книги из ГПНТБ / Богданов, В. И. Вычисление гравитационных аномалий от трехмерных тел (графические способы)

Подставив в формулы (37) и (38) основные данные, использован­ ные при построении двухмерных палеток, можно рассчитать Сп

Рис. 5. Схема наложения иа геологический разрез двухмерной части универсальной палетки Сп и зпакп зон влияний при вычис­ лении ею аномалий Wг, XVх по вертикальным и XVх, Wу по гори­ зонтальным сечениям трехмерных тел.

и С12 для дискретных значений конечных по размерам горизонталь­ ных и вертикальных цилиндрических тел. Универсальные палетки приведены на рис. 3 и 4 (см. вкладку). Анализируя выражения (23), (24), замечаем, что двухмерная палетка К. Юнга может быть использована для расчета Wx по вертикальным сечениям тел, если ее развернуть на 90° и проставить знаки влияний зон: «плюс» — в сторону оси -{-ОХ и «минус» — в сторону оси —ОХ. В случае использования палетки при расчете аномалий от тел по их горизон­ тальным сечениям необходимо достроить ее вторую половину и за­ менить ось OZ на ось -{-OY. При этом знаки влияний распреде­ лятся следующим образом: при расчете Wx — «плюс» —' в сто-

20

—OY (рис. 5). При этом цена деления палетки должна быть умень­ шена в два раза.

Другая двухмерная палетка (рис. 4), совмещенная с семейст­ вом кривых поправочных коэффициентов С12, может быть исполь­ зована при расчете W от половины длины тела. Для этого поло­

вина универсальной палетки накладывается на вертикальный разрез тела. Цепа деления палетки при этом не изменяется.

Двухмерные и трехмерные палетки для вычисления первых производных гравитационного потенциала являются масштаб­ ными. При увеличении или уменьшении масштаба изображения тела во столько же раз увеличивается или уменьшается цена де­ ления палеток.

Процесс работы с палетками, точность вычислений

Для вычисления первых производных гравитационного по­ тенциала по предлагаемым палеткам необходимо прежде всего вычертить контур тела в вертикальной или горизонтальной плос-

кости, причем горизонтальный и вертикальный масштабы должны быть равными. Реальное тело аппроксимируют прямыми горизон­ тальными или вертикальными цилиндрами с произвольной кон-

21

фигурацией основания, с таким расчетом, чтобы для каждого из них были бы постоянным Да и ЪилиZ. На кальке изображают кон­ туры этих цилиндров и накладывают ее на палетку (или, наоборот, палетку, вычерченную на прозрачной основе, накладывают на разрез или план) таким образом, чтобы точка, в которой необхо­ димо определить гравитационное действие тела, совпала с цент­ ром палетки, а контуры тела покрылись бы сеткой секториальпых площадок. Далее, в пределах каждого кольца, ограничивающего

Рис. 8. Различные случаи расположения цилиндри­ ческих тел относительно линии или плоскости наблюдений.

Внизу рисунка даны номера формул, по которым опре­ деляется суммарный гравитационный эффект.

одномиллигальные секториальные площадки, подсчитывается ко­ личество площадок, попадающих в контур цилиндрического тела. Тем самым определяется гравитационный эффект пк, мгл, создан­ ный частью тела бесконечных размеров. Для полученных значений пк снимаются соответствующие поправочные коэффициенты Си . Далее находят произведение пкСи и повторяют операцию для сле­ дующей части тела, в пределах следующего кольца коаксиальных цилиндров (рис. 6, 7). При суммировании полученных произве­ дений по всему контуру тела, принимая во внимание знаки зон влияний, избыточную плотность тела и масштаб изображения, получим гравитационный эффект от всего тела в данной точке:

Операцию повторяют для следующей точки профиля или плоскости и т. д.

22

В зависимости от расположения цилиндрических тел относи­ тельно расчетных линий, кроме случая (39), соответствующего симметрии горизонтального тела или выходу на дневную поверх­ ность вертикального цилиндрического тела, в практике часто встречаются более сложные случаи, когда тела несимметричны от­ носительно плоскости XOZ или их верхняя кромка не совпадает с плоскостью XOY:

иф + W°f-

w\’- - w f '

Расположение цилиндрических тел для этих случаев и индексы формул приведены на рис. 8. Как видно из рисунка, первоначально

Wz , мгл

Рис. 9. Примеры расчета аномалий силы тяжести над шаром (с=1.0 г/см3) универсальными палетками Сп и С12.

палеткам.

вычисляется эффект от двух фиктивных тел, симметричных от­ носительно плоскости XOZ, или от цилиндрических тел, основание которых совпадает с плоскостью XOY. Далее вычисляется/истин­ ный гравитационный эффект по приведенным выше формулам. Такие случаи в практике подбора плотностных разрезов встреча­

23

ются при вычислении гравитационных аномалий от тел сложной формы или переменной плотности. Реальное тело аппроксимиру­ ется элементарными горизонтальными или вертикальными ци­ линдрами с постоянной избыточной плотностью каждого из них.

Подробное описание процесса разбивки тел иа цилиндры, а также определение контуров тел и избыточной плотности их приводится К. Ф. Тяпкииым [1, 20]. Некоторые практические рекомендации, исходя из опыта работ автора, приводятся в по­ следней главе.

Работа с палетками значительно упрощается, если постоянны размеры по простиранию или на глубину и избыточная плотность цилиндрических тел.

Точность расчетов с палетками (по сравнению с теоретическими моделями) может достигать 0.1 мгл (рис. 9). При этом, как сви­ детельствует опыт интерпретации гравиметрических съемок на Кольском полуострове, значительная часть погрешности обуслов­ лена не столько ошибками интерполяции по площади секториальных площадок, сколько искажениями исходного аномального гра­ витационного поля и отличием истинных параметров геологиче­ ских объектов от принятых при интерпретации. Необходимо также иметь в виду, что точность расчетов по универсальным диаграм­ мам можно значительно повысить, увеличивая масштаб изобра­ жения геологических объектов и применяя более дробные деления секториальных площадок и реальных тел.

Для удобства вычислений при работе с универсальными палет­ ками все расчеты рекомендуется вести по единой форме (табл. 1).

Сумма

В этом случае появляется возможность контроля вычислений. Кроме того, табличные значения могут быть полезными при одно­ временном вычислении нескольких производных одного порядка.

24

Обобщение графического способа академика Г. А. Гамбурцева на случаи вычисления аномалий

силы тяжести от трехмерных тел

Г. А. Гамбурцевым [22] предложен простой графический способ расчета аномалий силы тяжести от двухмерных горизонтальных тел, по их нормальным сечениям. Как известно [6], притяжение массы горизонтального цилиндрического тела бесконечного про­ стирания можно представить в виде:

Можно произвести замену simpdp=dz, тогда

Из последнего соотношения следует способ разделения полупростраиства на горизонтальные призмы равного действия систе-

Рнс. 10. К определению гравитацион­ ного эффекта элемента материального листа.

мой наклонных, проходящих через ось OY, и параллельных го­ ризонтальных плоскостей, проводимых через равные интервалы Дер и Az. Такая замена координат, предложенная Г. А. Гамбурце­ вым, оказалась весьма удачной, и палетка, отражающая этот спо­ соб представления полупространства, отличаясь простотой и ори­ гинальностью построения, иашла очень широкое применение [8, 4, 18]. Укажем на возможность расширения области применимости способа Г. А. Гамбурцева при вычислении аномалий силы тяжести, обусловленных трехмерными телами.

Сконденсируем массу слоя мощностью Az на материальную плоскость и определим через д = aAz его поверхностную плот­ ность. Вертикальная составляющая гравитационного притяжения элемента плоскости в начале координат определится [18] как

Здесь г — расстояние до начала координат, а (3— угол между этим направлением и осью OZ (рис. 10). Элемент массы слоя можно представить в виде

25

где d m — элементарный телесный угол, под которым из начала координат виден элемент площади. Подставляя (43) в (42) и при­ нимая во внимание весь заданный контур, получим известное со­ отношение:

(44)

или, возвращаясь к объемной массе,

(45)

Отсюда легко, в частности, получить выражение (41), заменяя телесный двухграниый угол Дсо=2 к/re плоским углом Дад = п/п. Выражение (45) может быть, по аналогии с выражением (41), использовано для построения объемной диаграммы. Но обобще­ ние способа Г. А. Гамбурцева для трехмерных тел сложнее. Можно непосредственно искать решение в виде разницы эффектов, на­ пример от призм бесконечного и конечного размеров по прости­ ранию, как это было сделано с палеткой К. Юнга. Однако рабочие

•формулы в этом случае получаются громоздкими, и при этом теря­ ется основное достоинство способа Г. А. Гамбурцева — его про­ стота.

Ниже предлагается, не изменяя сущности двухмерного способа, провести дополнительное разделение полупространства в направ­ лении простирания бесконечных призм двухмерной палетки. Из формулы (45) следует, что такое разделение возможно в том случае, если вновь образованные объемные ячейки будут видны из начала координат под равными телесными углами. Поскольку бесконечные призмы палетки Г. А. Гамбурцева образованы пе­ ресечением горизонтальных плоскопараллельных пластин и гра­ нями равных двухгранных углов, определяемых плоскими углами Дер двухмерной палетки (формула (41)), то дополнительное разде­ ление полупространства выполним при помощи конических кру­ говых поверхностей с вершиной в начале координат и общей осью

•симметрии, совпадающей с осью OY. В этом случае на сфере ради­ уса R образуется несколько сферических поясов, вырезаемых коак­ сиальными коническими поверхностями, высоты которых равны между собой и составляют /г.

Выберем h=Az двухмерной палетки и рассмотрим только ниж­ нее полупространство. При делении плоскопараллельной пластины коаксиальными коническими поверхностями на 20 равных частей, видимых из начала координат под равными телесными углами Д ш, гравитационный эффект каждой части составит 2.0 мгл (масштаб 1 : 100 000, о=1.0 г/см3), если принять /г=0.955 км. Значение ра­ диуса R выбирается кратным /г=Дг, например Г? = 10 Дг. Далее

26

ось 0 Y разделяется на равные отрезки /г, через концы которых проводятся прямые, параллельные OZ, до пересечения со сферой радиуса R. Точки пересечения их соединяются с началом координат. При вращении полученных треугольников вокруг оси ОУ нижнее полупространство разделяется коническими поверхностями на равные телесные углы:

в материальную плоскость, проходящую через середину интер­ вала Az, и рассмотрим следы, образующиеся на ней при пересе­ чении с коаксиальными коническими поверхностями. Уравнение конических круговых поверхностей с осью, совпадающей с осью OY , и с вершиной в начале координат запишется в виде:

Всечении с ними плоскости Zk=H образуются гиперболы

я2

с равными мнимыми и переменными действительными осями. При Z —0 из выражения (47) будем иметь

т. е. отношение с/а определяет угловой коэффициент линий пере­ сечения коаксиальных конусов с координатной плоскостью XOY.

Построение гипербол для каждого горизонта Zk производится по осям; отношение da легко может быть определено аналитически пли же графически при построении равных телесных углов А ш. Гиперболы и линии пересечения двухграиных углов Дф, определяе­ мых плоскими углами Дер палетки Г. А. Гамбурцева, с плоскостью Zk образуют площадки равного действия:

зуемся одной плоской гиперболической палеткой для горизонта Zk=4.5 Az и совместим ее с двухмерной палеткой Г. А. Гамбур­ цева. Рассмотрим также изменение ординат одноименных точек гипербол при переходе с одного Zx на другой Z%=dZx. Так как при изменении Z аналогичным образом будет изменяться и X (Х2=

27

гипербол (48) примут вид:

Поскольку изменение Z и X учитывается двухмерной палет­ кой Г. А. Гамбурцева, то для учета изменений Y, прямо пропорцио­ нальных. изменениям Z, достаточно рассчитать для каждого ин­ тервала Аз значения d —Z^IZv В табл. 2 для этих целей рассчитаны коэффициенты 1 //??., пропорциональные изменениям телесных уг­ лов А (о., под которыми на различных горизонтах Z,. видны соот­ ветствующие гиперболические участки плоскости Z=4.5 Az. Рас­ светная формула для этого случая имеет вид:

где г = 1,2,3. . . — порядковый номер плоского угла от оси OZ, определяющего телесный угол Дог, a h. — высота сферического пояса, вырезаемого на сфере радиуса R телесным углом Дш,..

На рис. 11 изображена трехмерная палетка Г. А. Гамбурцева. Нижняя ее часть представляет собой двухмерную палетку (мас­ штаб 1 : 100 000, а=1.0 г/см3, Дз=0.955 км). В верхней части вычерчено семейство гипербол — следов коаксиальных кониче­ ских поверхностей с плоскостью Z=4.5 Аз. Прямые, параллельные оси OY, представляют собой следы пересечения двухгранных уг­ лов Дф с той же плоскостью. В пересечении параллельных линий и гипербол образуются площадки равного действия. Цена деления одной объемной элементарной призматической ячейки, ограничен­ ной в плоскости XOZ трапециями двухмерной палетки, а в плос­ кости XOY — коническими поверхностями, определяется по фор­ муле (50). Для случая, изображенного на рис. И , она составляет 0.1 мгл (т=20, цена деления элементарной призмы двухмерной палетки 2.0 мгл). В нижней части палетки для каждого интервала

Дz выписаны значения коэффициентов d— - ^ - , где к = 0.5, 1.5,

2.5,. . . — середины интервалов Az. В верхней части палетки при­ ведены цены деления объемных ячеек, ограниченных элементар­ ными призмами двухмерной палетки и коническими поверхностями для горизонта Z=4.5 Az.

Процесс работы с палеткой следующий. На разрезе, как обычно, изображается в определенном масштабе вертикальное сечение тела, избыточная плотность которого составляет Дз,

28

Таблица 2

V i