книги из ГПНТБ / Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы)

Ввиду сходства формул (10) и (11) в вертикальной цилиндри­ ческой системе координат вычислим только некоторые интегралы:

40

Расчет палеток и номограмм

Р<

41

и перепишем исходные формулы в горизонтальной цилиндрической системе координат:

0,,+i —0,.

W ^ W Z lC n U

Wgt=W^[Ca ]\

IF , = IF” [С22],

где вместо p и b при расчетах коэффициентов С21 и С22 фигурируют

1 и z, а

А А '-А + * 1) +

1пт

Таким образом, можно построить две палетки. В качестве основы для первой из иих возьмем двухмерную палетку, описан­ ную Д. Г. Успенским [4] и воспроизведенную на рис. 15. При ее построении использовано уравнение (66), где о=1.0 г/см3, р0=1.0 см, (W)2=1.0-10-9 СГС, а разность синусов двойных углов равна 0.1. Полученные радиусы используются для проведения концентрических колец двухмерной палетки и для вычисления

Pep. =Ti±ldliL _ Последние значения позволяют рассчитать попра­

вочные коэффициенты Съдля дискретных значений b, z. Совместив с двухмерной палеткой два семейства кривых поправочных коэф­ фициентов С21 и С22, вычисленных по формуле (73), получим уни­ версальную палетку для расчета следующих производных:

42

Аналогичным образом строится двухмерная палетка по фор­ муле (68). Положив в ней (И02=1.0-10“9 СГС, Z0= 1.0 см,

с= '1.0 г/см3 и разность синусов равной 0.1, рассчитаем значения радиусов концентрических колец и кривые поправочных коэф­ фициентов С23. Здесь при расчетах С23 использованы значения

радиусов Zcp= —1—■+1 и дискретные значения г.

Горизонт для Wxz

Рис. 15. Двухмерная палетка для вычисления вторых производных гравита­ ционного потенциала по вертикальным сечениям горизонтальных цилиндри­ ческих тел, по Д. Г. Успенскому [4].

Универсальные палетки изображены на рис. 16 и 17 (см. вкладку). Отличительной их особенностью является безразмерность и палеток, и контуров изображаемого тела (однако только при сохранении равенства горизонтальных и вертикальных мас­ штабов). Кроме того, при использовании первой палетки (рис. 16) необходимо корректировать величину коэффициента С21, умножая ее на множитель, содержащий частное от деления разности углов

4 3

на разность синусов двойных углов (формулы (74), (75)). Кор­ ректирующие множители для каждой пары смежных углов универ­ сальной палетки выписаны в ее нижней части. Знаки зон влияний

Рис. 18. Схема наложения на геологический разрез двухмерной части универсальной палетки C2i, 22 и знаки зон влияний при вычислении ею аномалий Wxx, W zz, Wxz, W Aпо вертикальным се­

чениям тел (а) и палетки С23 при вычислении по ней аномалий и Wyz (6).

универсальных палеток для удобства использования сохранены

44

а также других производных в соответствии с табл. 5 и форму­ лами (74), (75). Развернув двухмерную палетку на 45°, мы сможем использовать ее при вычислениях Wx_по вертикальным сечениям тел, а также других производных в соответствии с теми же форму­ лами. При этом необходимо пользоваться прежними значениями коэффициентов С21 и С22 и множителей, равных частному от деле­ ния разности углов на разность синусов двойных углов (коэф­ фициенты А).

Другая универсальная палетка (рис. 17) применяется для рас­ чета Wx. по горизонтальным сечениям тел. Развернув ее на 90°,

Значения коэффициентов С21, С22 и С23 вычислены на ЭВМ. Для удобства построения кривых поправочных коэффициентов в верхней части универсальных палеток приводится линейный масштаб, принятый при конструировании диаграмм, хотя сами палетки, как это отмечалось выше, являются безразмерными.

Процесс работы с палетками, точность вычислений

Процесс работы с палетками для вычисления вторых производ­ ных гравитационного потенциала аналогичен вычислению первых производных и описан в литературе [1, 4, 38, 50 и др. ]. Допол­ нительным моментом здесь является только учет знаков зон влия­ ний различных палеток.

В случае применения универсальных палеток работа услож­ няется. Прежде всего, в пределах контура тела или части тела с одинаковой избыточной плотностью и постоянными размерами по простиранию или на глубину подсчитывается по двухмерной палетке число секториальных площадок в пределах каждого полу­ кольца или кольца концентрических окружностей отдельно. Для каждого кольца или полукольца снимаются также с номограмм значения коэффициентов С22 или С23. Дальнейший процесс работы в этом случае аналогичен процессу работы с универсальными палетками для вычисления первых производных гравитационного потенциала, но только с учетом знаков зон влияний двухмерной палетки. При использовании коэффициентов С21 необходимо до­ полнительно учитывать и множители, снимаемые с периферической части палетки и определяющие отношение разности углов к раз­ ности синусов двойных углов. В этом случае вычисления целе­ сообразно проводить в два приема. Первоначально для каждого кольца или полукольца двухмерной палетки снимаются с номо­ граммы соответствующие значения коэффициентов С21, а затем для

45

каждого сектора отдельно с учетом знаков зон влияний палетки суммируются полученные коэффициенты С21и умножаются на коэф­ фициент А сектора и на число площадок в секторе, находящихся в контуре тела (рис. 19). Дальнейшие операции определяются формулами (74) и (75). Вычисления далее повторяются для другой части тела, в другой точке плоскости и т. д. Окончательный резуль­ тат корректируется за отличие реальной плотности геологических тел от принятой при построении палеток.

Практика показывает, что при некоторой громоздкости вы­ числительных операций с использованием предложенных универ­

Рис. 19. Схема учета коэффициентов А , С21 и С22 при вычислении ано­ малии Wгг по вертикаль­

сальных палеток они отличаются от предложенных ранее способов по крайней мере двумя положительными сторонами: нагляд­ ностью поведения кривых поправочных коэффициентов и возмож­ ностью вычисления одновременно нескольких производных, как по вертикальным, так и по горизонтальным сечениям тел сложной формы. Как и в случае первых производных, процесс вычислений значительно упрощается, если постоянны избыточная плотность тела и размеры его по простиранию или на глубину. Если объект не симметричен относительно плоскости XOZ или его верхняя кромка располагается выше или ниже плоскости XOY, то при вы­ числениях необходимо воспользоваться формулами (39).

Точность расчетов аномалий вторых производных на теорети­ ческих моделях достигает (5-^10) • 10_9 СГС и может быть повышена за счет использования более дробных делений палетки, дополни­ тельных кривых поправочных коэффициентов и более детального расчленения тела на элементарные цилиндры. Примеры расчета

46

аномалий на теоретических моделях приведены на рис. 20. В реаль­ ной обстановке погрешность вычислений обуславливается прежде

Рис. 20. Примеры вычисления аномалии W ,, над шаром (о=

Аппроксимация шара горизонтальными коаксиальными прямыми цилин­ дрическими кольцами выполнена аналогично рис. 9, но только через 200 м. 1 — теоретические кривые; 2 — значения аномалий, полученные по универсальным палеткам.

всего схематичностью принятых при интерпретации моделей гео­ логических разрезов, а также сложным законом распределения плотности горных пород.

Г л а в а У

ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРЕТЬИХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА

ОТ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Третьи производные гравитационного потенциала в настоящее время инструментально не определяются. Однако в целях разде­ ления аномалий широко применяются различные способы транс­ формации карт аномалий силы тяжести в карты третьих верти­ кальных производных потенциала [27, 42, 49, 51—55, 56 и др.]. Кроме того, вопросам использования в гравиразведке производ­ ной W^ посвящена статья К. Ф. Тяпкина [57], производной W'Х23 — статья П. И. Лукавченко [58]. А. А. Юньков [59] иссле­ довал производные W^ и IT.... В монографии И. А. Балабуше-

47

вича [5] рассмотрены уже практически все третьи производные гравитационного потенциала и даны решения прямой задачи для тел правильной геометрической формы. Одновременно с исследо­ ваниями свойств различных производных и анализом формул преобразования карт аномалий силы тяжести в карты высших производных широко проводилось практическое опробование их в разных геологических условиях, а также в магнитометрии и электрометрии [41, 42, 46—49, 53, 54, 58, 60—65 и др.]. Соот­ ветственно предложены двухмерные палетки для вычисления ано­ малий некоторых третьих производных [59, 66—69]. Палетки в основном используются для вычисления W,£, и Wxxx согласно уравнениям (12). Однако они могут быть также использованы и для вычисления Wrrr и Wxrs, что следует из анализа этих выражений в горизонтальной цилиндрической системе координат, если палеткп развернуть на 30°. Аналогичным образом они могут быть применены и при вычислениях аномалий W ^ , PF , W и W

по горизонтальным сечениям тел при использовании вертикальной цплпндрической системы координат (формула (13)).

Для тел сложной формы, ограниченных по простиранию или на глубину, даже наборов плоских палеток, насколько известно автору, не построено. По-видимому, это обстоятельство следует связывать с широко распространенным мнением о незначительном влиянии конечных размеров тел на аномалии от двухмерных объек­ тов. Поиски конструкции универсальной палетки для вычисления третьих производных гравитационного потенциала от тел слож­ ной формы по их горизонтальным н вертикальным сечениям по­ ведем теми же путями, что и при рассмотрении производных низ­ шего порядка.

Вывод рабочих формул

Выполним интегрирования (12) и (13):

®А-+1 P»+i ь

48

(77), (79), (81) и (83) аналогичны некоторым формулам в верти­ кальной цилиндрической системе координат, отличаясь от них сомножителем 2. Поэтому можно построить универсальную, па­ летку для вычисления третьих производных и по горизонтальным,

z —> со обращаются в нули. Для них возможно построение набора палеток по схеме, рассмотренной во второй главе.

Расчет палеток и номограмм

Перепишем полученные выражения: