т к ,с ( ^ 5 , е , з ) - т к,с (А в ,б ,з )'
Продолжая изложенный процесс далее, придем к соотношениям (5.57), если в них исключить последние два запаса устойчивости.
SSI
Для полного доказательства соотношений (5.57) нужно просто еще раз воспользоваться (5.62) и равенством между вторым и третьим
запасами устойчивости в (5.61).
Таким образом, предположение о том, что закономерности из
менения запасов устойчивости для систем высоких порядков совпа дают с закономерностями изменения запасов устойчивости для си стемы пятого порядка, можно считать доказанным.
§ 6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УКОРОЧЕННОЙ ФОРШ КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
РАУСА - ГУРВИЦА ДЛЯ СИСТЕМ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
В соответствии с полученными в предыдущем параграфе соот
ношениям! (5.46) для предполагаемой укороченной формы критерия устойчивости Рауса - Гурвица необходимо доказать, что при вы полнении соотношений (5.46) системы действительно оказываются устойчивыми. Для этой цели можно использовать любой 1фитерий
устойчивости. Ниже будет использоваться алгебраический крите
рий в форме Рауса. Причем использоваться будет методика иссле
дований, которая в общих чертах выше описана применительно к расширенным рабочим областям (гл.У, § 4).
Указанная методика будет состоять в том, что будет осуще ствлена проверка устойчивости систем путем использования кри терия Рауса для различных сочетаний значений коэффициентов <h (5.45). Причем значения каждого из этих коэффициентов должны
лежать в пределах
<£- = 0 * 0 , 7 . |
(5.64) |
Алгебраический критерий устойчивости в форме Рауса целе сообразно применять путем использования специальной таблицы [54], которую запишем для системы седьмого порядка.
В первой и второй строках таблицы выписываются коэффициен ты уравнения с четными и нечетными индексами соответственно. Остальные коэффициенты таблицы вычисляются по соотношениям, которые записаны в таблице.
Для того чтобы система была устойчивой при положительных
коэффициентах характеристического уравнения необходимо и до статочно, чтобы все коэффициенты первой графы таблицы Рауса
были положительными, т.е. 4