книги из ГПНТБ / Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы)

С точкой, в которой определяется гравитационный эффект, сов­ мещается центр палетки, а ось OZ ее ориентируется вертикально вниз. По двухмерной палетке подсчитывается количество площа­ док равного действия, попадающих в контур тела, но только для каждого горизонта Az отдельно. Все трапециалыше площадки*

Коэффициент d

ограниченные смежными радиальными лучами, по этому же направлению проектируются на плоскость Z = 4.5 Az и далее на ось абсцисс.

В верхней части палетки из точек проекции, параллельно оси OY вычерчиваются измененные размеры тела по простиранию. Если проекция на плоскость Z = 4.5 Az осуществлена сверху, то размеры тела по простиранию должны быть увеличены в d раз, если же снизу, то уменьшены также в d раз. Искомый трехмерный эффект равняется сумме эффектов частей тела, отсекаемых плос­ костью XOZ в направлении осей -\-OY и —OY. Эффект каждой части определяется как произведение числа гиперболических по­

30

лос и их частей, ограничивающих измененные размеры тела по простиранию, на число площадок двухмерной палетки, цена деления которых уменьшена в два раза (гравитационный эффект от полубесконечных призм). Изложенное поясняет рис. 12. Двух­ мерные эффекты от элементарных призм составляют 2.0 мгл каж­ дый. Трехмерный эффект от призмы длиной 25=6.0 км составляет

2-0.905 = 1.81 мгл, а от призмы длиной 25=10 к м — 2-0.45= =0.90 мгл.

Можно пользоваться также истинными размерами тела по про­ стиранию, однако цена деления гиперболических полос в этом случае каждый раз должна находиться по табл. 1. В таблице коэффициент 1/771, определяющий изменение телесных углов, пропорциональное изменению цены деления гиперболических полос, приведен для случая разделения полупространства на одномиллигальные бесконечные призмы. Для палетки, описанной выше, все значения коэффициентов необходимо увеличить в два

(*. ■')

Здесь Рк — количество площадок равного действия но двухмерной палетке, выраженное в миллигалах; dk — масштабный коэффи­ циент, снимаемый с нижней части палетки; q. — коэффициент, определяющий число элементарных телесных углов, под которыми из центра палетки видны размеры тела по простиранию на гори­ зонте Z=4.5 Az. Процесс вычислений повторяется для каждой точки профиля.

Трехмерная палетка Г. А. Гамбурцева может быть использо­ вана также при вычислениях аномалий силы тяжести от тел сложной формы по их горизонтальным сечениям. В этом случае строятся наборы плоских гиперболических палеток для каждого горизонта Az отдельно. Реальное тело аппроксимируется ма­ териальными листами на тех же глубинах, и для каждого листа в отдельности подсчитывается гравитационный эффект аналогично тому, как это описано В. Б. Наугольниковым [33]. Вместо набора палеток можно воспользоваться какой-нибудь одной дляфикси­ рованного горизонта, а при вычислениях на других горизонтах изменять цены делений, определяемые коэффициентом 1/тп (табл. 2).

Если реальное тело ограничено по простиранию сложной по­ верхностью или же поперечные размеры его очень значительны, то в этом случае затруднительно проводить интерполяцию между гиперболами и целесообразно разбить тело на несколько более простых или провести более детальное разделение полупростран­ ства системами плоскостей, двухгранных углов и конических поверхностей. Точность вычислений при этом повышается.

31

На рис. 13 приведен пример распета гравитационного эффекта от горизонтального кругового прямого цилиндра, симметричного относительно плоскости XOZ. Как видно из рисунка, точность вычислений на теоретической модели вполне удовлетворительная.

К числу недостатков трехмерной палетки следует отнести не­ которую громоздкость вычислительных операций, сложность ин­ терполяции по площади гиперболических и трапециальных пло­ щадок, а отсюда — и меньшую точ­ ность расчетов. Повышение точности расчетов путем дополнительного раз­ деления полупространства на более дробные объемные ячейки влечет за собой возрастание вычислительных опе­

раций.

Рис. 13. Расчет аномалии силы тяжести над горизонтальным прямым круговым цилинд­ ром (<з=1.0 г/см3, 2Ь=20 км) по трехмерной палетке Г. А. Гамбурцева.

j— теоретическая кривая силы тяжести; 2 — зна­ чения силы тяжести, вычисленные по палетке.

Положительным моментом, если учесть широкое применение двухмерной палетки Г. А. Гамбурцева в практике гравиметриче­ ских исследований, является возможность сравнительно простой оценки искажений при замене реальных геологических объектов телами бесконечных по простиранию размеров. Необходимо также считаться с тем обстоятельством, что трехмерная палетка Г. А. Гам­ бурцева позволяет проводить вычисления аномалий силы тяжести от тел сложной формы по их горизонтальным сечениям. Еще одна такая возможность применения трехмерной палетки изложена ниже.

Некоторые другие способы

Уравнение (45) допускает различные способы деления полу­ пространства на равные телесные углы. Рассмотрим некоторые из них, в частности те, которые позволяют построить наборы плоских палеток.

Разделим нижнее полупространство на равные телесные углы системой коаксиальных круговых конических поверхностей с осью симметрии OZ и с общей вершиной в начале координат. В этом случае на полусфере радиуса R вырезается несколько сферических поясов, высоты которых равны между собой и составляют h=Az. Проведем также через равные интервалы А2 параллельные гори­ зонтальные плоскости. В пересечении конических поверхностей с- горизонтальными плоскостями образуются усеченные коаксиаль­

32

ные конические кольца, создающие в начале координат одинаковый гравитационный эффект.

Плоские палетки строятся для середины каждого интервала Az. В этом случае на любом уровне Zk будем иметь семейство кон­ центрических окружностей, разделив которое дополнительно ра­ диальными лучами — следами вертикальных плоскостей, обра­ зующих равные телесные двухгранные углы Дф, получим искомые палетки. Общий вид вертикального сечения трехмерной диаграммы

и палетка для уровня Z=4.5 Az приведены на рис. 14,а. По­ строение палеток весьма просто. Для этого необходимо выбрать интервал Az и радиус сферы R. При делении плоскопараллельной пластины телесными углами иа десять частей, каждая из которых создает в начале координат одинаковый гравитационный эффект

ния горизонтальных линий (следов пересечения плоскопараллель­ ных пластин с плоскостью чертежа) с окружностью радиуса R соединяются с началом координат. При вращении полученных треугольников вокруг оси OZ полупространство разделяется кони­ ческими поверхностями на равные телесные углы (46).

Следовательно, для построения набора палеток достаточно для середины каждого интервала Az снять значения радиусов концент­ рических окружностей и дополнительно разделить каждую па­ летку радиальными линиями на равные сектора. В пересечении радиальных линий и концентрических окружностей образуются

секториальные площадки. Цена деления одной секториальиой площадки плоской палетки определяется формулой (50), однако в ней необходимо заменить т = 4к/Д шна ;?1=2тг/Дш. На рис. 14, а

т = 10, а 71 = 16, поэтому е=0.25 мгл.

Процесс работы с набором таких палеток описан в литературе [8, 33]. Геологическое тело аппроксимируется горизонтальными материальными листами на глубинах интервалов Дz, а грави­ тационный эффект, создаваемый каждым листом на дневной по­ верхности, определяется как произведение числа секториальных площадок соответствующей палетки, попадающих в контур ма­ териального листа, на цену деления, избыточную плотность и множитель, устанавливающий отличие масштабов изображения тела и палетки. Суммарный эффект от всех материальных листов в данной точке поверхности определяет гравитационное дейст­ вие тела.

Вместо набора палеток можно воспользоваться одной, для ка­ кого-либо фиксированного уровня Z, например для Z=4.5 Дг, а при вычислениях на других Zk или перестраивать масштаб изо­ бражения, что не всегда удобно, или же изменять цену деления в пределах каждого концентрического кольца. Изменение цены деления легко может быть установлено аналитически или графи­ чески из рис. 14 через изменение телесных углов, под которыми на различных горизонтах видны отдельные концентрические кольца на горизонте Z=4.5 Az. В табл. 3 приведены соответ­ ствующие значения цены деления для такой палетки. Расчеты произведены по формуле

где i = l, 2, 3. . . — порядковый номер плоского угла, определяю­ щего соответствующий телесный угол Дсо., а следовательно, и номер концентрического кольца плоской палетки; h. — высота сферического пояса, вырезаемого на сфере радиуса R тем же телесным углом.

Для практических целей таблицу удобно совместить с какойнибудь четвертью палетки и вычертить на кальке. Удобно также приведенные значения цены деления уменьшить в п раз соответ­ ственно дополнительному делению полупространства на равные телесные углы Дф.

Аналогично вышеизложенному можно использовать двухмер­ ную палетку Г. А. Гамбурцева. Вращением ее вокруг оси OZ мы также образуем конические поверхности, однако телесные углы, заключенные между ними, не будут равными (рис. 14, б). Поэтому и цена деления концентрических колец плоских палеток также будет разной. Изменение цены деления от центрального

34

Т а б л и ц а 3

Изменение цены деления концентрических колец r 4—r <+j плоской палетки для уровня 2= 4 .5 Дг (рис. 14, а) при расчетах ею на горизонтах Z k, мгл

h

Ti-T-i+l

кольца к крайнему определим через изменение телесных углов;

цева, a h. — высота сферического пояса, вырезаемого на сфере ра­ диуса R телесным углом Дик. В табл. 4 приведены значения цены деления концентрических колец от центрального к край­ нему, рассчитанные по формулам (50) и (55).

Таблица 4

Цепа деления концентрических колец горизонтальных сечений конических поверхностей, образованных вращением вокруг оси OZ двухмерной палетки Г. А. Гамбурцева

В остальном построение палеток и их применение аналогично изложенному выше. К числу достоинств этого способа следует отнести простоту построения набора плоских палеток с исполь­ зованием широко известной двухмерной палетки Г. А. Гамбурцева. Таким образом, намечается еще один способ применения нормаль­ ного сечения двухмерной палетки Г. А. Гамбурцева для вычисле­ ния аномалий силы тяжести от тел сложной формы по их горизон­ тальным сечениям.

Недостатками предложенного способа являются большое коли­ чество плоских палеток и необходимость пользоваться разными дробными ценами делений. Значение этих факторов может быть снижено, если так же, как и ранее, вместо набора палеток воспользоваться одной, например для уровня Z=4.5 Az, а при рас­ четах на других горизонтах определить новые значения цены деле­ ния концентрических колец и совместить их с частью плоской па­ летки. В табл. 5 приведены значения цены деления концентри­ ческих колец от центрального к крайнему для палетки Z=4.5 Az при иснользоваиии ее на горизонтах Zt. (масштаб 1 : 100 000, о=1.0 г/см3, Az=0.955 км). Расчеты проведены по формуле (54).

Разделить полупространство можно также при иной ориенти­ ровке конических поверхностей. Так, например, в трехмерной палетке Г. А. Гамбурцева иногда целесообразно поменять местами оси ОХ и OY, разделив полупространство в направлении оси ОХ телесными двухгранными углами и коническими поверхностями. Плоские палетки, как и в других случаях, строят для середины каждого интервала. Применение их аналогично описанным выше.

36

Таблица 5

Изменение цены деления концентрических колец г(—г,+1 плоской палетки для уровня Z = 4.5Az (рис. 14, б) при расчетах ею на горизонтах Zд., мгл

Наконец, возможны комбинации различных способов деления полупространства на равные телесные углы. Вероятно, они также могут оказаться полезными при решении некоторых специальных вопросов. Так, представление полупространства в виде горизон­ тальных плоскопараллельных пластин и равных вертикальных двухгранных углов с успехом использовано автором при построе­ нии простых палеток для учета гравитациоииого влияния массы океанической воды в прибрежной части материка.

Г л a it а IV

ГРАФИЧЕСКИЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВТОРЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА ОТ ТЕЛ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

В гравиметрии инструментально определяются горизонтальные градиенты силы тяжести Wxz и Wy2, вертикальный градиент силы

тяжести W_„, а также кривизны W±= Wуу—Wxx и 2Wxy, Харак­

теризующие отклонение поверхности уровня от сферической формы [4, 35—38 и др.].

Гравитационные поля вторых производных (по сравнению с первыми) в значительной степени свободны от влияния постоян­ ной составляющей регионального фона и, кроме того, позволяют разделять аномалии от близко расположенных геологических объектов. Поэтому широко применяются также преобразования карт аномалий силы тяжести в карты W ^, W , Wxx, Wy2 и W2Z

[1, 5, 20, 39—42 и др.]. Вторые производные гравитациоииого потенциала используются в гравиразведке и при астрономо-

геодезических работах [1, 4, 5, 8, 13, 14, 17, 18, 20, 29, 35—38, 42—49 и др.].

До последнего времени было широко распространено мнение об очень слабом влиянии конечных размеров тел на аномалии вторых производных. Поэтому в методе подбора наибольшее при­ менение получили двухмерные палетки [38, 50 и др.]. Работами К. Ф. Тяпкииа, Д. Г. Успенского и других исследователей было показано, что при интерпретации аномалий вторых производных гравитациоииого потенциала также необходимо учитывать реаль­ ные размеры тел. К. Ф. Тяпкипым [1, 20] были построены наборы плоских палеток • для вычисления Wх2 и W„ по вертикальным разрезам конечных по простиранию цилиндрических тел, а Д. Г. Успенским [4] — универсальная палетка для вычисления Wxr от двухмерных и трехмерных объектов по их вертикальным сечениям. В настоящей работе построены универсальные палетки для вычисления аномалий вторых производных гравитационного потенциала от тел сложной формы как по их вертикальным, так и горизонтальным сечениям.

3S

Принцип, который используется при конструировании универ-» салышх палеток для вычисления аномалий вторых производных, аналогичен рассмотренному в предыдущей главе. На основе фор­ мул для тел «бесконечной» протяженности в цилиндрических системах координат строятся двухмерные плоские палетки, сов­ мещенные со специальными номограммами — семействами кривых поправочных коэффициентов С2, позволяющими учитывать реаль­ ные размеры тел. Одиако приходится использовать уже несколько коэффициентов Сг и учитывать знаки зон влияний палеток. Все это приводит к возрастанию объемов вычислений, что без исполь­ зования ЭВМ не всегда целесообразно. Тем не менее автор считает полезным построение универсальных палеток, поскольку они позволяют заменить наборы диаграмм, вычисленные для дискрет­ ных параметров трехмерных тел, а также оценивать влияние конечных размеров тел, и, следовательно, решать вопрос о необхо­ димости введения соответствующих поправок.

39