книги из ГПНТБ / Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы)

ВВЕДЕНИЕ

Графические способы вычисления гравитационных аномалий нашли широкое применение в практике интерпретации грави­ метрических материалов: при расчете поправок за рельеф мест­ ности, при учете влияний масс соседних территорий, при подборе плотностных моделей по геологическим разрезам, картам и пла­ нам, при решении целого ряда научных и практических задач, связанных с поисками и изучением морфологии подземных объек­ тов. Такого рода задачи встречаются в гравиразведке, в геоде­ зической гравиметрии, в археологии, инженерной геологии и гидрогеологии, при сооружении крупных подземных газо- и нефте­ хранилищ, при изучении вероятных временных вариаций грави­ тационного поля, обусловленных изменением плотности вещества

внедрах Земли, и др.

Воснове широкого применения графических способов лежат такие их качества, как простота и наглядность решения обратной

задачи гравиметрир методом подбора плотностных разрезов, а также возможность оперативного привлечения дополнительной информации о строении конкретного района. Сущность метода подбора, согласно [1], заключается в следующем. Часть однород­ ного по плотности полупространства ниже плоскости наблюдений разделяется на элементарные ячейки, создающие в определенной точке па поверхности земли одинаковый гравитационный эффект. Расположение этих ячеек фиксируется на специальных плоских диаграммах-палетках, вычерченных на бумаге или прозрачной основе. При совмещении геологических разрезов или планов с палетками подсчитывается общее количество элементарных ячеек, попадающих в контур тела, а результат корректируется за от­ личие масштабов изображения геологического строения и реаль­ ного распределения плотности от принятых при построении палетки. Меняя контуры тел, их плотности, а также привлекая до­ полнительную информацию о строении района, добиваются наи­ лучшего совпадения вычисленных гравитационных эффектов с на­ блюденными. Критериями соответствия полученной схемы дей­

ствительному строению района являются согласие плотностной модели с результатами вычисления координат центра тяжести, из­ быточной массы тел, с петрофизическими данными, с геологиче­ скими представлениями о строении района, с материалами исследо­ ваний другими геофизическими методами — магнитометрией, элек­ трометрией, сейсмометрией и др. Отсюда ясно, что метод подбора не может заменить другие методы интерпретации гравитационных аномалий, и при его применении необходимо рассматривать всю проблему «обратной задачи гравиметрии», анализируя как гео­ логическое строение района, так и вопросы разделения аномалий, выбора избыточной плотности, учета рельефа, различного рода искажений аномального гравитационного поля и т. д.

Обычно при конструировании палеток пользуются некоторыми упрощениями, заключающимися в том, что форма тел принима­ ется близкой к правильной геометрической, протяженность тел — бесконечная или конечная, но ограниченная плоскостями. В со­ ответствии с этим реальные тела аппроксимируются элементар­ ными параллелепипедами, цилиндрическими телами произвольного сечения или материальными дисками и т. п.

Графическим способам вычисления гравитационных аномалий посвящена весьма многочисленная литература. К настоящему времени предложено много различных конструкций палеток. Наибольшее распространение получили наборы палеток К. Ф. Тяпкина [1], позволяющие вычислять аномалии первых и вторых производных гравитационного потенциала от конечных по разме­ рам цилиндрических тел.

Применение графических способов, позволяющих рассчитывать гравитационные эффекты от тел сложной формы, наиболее близкой к форме реальных геологических объектов, способствует повыше­ нию эффективности интерпретации методом подбора.

Настоящая работа является дальнейшим развитием исследо­ ваний К. Ф. Тяпкина [1], автора [2, 3] и Д. Г. Успенского [4]. Кроме того, использованы многочисленные работы советских и зарубежных исследователей, ссылки на которые приведены в тек­ сте. Большое внимание уделено графическим способам вычисле­ ния первых и вторых производных гравитационного потенциала, инструментально определяемых в настоящее время. Рассмотрены также вопросы вычисления аномалий потенциала и его третьих производных. Последние нашли широкое применение в практике интерпретации гравиметрических материалов, и есть определен­ ная перспектива их измерения в самое ближайшее время [5J. В отличие от наборов палеток К. Ф. Тяпкина, универсальные па­ летки, предложенные в настоящей работе, позволяют проводить вычисления одновременно нескольких производных одного по­ рядка от тел сложной формы как по их горизонтальным, так и по вертикальным разрезам. В основу конструирования универсаль­ ных палеток положен принцип расчета гравитационных эффектов

4

Г л а в а I

ИСХОДНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА

Как известно, интегральное выражение для аномального гра­ витационного потенциала W (или потенциала притяжения V) можно представить в следующем виде [6]:

( 1)

V

где / — гравитационная постоянная, dm — масса единицы объема v тела, а г — расстояние от внешней точки, в которой определя­ ется гравитационный эффект, до элемента массы тела.

Совместим начало прямоугольной системы координат XYZ с внешней точкой и предположим, что плотность возмущающих масс а постоянная. Тогда путем дифференцирования подынте­ гральной функции (1) по соответствующий! координатам получим следующие формулы для первых производных 16]:

Повторное дифференцирование дает выражения для вторых производных гравитационного потенциала:

St* ГЧт2 _ г-

J \ — рг~ dxd»d*;

о

[ \ [ ~3V ! dxd,jdz;

(3)

р

w xz = 3/с J \ J -p f d x d y d z ;

V

6

Wy. = З/о ^ ^ ^ - y y d xd yd z ;

Расчет палеток для вычисления гравитационных аномалий может быть проведен в любой системе координат. Однако в прак­ тике гравиметрических исследований наиболее часто приходится иметь дело с объектами, вытянутыми в каком-либо одном горизон­ тальном или вертикальном направлении. В этих условиях целе­ сообразно использовать горизонтальную или вертикальную ци­ линдрическую систему координат (рис. 1). Переход от прямо­ угольной к горизонтальной цилиндрической системе координат осуществляется при помощи следующих соотношений [6]:

7

x- + z~ = p2.

Соответственно для вертикальной цилиндрической системы будем иметь

х= I cos а;

у= I sin а;

(6)

dxdtjdz = Idldadz

+ г/2 = г2-

Реальные геологические объекты можно аппроксимировать горизонтальными цилиндрическими телами, ограниченными по простиранию вертикальными плоскостями, перпендикуляр­ ными к оси ОY, или же вер­ тикальными цилиндриче­ скими телами, ограниченными на глубине горизонтальными плоскостями, перпендику-

Рис. 2. Горизонтальные и верти­ кальные прямые цилиндрические тела со сложной конфигурацией нормальных сечений.

лярными к оси OZ, (рис. 2). Применение цилиндрических си­ стем координат целесообразно также потому, что наиболее часто

8

вычисление гравитационных эффектов проводится по вертикаль­ ным геологическим разрезам или горизонтальным планам и кар­ там. В некоторых случаях мы будем пользоваться и другими си­ стемами координат, выражение в которых интегралов (1)—(4) будет рассмотрено отдельно.

Перепишем формулы (1)—(4) в цилиндрических системах ко­ ординат:

W. = /а JS!<sS S (,'= + , ! ) *

v

w „ - f , j e e ^ e - . ) - ^

V

ГГ Г p2y COS 0

^= 3/0 JJ

(10)

9