![](/user_photo/_userpic.png)
книги из ГПНТБ / Слободенюк, Г. И. Квадрупольные масс-спектрометры
.pdfэтот конденсатор из конца в конец. Траектории всех остальных ионов, попавших в области, обозначенные на рис. 3 одинарной или двойной штриховкой, «нестабиль ны», т. е. отклонения их от оси конденсатора со време нем неограниченно возрастают вдоль оси х или у, оди нарная штриховка, или в обоих направлениях одновре менно, двойная штриховка. Другими словами, квадрупольный конденсатор с напряжением вида (111) на его
Рис. 3. Совмещенная диаграмма стабильности уравнений Матье (1.12) и (1.13).
электродах может обладать избирательностью по мас сам и, следовательно, его можно использовать в качест ве анализатора в аналитической части масс-спектро метра.
Из бесконечного числа областей со стабильными ре шениями (см. рис. 3), в каждой из которых в принципе возможна нормальная работа квадрупольного масс-спек трометра, удобнее всего работать в области, располо
женной вблизи начала |
координат |
диаграммы |
(a, |
q). |
|
Ведь чем меньше значения |
коэффициентов а и q, |
тем |
|||
меньше в соответствии |
с выражениями (1.15) |
требую |
|||
щиеся для анализа ионов с |
массой |
т постоянное |
(U) |
и переменное (И) напряжения, подводимые к электро дам анализатора. Вместе с тем вблизи начала коорди нат можно работать в широком диапазоне масс, прак тически без паразитных сигналов, создаваемых ионами других масс, попавшими в удаленные от начала коорди нат (a, q) стабильные области, расположенные в основ ном вдоль оси q. Если же работать в одной из этих удаленных областей, то в спектре масс постоянно будут присутствовать паразитные сигналы за счет стабильной области около начала координат. Есть и другие преи мущества работы в указанной области стабильности, которые будут рассмотрены ниже.
На рис. 4 в укрупненном масштабе изображена вы бранная на диаграмме (a, q) область стабильности, расположенная вблизи начала координат. Легко убе-
10
![](/html/65386/283/html_fk_O4cGiDd.quev/htmlconvd-Xbxoae12x1.jpg)
диться в наличии избирательности по массам у квадрупольного анализатора, а также понять принцип его ра боты в режиме сканирования по спектру масс. Выберем внутри области стабильности произвольную точку с координатами (щ, qi)- Этой точке при заданных значе ниях радиуса поля анализатора Го, частоты ВЧ-колеба-
|
I----- |
1----- |
1 |
I |
I |
I |
и__ I |
к / / |
||
О |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5, |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0 |
Рис. 4. Первая область диаграммы стабильности уравнений Матье (1.12) и (1.13).
ний а» и напряжений U и V соответствует такая величи на массы nii, при которой однозарядный * положитель ный ион, выпущенный из ионного источника в анализа тор параллельно оси г, полетит по стабильной траекто рии, пройдет весь анализатор и достигнет приемника ионов, стоящего за анализатором. Если со временем ни один из параметров анализатора не изменится (т. е. останутся постоянными значения со, U, V, г0), то в при емник ионов попадут и просуммируются в общем токе все ионы с массами в диапазоне т,\<т<т2. Значения тх и тг соответствуют точкам пересечения прямой, про ходящей через начало координат и точку (a,, qi), с гра ницами области стабильности. Уравнение этой прямой можно записать в виде
а — 2Xq, |
(1.18) |
* См. примечание на стр. 5.
11
где K=ai/2qi=UilVi. Точки пересечения прямой и гра ниц области стабильности (см. рис. 4) имеют координа ты (аи qx) и (а2, q2) . Пользуясь соотношениями (1.15), можно рассчитать границы интервала масс ионов, про пускаемых квадрупольным анализатором, т { и т2:
тi |
8eU, |
или |
|
4eVj |
|
|
|
— ----- — |
|
|
|
|
|
||
и |
щгош2 |
|
|
<7i/'oc°2 |
|
(1.19) |
|
8eUi |
|
|
4eVj |
|
|||
т2 |
или |
|
|
|
|
||
= -------- |
|
Q*r'i0)2 |
|
|
|
||
|
агг \0)2 |
|
|
|
|
|
|
Увеличивая угол наклона |
прямой a = 2Xq с помощью |
||||||
соответствующего выбора значений U и V, можно со |
|||||||
кратить интервал прозрачности анализатора |
( т ь |
т2) |
|||||
теоретически |
до такой |
сколь |
угодно |
малой величины, |
|||
чтобы через^ анализатор проходили |
ионы |
лишь |
строго |
||||
определенной массы, а |
все остальные оседали |
на |
его |
||||
электродах. Из приведенных |
рассуждений |
следует, |
что |
разрешающая способность квадрупольного масс-спектро
метра по массам |
зависит |
от наклона |
прямой a = 2Xq, |
т. е. от значения |
X=U/V. |
Выше была |
рассмотрена ра |
бота анализатора в режиме слежения за ионами опре деленной массы. Если изменять во времени один из па раметров анализатора, например частоту со или напря жения U и V, то регистрирующее устройство зафикси рует спектр масс, представляющий собой последователь ность импульсов. Каждый импульс будет соответство вать определенному номеру массы, а его амплитуда_ парциальному содержанию данного компонента в ана
лизируемой |
смеси веществ. Развертку спектра масс в |
|||
большинстве случаев |
осуществляют |
пропорциональным |
||
изменением значений |
U и V при сохранении неизменным |
|||
отношения |
между ними (A = cosnt). |
При |
этом техниче |
|
ски проще |
обеспечить линейную шкалу |
по массам, а |
также добиться максимально широкого диапазона ана лиза по массам за один цикл развертки.
Отметим в заключение, что точкам прямой (1.18) на диаграмме (a, q) (см. рис. 4) при заданных параметрах анализатора соответствуют ионы разных масс, причем чем больше масса иона, тем ближе к началу координат
плоскости (a, q) располагается на этой прямой соответ ствующая данному иону точка.
12
§2. Аналитические выражения для стабильных
инестабильных траекторий ионов в поле квадрупольного анализатора
Для определения основных параметров масс-спектро метра необходимо знать вид стабильных и нестабиль ных траекторий ионов в квадрупольном анализаторе, а также факторы, влияющие на их форму.
Найдем аналитическое выражение стабильной траек тории. Точкам, выбранным на диаграмме (а, q) обла сти стабильности (см. рис. 4), соответствуют чисто мни мые дробные значения показателя степени р, в решении канонического уравнения Матье (1.17):
|
H = iP, 0 < р < 1. |
|
(1.20) |
Выражение (1.17) с учетом (1.20) |
можно преобразо |
||
вать к виду |
|
|
|
хЦ, |
q) = А сер (£, <7) + Я sep(g, q), |
(1.21) |
|
где сер(£, q) и |
sep(g, q) — четная и |
нечетная |
функции |
Матье действительного дробного порядка р [20]. Разло жение этих функций в ряд по тригонометрическим функ циям имеет вид:
|
|
оо |
|
( 1-22) |
сер ( | , |
q) = K |
Yi |
Ca,c o s ( 2 r + P H ; |
|
|
|
Г = — ОО |
|
|
sep(L |
q) = K |
2 |
Ca,sin(2r-f Р)£, |
(1.23) |
|
|
r = —oo |
|
|
где C0= l, a К — нормирующий множитель [20]*. Из об щего решения (1.21) для канонического уравнения Матье (1.16) легко найти общие решения для уравнений (1.12) и (1.13), при этом необходимо лишь учесть ре зультаты, изложенные в приложении 2:
х = А cePl(£, — q)+ B se^{l,—q); |
(1.24) |
||
У= Ссер2(g, q) + |
D sePz (£, q), |
(1.25) |
|
где 0 < p i < l ; 0 < р 2< 1 ; А , В, |
С, |
D — постоянные инте |
|
грирования. Соотношения (1-24) |
и (1.25) представляют |
||
собой аналитическое выражение |
траектории |
стабильно- |
* Общий вид функций Матье приведен в приложении 2, а ме тодика расчета значения Р и коэффициентов разложения С2г — в приложении 3.
13
го иона в параметрической форме. Постоянные интегри рования находим по известным начальным условиям,
обозначаемым х0 и х0 |
dx |
|
» Уо и Уо — |
|||
Ж |
1= 1» |
|||||
|
|
|
|
|||
ответствующим моменту времени |о: |
|
|||||
|
dsept do, —q) |
|
||||
X° |
|
dl |
|
II |
1 |
|
|
|
о |
||||
сер, do, —Я) |
5se|31d, |
—я) |
|
|||
|
dl |
|
S=5o |
|||
t |
— *psept (^о. —Я) |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
c e p , |
d . — я ) |
||
— s e p , |
d o , — я ) |
|
a g |
j |
||
|
|
|
|
|
ii jj |
|
|
|
|
|
|
i |
dy dl
©
и со
(1.26)
D
1
|
x0cepi do, |
—?) — |
|
|
|
|
|||
tc P, ^o, —ЧУ |
aseP, |
ag |
—'?) |
|
S=6o |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
aeePi d, |
—Q) |
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
Ш) |
|
ИЛ |
|
о |
|
|
|
* 1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
II |
|
> |
(1.27) |
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||
-с |
|
|
ag |
|
|
|
|
||
sep, |
do, — 9) |
|
|
£=i„ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уо |
^ sep2 d . |
9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ag |
|
£=!o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cc |
г |
л |
/ “ Р*(£ ,9 ) |
|
|
|
|
||
cep2 do, |
я) |
ag |
1=1» |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
— 9osep2 (go, |
9) |
|
> |
|
(1.28) |
|||
|
|
, ^ cep2 d . 9) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
sep2 do, 9) |
|
ag |
l=£o |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
9o cep2 d o , 9) — |
|
|
|
|
|||
|
|
dseR (1, |
7) |
|
|
|
|
||
cep2 |
do, |
9) |
ag |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ |
dcep, (6, |
9) |
|
|
|
|
|
|
|
Уо |
|
^ |
|
l—l 3 |
|
|
|
(1.29) |
|
|
, |
|
|
|
• |
|
||
|
|
dcep2 d , 9 ) |
|
|
|
|
|||
— sep2 do, 9) |
|
ag |
|
6=i« |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
14
Соотношения (1.24) ~ ( 1.29) однозначно и точно опре
деляют |
траекторию стабильного иона в плоскости |
(х, у). |
Решение уравнения (1.14) тривиально и идентич |
но выражению |
(1.10), которое при C5 = io и Сб= 0 и для |
|
новой переменной | имеет вид |
||
|
|
(1.30) |
где z0 |
дг |
; vZo — составляющая начальной скоро- |
|
сти иона в направлении оси г при влете в анализатор. Для ионов с параметрами, соответствующими неста бильной области диаграммы (a, q), обозначенной двой ной штриховкой (см. рис. 4), значение показателя р, в решении (1.17), зависящее от значений а и q, действи тельно и в направлении х равно щ, а в направлении у равно р2. Аналитические выражения для параметров не стабильной траектории вытекают из выражения (1.17) и с учетом результатов, изложенных в приложении 4,
имеют вид
Х = А'сещ+щ (£, —<7)4-5'ceui+|Xl (—I, |
—q); |
(1.31) |
||
У — С' сеиД1 (g, q) + |
U сеид, ( - I, |
q), |
(1.32) |
|
где функции ceui+д, |
и сеид, |
(±1, |
q) |
опреде |
ляются соответственно выражениями |
(13) и (5) |
из при |
ложения 4, а А', В', С' и D' — постоянные интегрирова ния. Составляющая нестабильной траектории вдоль оси 2 по-прежнему определяется выражением (1.30). По скольку при нормальной работе анализатора область, обозначенная двойной штриховкой, никогда не пересе кается прямой (1.18), а, напротив, проходит ниже ее и пересекает область стабильных значений и области не стабильности, обозначенные одинарной штриховкой,
траектории «нестабильных» ионов будут |
определяться |
или системой выражений (1.25), (1.30) и |
(1.31), если |
параметры иона соответствуют точке (a, |
q), лежащей |
на прямой (1.18) справа от области стабильных значе ний, или системой выражений (1.24), (1.30) и (1.32), ес ли точка (a, q) лежит слева от области, стабильных значений. В первом случае нестабильный ион попадает на один из двух электродов анализатора, пересекающих ось х, во втором — на один из двух электродов, пересе кающих ось у (см. рис. 1). Две группы постоянных ин тегрирования А', В', С, D и А, В, С', D', соответствую-
15
1цнх первому и второму |
случаям, |
рассчитывают с по |
||||
мощью соотношений, аналогичных выражениям |
П 26) — |
|||||
(1.29). |
|
|
|
|
|
|
Рь |
Методика сколь угодно точного |
расчета |
значений |
|||
М-2, С'2г и С'2г+1, |
а через них значений p2r, |
(yVJ„, и |
||||
фгг, |
ф2г+1, входящих |
в |
выражения |
для |
ccufl и сеид-щ, |
|
приведена в приложении 4. |
|
|
|
|||
|
Качественно уже было показано, |
что |
разрешающая |
способность квадрупольного масс-спектрометра тем вы
ше, чем |
ближе к |
вершине |
диаграммы стабильности |
|
(йо, <7о) |
(см. рис. |
4) |
прямая |
(1.18) пересекает область |
стабильных значений |
(a, q). Из теории уравнения Матье |
|||
[20] известно, что чем |
ближе расположена точка (щ, q{), |
находящаяся в области стабильности, к одной из границ этой области, тем меньше отличается значение (3 в вы ражениях (1.22) и (1.23) от 0 или 1. Так, с приближе нием точки (щ, qi) к правой границе диаграммы ста
бильности |
значение |
р, |
[см. |
уравнение (1.24)] увеличи |
|
вается и |
стремится |
к |
1, |
а с |
приближением точки |
(й,-, qi) к левой границе величина |
р2 уменьшается и стре |
мится к 0. Из сказанного следует, что должна существо
вать однозначная связь между разрешающей способ ностью и значениями Pi и р2.
Найдем зависимости х- и «/-параметров траектории ионов от Pi;2 в явном виде. В выражения для х- и «/-па
раметров стабильной траектории (1.24) и (1.25) |
Pj и |
р2 |
|
входят явно (под знаком sin и cos) в формулы |
(1.22) |
и |
|
(1.23) и не явно в |
коэффициенты С2г, которые |
зависят |
|
от положения точки |
(a, q) на диаграмме стабильности |
и, следовательно, от значения р. Поскольку р , и р 2 в реальном режиме работы прибора отличаются соответ
ственно от 1 |
и 0, как правило, не более чем |
на 0,08, целе- |
|
сообразно разложить коэффициенты С2г |
по |
степеням |
|
U—Pi) для |
проекции траектории ионов |
на |
плоскость |
XZ и по степеням р2 для проекции траектории ионов на плоскость г/г, затем, оценив и отбросив, если это воз
можно, величины второго и более высоких порядков ма лости в полученных разложениях, можно прийти к инте ресующему нас результату. Разложения коэффициентов С2г В функциях Матье дробного порядка для обоих слу
чаев (вдоль оси х и оси у) соответственно |
примут |
вид: |
||
^2^ ^ |
+ «2г(1 — Эх) Ч" Y2r(1 — Pi)2 -f- . |
, |
(1.33) |
|
16 |
C*r= |
+ а°А + ylr Pi + . . . . |
(1.34) |
|
|
|
|
|
где |
clr и C\r — коэффициенты |
разложения вырожден |
||||
ных |
функций |
Матье целого |
|
порядка ce0(g, |
q)(g>0> и |
|
сех(£, д)(ц<о) , |
получающиеся |
при расчете по |
формуле |
|||
(4) |
из приложения |
3 при р2 = 0 |
и (Зх= 1 соответственно; |
|||
а 2г, у\г, . . ., |
d r , |
уir . . . |
— постоянные коэффици |
енты разложения степенных рядов (1.33) и (1.34), зави сящие от q.
Известно [20], что |
d r |
= |
C-2r, |
C\r = Cdr- 2 |
|
(при г = |
|||||||||
= 0, |
1, |
2, ...). Можно также показать, что |
и°г |
и |
сс°_2г |
||||||||||
по |
абсолютной |
величине |
близки |
к J C°r j , |
а |
знаки |
|||||||||
их |
всегда |
противоположны, |
и, |
аналогично, |
а 2г и |
||||||||||
а ]_2г_ 2 |
по |
абсолютной |
величине |
одного |
|
порядка |
с |
||||||||
\ с \ г \, |
а знаки |
их |
противоположны. |
Значения |
|
у2г |
и |
||||||||
у\г |
по |
абсолютной |
величине одного порядка |
с | d r | |
и |
||||||||||
| d r |
|» |
чт0 |
позволяет |
в |
дальнейшем |
при |
достаточно |
||||||||
малых |
(1—pi) и р2 отбросить их, оставив |
в |
|
разложе |
|||||||||||
ниях (1.33) и (1.34) лишь по два первых члена. |
|
|
|||||||||||||
Численный расчет |
коэффициентов |
С2т |
с |
помощью |
цепных дробей по методике, изложенной в приложениях 3 и 5, сопоставленный с табличными данными работы
[44], |
а |
также с расчетом, выполненным в работе [8], дал |
|||||
следующие результаты: |
|
|
|
|
|
||
для |
//2-плоскости: |
|
|
|
|
|
|
|
|
с „ = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
С—2 = — (0,16763 -{- 0,163р2); |
|
|
|
||
|
|
С+2 — — (0,16763 - |
0,157р2); |
|
|
|
|
|
|
С_ 4 =(0,00729 + |
0,0105Р2); |
|
V |
' |
|
|
|
С+4 ■-= (0,00729 — 0,0105р2); |
|
|
|
||
для хг-плоскости: |
|
|
|
|
|
||
|
|
с0 = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
С—2 = 1 -2 ,8 8 6 -+ ; |
|
|
|
||
|
|
—С+2 = 0,08065 + |
0,0555+; |
|
|
|
|
|
|
С_4 = 0,08065 — 0,278+; |
|
(1.34а) |
|||
|
|
С+4 = 0,00230 + |
|
0,0025+; |
' |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
—С_ 6 = 0,0230 - |
0,009+, |
|
|
|
|
где |
|
+ = 1 - Р : |
|
|
Гос. п +1.35) |
||
|
|
|
|
||||
2 Г. |
И. |
Слободенюк |
|
|
наум!-о-теч!.-;:-;% |
||
|
|
библио ека |
: 17 |
ЭКЗЕМПЛЯР ЧИТАЛЬНОГО 3/
Из полученных линейных выражений, в которых справедливо опущены величины второго и более высо-. ких порядков малости, видно, что в разложениях функ ций Матье (1.22) и (1.23) в случае (см. рис. 4), когда точка (a, q) на диаграмме стабильности располагается достаточно близко от границы стабильности, вполне можно ограничиться первыми тремя, четырьмя членами. Перепишем выражения (1.24) и (1.25) с учетом формул
(1.22), (1.23), (1.35) и выражений (7) и (8)из прило жения 2:
х = АКх |
Y |
(—1Г C2rcos (2r + 1 — hj) ( |0 + |
|) + |
|
||||
|
г——оо |
|
|
|
|
|
|
|
+ в к х |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
S |
( - l ) r Carsin (2 r+ |
l - ^ d |
o |
+ |
S); |
(1.36) |
||
Г=—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
у = |
СКу |
Yi |
c *s cos ( 2s + |
Р *) (So + |
I ) |
+ |
|
|
|
|
S=*—oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
Cissm(2s + M ( t 0 + Z). |
|
(1.37) |
|||
+ DKy Y |
|
|||||||
|
|
S — — |
0 0 |
|
|
|
|
|
Найдем по формулам (1.26) — (1.29) величины A, В, |
||||||||
C, D, а также Kx и Ку, учитывая |
(1.33а) |
и |
(1.34а), |
если |
известно, что hi |
и Рг<С1 в начальный момент времени £0 |
|||
(когда £ = 0), х = Хо и у = уо. Согласно |
выражению (13) |
|||
из приложения 2 получим, отбрасывая |
члены |
второго |
||
порядка малости: |
|
|
|
|
Кх = ( |
2 |
^ Х ' * = О.705 + |
2,86/ii; |
(1.38) |
\ Г——0О |
/ |
|
|
|
* , = ( |
2 |
= °>973. |
|
(1.39) |
Найдем определители Вронского Wx и Wv уравнений (1.36) и (1.37), являющиеся знаменателями выражений (1.26) — (1.29). Из теории функций Матье известно, что определители Вронского зависят только от коэффициен тов а и q уравнений Матье и не зависят от значения ар гумента (в данном случае от величины | + | 0). Это поз воляет легко вычислить значения Wx и Wy, положив
£ + !о = 0:
18
W*x = Kl | s | |
Ca, C2v (2s + W |
| « |
3,86/Cx (1—Pi)X |
|
||||||
|
|
|
|
x [i + 1 , 4 7 ( 1 -M ; |
|
|
(1.40) |
|||
1^ |
= |
|
|
C2, C2V(2s + p2) I ^ |
0,84K%. |
|
|
|||
|
Проведя несложные, но достаточно громоздкие вы |
|||||||||
числения, получим окончательно: |
|
|
|
|
||||||
|
" |
ь |
,г |
\ ~T 7X sin ^ (S ~ |
6o)I cos S (1 + 0,16 cos 2^) X |
|||||
|
|
hx |
(1 + |
h i-1,47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X lx0• 1,15 sin l 0(1 + |
0,364 cos 2£0) -f- |
|
|||||
|
|
|
+ x0-0,87-cos £0(1 + 0,16 cos 2g0)]; |
(1.41) |
||||||
у — — |
М2 |
sin ip8 (g - £o)J (1 - 0,335 cos 2g) [y0• 0,78 sin 2£0 X |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (l — O,174cos2|0) - p 0- 1,15(1 — 0,335 cos 2£0)]. |
(1.42) |
||||||||
|
Характерное отличие между |
этими |
функциями, за |
|||||||
ключающееся в том, что х-параметр |
траектории |
иона |
||||||||
меняет |
знак |
через |
каждые |~ л , а //-параметр— через |
|||||||
каждые |
£ = я/р2, объясняется |
наличием |
в |
выражении |
||||||
(1.41) |
сомножителя |
cos £ перед |
квадратной скобкой. |
|||||||
Указанное отличие |
практически |
никак |
не |
используемое |
||||||
в |
классическом квадрупольном |
масс-спектрометре, де |
лает возможным построение так называемого однополь ного масс-спектрометра (см. гл. 8), являющегося своеоб разной модификацией квадрупольного масс-спектромет ра. Из анализа выражений (1.41) и (1.42) можно сде лать следующие выводы: отклонения стабильного иона от оси квадрупольного анализатора тем больше, чем при прочих равных условиях больше угол влета иона отно сительно оси, чем дальше от оси место влета и чем ближе точка, характеризующая ион на диаграмме ста бильности к одной из ее границ, т. е. чем меньше значе ния р2 и //i = l —|3ь
Из перечисленных обстоятельств можно сделать вы вод о необходимости ограничения определенными пре делами начальных условий влета ионов, для того чтобы обеспечить при анализе условия 100%-ного прохождения стабильных ионов через анализатор. Это необходимо
2* 19