книги из ГПНТБ / Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы)

10

С Г f zl (3/2 — 2z2)j

W'» = 3/0! 1 J ф Ц ф ф Г dld3d*‘.

Сопоставление формул (7), (8) и (9), (10) и (И), (12) и (13) для ка­ кой-нибудь одной системы коордииат, а также выражений для производных одного порядка в различных системах коордииат ■свидетельствует о сходном их написании. Это позволяет надеяться на возможность построения трехмерных диаграмм, единых для расчета различных производных гравитационного потенциала. Поскольку потенциал и все его производные являются гармони­ ческими функциями, то в точках пространства, не занятых притя­ гивающей массой, должно выполняться условие равенства нулю

•оператора Лапласа [7]:

11

Уравнение (14) необходимо при вычислении одних производных потенциала по значениям других.

Для расчета гравитационного эффекта какого-либо тела не­ обходимо в соответствии с поставленной задачей выполнить ин­ тегрирования (7)—(13). При графическом методе вычисления гра­ витационных аномалий интегрирование приближенно заменяется суммированием по всему объему тела. Для этих целей все нижнее полупространство разделяется на элементарные объемные ячейки с одинаковым гравитационным действием, создаваемым каждой

у —от — b до -)-&. При этом объем элементарного горизонтального цилиндра длиной 2Ъ и симметричного относительно плоскости

XOZ равен 26pdpd0.

Аналогично для вертикальной цилиндрической системы ко­ ординат пределы интегрирования будут следующие: по I — от Z,. до li+1, по а — от аА. до ад.+1 при изменении углов от 0 до 2 к и по z — от 0 до z. Соответственно объем элементарного вертикального цилиндра, верхняя кромка которого совпадает с плоскостью XOY,

анижняя погружена на глубину z, равен zldlda.

Взаключение этой главы приведем таблицу некоторых неопре­ деленных интегралов, с которыми приходится иметь дело при вы­

числении (7)—(13):

12

Вое интегралы, кроме 1-го, 2-го, 7-го, 12-го, 17-го и 20-го, могут быть вычислены при помощи подстановок Эйлера или же путем под­ становки x = atgt. В последнем случае они сводятся к интегра­ лам от различных комбинаций функций синуса и косинуса. Осталь­ ные интегралы (15) являются табличными или же легко приводятся к ним.

Г л а в а II

ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ОТ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

Большой интерес, проявляемый гравиметристами к изучению глубинных плотностных неоднородностей в Земле при интерпре­ тации региональных съемок, привел некоторых исследователей к выводу о целесообразности использования при этом потенциаль­ ной функции [9,10,11,12]. Действительно, в аномальном поле гра­

13

витационного потенциала проявляются эффекты даже от оченьудаленных частей геологических объектов, а значения потенциаль­ ного поля сравнительно просто могут быть получены по картам аномалий силы тяжести [9, 13]. Соответственно предложены наборы палеток для вычисления аномалий потенциала от тел простой и сложной форм. Автор не разделяет точку зрения об эф­ фективности интерпретации аномалий гравитационного потенци­ ала главным образом потому, что при замене геоида плоскостью в процессе вычисления аномалий по картам гравиметровых съе­ мок, а также при подборе плотностных моделей геологического строения больших площадей, будут наблюдаться значительные искажения, обусловленные влиянием сферичности Земли. И по­ скольку проблема разделения полей в данном случае приобретает первостепенное значение, при использовании метода подбора по­ стоянно придется иметь дело с анализом сложных искажений ано­ мального поля. В случае реальной геологической обстановки такой анализ может явиться неоправданно громоздкой операцией. Од­ нако необходимо накапливать опыт интерпретации аномалий гра­ витационного потенциала, в частности па сравнительно неболь­ ших площадях. Поэтому ниже приводятся рабочие формулы, по­ зволяющие построить универсальные палетки для вычисления

Сравнивая (16) и (17), замечаем, что при одинаковом разделе­ нии полупространства в горизонтальной и вертикальной системах координат, если принять z=b, Z;= р,. и afc = 0fc, последнее выраже­ ние в два раза меньше первого. Это позволяет построить только одну универсальную палетку, например в горизонтальной системе

14

координат, а при использовании ее по горизонтальным сечениям тел уменьшать цену деления в два раза.

Для вычисления гравитационного потенциала в горизонтальной цилиндрической системе координат от тел сложной формы можно построить одну палетку, например для Ъ—В единиц масштаба, а при расчете аномалий от тел с другими Ъвоспользоваться семей­ ством кривых поправочных коэффициентов С0, определяемым вы­ ражением

Ясно, что при вычислениях по этой палетке с другими Ъ не­ обходимо эффект от тела с Ъ=В умножить па соответствующий коэффициент С0= / ( р, Ь):

нее [2, 3] для вычисления первых производных гравитационного потенциала от тел сложной формы.

Палетка для вычисления аномалий гравитационного потенци­ ала от трехмерных тел сравнительно просто может быть построена с использованием ЭВМ. Удобно исходную палетку с фиксирован­ ным Ъ=В строить с постоянным значением разницы углов А0, например с Д0=О.О349 радиана, ив определенном масштабе, на­ пример 1 : 100 000 или 1 : 10 000. Тогда из формулы (16) получим значения радиусов, ограничивающих элементарные секториальные площадки, каждая из которых создает в начале координат одина­

По этим данным строится основная палетка, аналогично тому, как это описывает В. И. Старостенко [12]. Семейство кривых поправочных коэффициентов C0—f (р, Ь) целесообразно совместить с основной палеткой. С этими целями значения полученных радиу­ сов необходимо подставить в выражение (18) и вычислить коэффи­ циенты С{)для различных дискретных Ъ. Здесь используются те же значения р,. и pf+1, что и при построении основной палетки. Кривые поправочных коэффициентов в случае гравитационного потенци­

15

ала ые являются асимптотическими. Палетки для расчета анома­ лий потенциала являются масштабными. Подставляя в формулу (16) вместо р и b значения п р и nb, получим

т. е. увеличение (или уменьшение) масштаба изображения в п раз ведет к (увеличению уменьшению) цены деления палетки в п2 раз. Эффект от тела с данным Ърассчитывается как сумма элемен­ тарных воздействий от цилиндров в Ъ=В, умноженных на соот­ ветствующие коэффициенты С0, при учете масштаба изображения М и избыточной плотности тела Дс-:

Процесс работы с палетками для вычисления аномалий грави­ тационного потенциала подробно описан В. И. Старостенко [12].

Г л a a a 111

ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЕРВЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ОТ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

С вычислениями вертикальной производной гравитационного потенциала от тел сложной формы постоянно приходится иметь дело в процессе интерпретации аномалий силы тяжести: при рас­ чете поправок за рельеф, при учете влияний плотных масс сосед­ них территорий, при подборе геологических разрезов [1, 4, 8, 13— 19 и др. ]. Горизонтальные производные в настоящее время не опре­ деляются инструментально, но сравнительно просто могут быть получены путем трансформаций карт аномалий силы тяжести [1, 20 и др.]. К. Ф. Тяпкин [1, 20] рекомендует использовать го­ ризонтальные производные для ослабления регионального фона, осложняющего аномалии силы тяжести, а также при подборе плот­ ностных разрезов. Кроме того, вычисление горизонтальных про­ изводных позволяет определить аномалию силы тяжести от пла­ стовых тел с различными элементами залегания относительно ис­ ходной линии наблюдений [1, 16, 21].

Предложено большое количество разнообразных графических способов вычисления первых производных гравитационного по­ тенциала от тел сложной и простой геометрической формы, в раз­ личных координатных системах, для ручной и машинной обработки материалов и т. п., предложены различные схемы аппроксимации реальных тел в виде элементарных параллелепипедов, призм, цилиндров, пирамид, конусов, материальных дисков и т. д. [1, 6, 8,

16

20—34 и др.]. Наибольшее внимание при этом уделено конструи­ рованию палеток или набора палеток для вычисления вертикаль­ ной производной гравитационного потенциала. Палетки очень просты в случае двухмерной задачи.

Однако практика интерпретации гравитационных наблюдений свидетельствует о том, что допущение о бесконечности размеров реальных тел может привести к большим погрешностям и, как следствие этого, к неправильным геологическим выводам. Для рас­ чета аномалий первых производных гравитационного потенциала от трехмерных тел строят, как правило, наборы палеток или спе­ циальные таблицы и номограммы. Представляет большой интерес построить универсальную палетку для расчета гравитационных эффектов как от двухмерных, так и от трехмерных тел по схеме, предложенной ранее автором

В случае двухмерной задачи при Ъ-> со

и получаем ноль в случае симметрии цилиндра относительно плос­ кости XOZ. Выполним интегрирование для половины цилиндра, вытянутой в направлении оси -\-OY\

ДВТАЛЬКОГО ЗАЛА

Для вертикальной производной получим

а (27) и (28) с (31) и (32), замечаем, что при одинаковом разделении нижнего полупространства они различаются между собой на по­ стоянный множитель 2 (за исключением (25) и (26) и (33—34)), появившийся в результате вычислений определенных интегралов с различными пределами: от —Ъ до -\-Ъ в горизонтальной цилин­ дрической системе координат и от 0 до z — в вертикальной цилинд­ рической системе. С другой стороны, формулы (23), (24) и (27), (28), а также (29), (30); (31) различаются между собой только множителем, равным разности синусов или косинусов элементар­ ных углов. Это позволяет построить единую палетку для расчета

18

Wx, Wy и Wz по горизонтальным и вертикальным селениям тел. Другая палетка для вычисления W, по горизонтальным сечениям тел может быть использована для расчета W у от половины тела длиной 2Ъ по его вертикальному сечению.

Расчет палеток и номограмм

В качестве основы для построения универсальных палеток вос­ пользуемся уравнениями (28) и (34). Первое из них позволяет по­ строить двухмерную палетку К. Юнга [21]. Для этого разделим нижнее полупространство системой коаксиальных горизонтальных цилиндров с осью, совпадающей с осью OY, и радиусами основа­ ния р;, а также системой наклонных плоскостей, проводимых че­ рез плоский угол 0 fc, на элементарные цилиндры бесконечного про­ стирания. Элементарные цилиндры образуют в сечении с плос­ костью XOZ секториальиые площадки и создают в начале коор­ динат равный гравитационный эффект. Полагая в формуле (28)

Во втором случае (формула (34)) разделим нижнее полупро­ странство системой коаксиальных вертикальных круговых ци­ линдров с радиусами основания I. и системой вертикальных двух­ гранных углов, определяемых плоскими углами а,., с общим ребром, совпадающим с осью 0Z, на элементарные вертикальные ци­ линдры, создающие в начале координат одинаковый гравитацион­ ный эффект в 1.0 • 10~3 СГС. Верхнее основание таких цилиндров совпадает с плоскостью XOY; а нижнее уходит «на бесконечность». Полагая в формуле (34) а=1.0 г/см3, а Да/.=2к/36, определим раз­ ность радиусов коаксиальных цилиндров. По этим данным стро­ ится другая двумерная палетка.

Для расчета гравитационных эффектов от трехмерных тел совместим двухмерные палетки с двумя семействами кривых попра­

где (W)i — первые производные потенциала.

Тогда все расчеты можно вести по двухмерным палеткам, а при учете размеров трехмерных тел корректировать результаты вы­

Раскроем (35), используя выражения (27), (28) и (33), (34). Тогда для двух семейств коэффициентов Сх получим