является неотрицательным на пространстве L0. Условия
неотрицательности квадратичных функционалов (в про-
О
странстве W<£ ь содержащем L0) были получены в тео ремах 4 и 5 из § 6.3. Применение этих результатов к на шему случаю сразу приводит к утверждениям теоремы.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы допустимая экстре маль хД- ) задачи (1) доставляла слабый локальный минимум в этой задаче, достаточно, чтобы были выпол нены усиленные условия Лежандра и Якоби, т. е. чтобы для всех t из отрезка [/о, ^1] выполнялось бы неравенство
I*.(р = Л (0 > О
и полуинтервал (t0, не содержал бы точек, сопряжен ных с точкой t0 относительно уравнения Якоби (6).
I I А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров
322ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
До к а з а т е л ь с т в о . Применив следствие из тео ремы 6 § 6.3, получаем, что при допущениях теоремы имеет место оценка
^ (* .(• ))(*(■ ), * (-))> а | | x ( - ) f
n ,
"2, 1
если только x ( - ) e L 0.
Подберем 6 столь малым, чтобы
при ||*( •) Hi sg: б имело место неравенство
(см. предло
жение
1)
И * ( .))1 < т 1 1 * (-)И 1 «
•'
4
w 2,
1
Тогда
получится, что
если
д с (.)е В (0 , б)
в простран
стве С" (ft,, *i]), то
+
r ( x ( . ) ) . > ( | - | ) | U
( . ) \fwn > 0 ,
т. е. х»(-) доставляет слабый минимум в поставленной задаче.
7.4.2.Возмущения простейших задач. Пусть М — не
которое подмножество в R X R", содержащее точку (to,x0). Рассмотрим следующее множество задач, вклю чающее в себя задачу (1):
Т
3 ( х ( - ) , Т0, т )= ГL (t, х, х) dt - > inf;
i
I
(To, X (т„)) e= M,
*(t) = £.
Возмущения вида (Г ) укладываются в общую схему возмущений, описанную в п. 7.1.1. Как правило, будет рассматриваться тот случай, когда М состоит из одной точки (t0, хо). Тогда, следуя терминологии п. 7.1.2, это возмущение будет называться стандартным. Для стан дартного возмущения 5-функцию будем обозначать 5(т, |), а для общего возмущения (Р )— SM(т, £).
Поясним введенные понятия примерами. Для задачи
J K l + хг dt ->inf
(7)
П о , * о )
§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3 2 3
(6 минимуме длины кривых, соединяющих данные точки
(to, Хо) и
(t,,xi) на плоскости R2) функция S(t,
х) = У t2 +
х2 будет S-функ
цией стандартного возмущения, когда
t0= x 0=0,
а для М =
М(ф)=й
= { (t, х) 11cos ф + х sin ф = 0}
Sм (*■ х) = 11cos ф + х sin ф |.
Наряду с возмущениями задачи рассматривают и возмущения экстремалей этих задач. Возмущения экс тремалей находят свое выражение в концепции поля.
Говорят,
что
семейство
вектор-функций
x(t,k),
x(t,k):
R X R n- » R n
образует
поле
экстремалей функ
ционала & ( х ( - )) , покрывающее
область G с
R X R".
если
вектор-функции x(t,k)
принадлежат классу
Сi по
а)
совокупности
переменных (t,k)
и
х(-,
к')-+х(- ,к)
при
К' ->А в пространстве
С";
G существует единствен
б) для всякой точки (т, £) е
ная точка
k =
к(т, £)
такая, что х(т,к (т, £)) =
в)
при
любом
фиксированном
к
вектор-функция
x(t,k)
является
экстремалью
функционала
У ( х ( - ) ) ,
т. е. она удовлетворяет уравнению Эйлера Lx —
Lx = 0.
Для каждой точки
(т,
G обозначим через U(x,\)
производную по t в точке т экстремали * (-Д (т , £)), проходящей через точку (т, £):
U { Т, l ) = - ^ x ( . , k { x , £)) U .
Вектор-функцию U (т, £)
называют
функцией накло
на поля.
что экстремаль х «(-)
окружена полем, если
Говорят,
существуют
числа е > 0,
А > 0
и
поле экстремалей
x(t,k), |А,|<М,
покрывающее область
G =
{(t,
*)|fe=[f0, *,], |х
х, (t) |< е},
и, кроме того,
x(t, 0) = x*(t).
Поле
x(t,k)
называется центральным, если суще
ствует
точка
(to, х0) такая, что x(t0,k) = x0 для всех к.
Точка
(to, х0)
называется центром этого поля.
Для задачи (7) о минимуме длины
образует центральное поле
— совокупность
прямых x ( t, k ) = k t
с центром
в начале координат, покрывающее область R2\{0},
11
324ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
—совокупность прямых х(/, Я ) = / - ) - Я образует параллельное поле, покрывающее всю плоскость R2.
Рассмотрим еще один важный пример, а именно квадратичный функционал из § 6.3:
t,
Ж (х (•)) = J ((A(t)x \х) + 2 (С (t) х |х) +
(В (() х |х)) dt.
(8)
Пусть <T>(t,to) как и в п. 6.3.3, обозначает фундаментальное ре
шение уравнения Якоби (6) функционала Ж ( х ( )) .
Тогда, как легко
видеть,
формула
tQ) Я
(9)
х (t. Я) = Ф (t,
задает
центральное поле функционала
Х ( х ( - ))
с
центром в
точке
(А), 0).
Оно покрывает область (t0, То) X
R", где через т0 обозначена
первая сопряженная с t0 точка относительно уравнения Якоби
(6).
В конце § 7.2 был введен термин
«поле экстремалей» в приме
нении к общей гладкой задаче. В этом параграфе аналогичный тер мин встретился вновь. Покажем, как связаны друг с другом соот^
ветствующие понятия.
(1). Рассмотрим такую про
Пусть * . ( / ) — минималь в задаче
блему минимизации:
/( * (• )) = 3 (* .(• ) + х (•))->inf,
F( x( <) ) = х (t,) = 0.
Будем предполагать, что функционал f определен и дважды непре рывно дифференцируем в подпространстве L пространства
W2 |(|70, /]]), состоящего из функций х(1), обращающихся в нуль
в точке to. Если предположить, кроме того, что для функционала 9 выполнены усиленные условия Лежандра и Якоби, то окажется, что удовлетворены все требования теоремы 2 из § 7.2. Применение этой теоремы приведет к тому, что в малой окрестности точки нуль про странства R" существует отображение Я->-х(-,Я) из R" в L такое, что x(i, Я) являются экстремалями функционала & и при этом х(?|,Я) = Я. Легко понять, что семейство {x(t, Я)} и есть поле экстре малей, о котором идет речь в этом параграфе. Построение поля, проведенное только что, потребовало весьма сильных допущений от носительно гладкости функционала У. Далее, для построения поля мы обойдемся много меньшими допущениями (см. ниже предложе ние 3), но существо дела остается тем же: строгая положительность второй вариации на ядре отображения F дает возможность произ вести возмущение экстремали x.(t) и включить ее в семейство экстремалей x(t. Я), как это в общем случае было проделано в упомя нутой теореме 2 из § 7.2.
С каждым центральным полем (с центром в точке (/о,*о)) функционала 3 ( х { - ) ) свяжем функцию
Т
а(т, l) = J L(t, x(t, Я), x(t, %))dt,
§
7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3 2 5
где А =
А(т, |)
(т. е. х(т, А) =
|),
которую
будем
назы
вать
[/-длиной
поля
x(t,K)
от
точки
(to, Хо)
до
точ
ки (т, I).
2. Пусть центральное поле с цент
П р е д л о ж е н и е
ром в
(t0,x 0) покрывает область G с
R X Rn. Тогда для
любой точки (t, х) имеет место формула
где *)
da (t,
х) — — Н (t, х) dt + (р (t, х) |dx),
p(t,
x) = Li(t,
х,
U (t,
х)),
Н (/, х) =
(р (t,
х)
|U (t,
х))
-
L (t,
х,
U (t, х))
и U(t,x) — функция наклона поля x(t,K).
проходящую
Д о к а з а т е л ь с т в о . Экстремаль поля,
через
точку
(t,
r ) e G ,
обозначим через x(t, А;)); анало
гично, пусть х (t, К0+
ДА) есть экстремаль поля, про
ходящая через (t +
А^, х + Ах).
Положим
h (t) =
х (t, Aq-f- ДА) — x (t,
Ao),
t
^
[^o, t -f- A^]
и для
определенности
будем
считать,
что
At >
0.
Тогда
о (t +
А^, х +
Ах) — a (f,
х) =
t+xt
==
J"
^
^
Ч- АА),
х (т, А0 +
AA)) dx —■
*0
t
—
[
L(%,
х(х,
А0),
х(х,
А0))йт =
*9
t
=
j
((L* I*(Т.
Ih (T)) + (L* \x (X. К) IA (T))) dx +
+ AtL (t, x (t, A0), x (t, A0)) + о (max (|| h ( •) |1( At, |Ax |)).
Произведя интегрирование по частям и воспользо вавшись тем, что x(t, Ао) является экстремалью, а так же соотношением
x(t -1-At, Aq) -Иh (t -f-At) = x (t At, Aq—|—AA) = x -J-Ax,
*) Отметим, как выражается Н(/, *) через функцию Понтрягина задачи (1):
Н (/. дс) = Я (t, дг, U (t. х), р (t, л:), 1).
326
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
т. е. равенством
h(t) — Ах — x(t,
L0) At + о (max (|| Л ( -)11ь А/, I Ах|)),
сразу
получаем,
что
a (t +
At,
х +
Л*) — о (t, х) ■
—
Lx +
I h (т)) dx +
' X (X, Лл)
/
+
(h(О I Lx (t,
х (t, Я0), * (t,
Я0))) + L (t, л:(t,
Я0),
х (t, Я0)) А/+
+
о (шах (|| h (•) ||,,
At, |A* I)) =
— Н (t, x) At +
+
(p (t, x) |Ax) - f о (max (|| h (•) \u At, \Ax |)),
откуда и следует требуемое.
7.4.3.
Интеграл Гильберта. Основная формула Вейер-
штрасса. Пусть
V — некоторая односвязная область в
пространстве
R X
R".
Вектор-функцию
Г(^,х): V —►Rn
будем
называть
гильбертовым полем
функционала
3f(x(-))
в V, если отображение F
принадлежит клас
су С, в области
V и при этом дифференциальная форма
б
=
(L (t, х,
Г (t,
х)) -
(Г (t, х) |Lх (t,
х, Г (t,
х)))) dt +
+
(Lx(t, x, Г (t, x))\dx)
является замкнутой (т. е. полным дифференциалом).
Интеграл / (у) = J б от формы б называется интегра- v
лом Гильберта. Имеет место
формула
Вейерштрасса).
Т е о р е м а
3
(основная
Пусть V — односвязная
область
в
пространстве
R X Rn. охватывающая экстремаль у, =
х*(^) задачи
(1). Пусть, далее,
Г(^.х)— гильбертово
поле функцио
нала У ( х ( - ) )
в V
такое, что x*(t) =
T(t,x*(t)).
Тогда для любой вектор-функции x(t), соединяющей
точки (to,Xo)
и (tt,Xt), имеет место формула
t,
# ( х ( - ) ) - З Г ( х , ( - ) ) = j g ( t , x(t), Г (t, x(t)), x(t))dt,
еде & — функция Вейерштрасса.
§
7.4.
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
32*7
Н а п о м н и м ,
ч т о ф ун к ц и я В е й е р ш т р а сса
б ы л а
в в е д е
на в п.
2 .2.3 .
Вектор-функцию
x(t)
будем
Д о к а з а т е л ь с т в о .
обозначать еще через у. В силу односвязности
V
и
замкнутости формы б интеграл Гильберта /
(у) =
J 6
не
зависит от
пути
у, если
у соединяет
точки
Y
и
(/0, х0)
(ti,xi).
Следовательно,
/( у )= Д у * ) -
Интегрируя
вдоль
у и используя то,
что х* =
Г(^, х*), получаем:
/(Y .)=
J 6 = J (Ht, х.(0,
Г (t, х . т -
V»
и
х. (О,
Г (t,
х, (0)) IГ (7, х,
(0))
+
-
(Li (t,
+
(L4 (/,
х. (/),
Г (f, х, (/))) |x. (0)) dt =
=
J l (^, x.(0,
x,(t))dt =
9 (Jf. (-)).
Следовательно,
fl
Sf (*( •)) — 9 ( x .( •)) =
J
L (f, x, x) d t - I
(у.) =
= J L (/, x, x) — / (y) = Y
J L (7, x, x) — L (/, x, Г (t, x)) — Y
— (x — Г (t, x) I L i (it, x,
Г (*, X)) = | % (t, X, Г (f,
x), x) eft,
что и требовалось.
^0
С л е д с т в и е . Для
того чтобы кривая x„(t)
достав
ляла сильный минимум в задаче (1), достаточно, чтобы
в некоторой односвязной области
V, окружающей
экс
тремаль х *(-),
существовало гильбертово поле Г (/,х )
функционала
9 (х (•))
в области
V такое, что
х* =
== Г Ц,х*), и при этом выполнялось неравенство
$(t, X, Г (t, х), Ю > 0
для любой пары (t, х ) е
V и любого | е Rn.
Это условие называется усиленным условием Вейер штрасса. ^
32 а
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Подробнее оно запишется так:
L (t, х,1)
— L (/, х,
Г (/, x ) ) - ( l - T (t, х) |Lt(t,
х, Г (t, х)))>0.
Т е о р е м а 3'.
Пусть экстремаль х*({)
можно вклю
чить в центральное поле экстремалей, покрывающее об ласть V cz R X Rn. Пусть, далее, интегрант L{t,x,\) яв ляется регулярным по | (т. е. строго выпуклым по | при (/, х ) е У). Тогда кривая х*({) доставляет сильный минимум в задаче (1).
Доказательство сразу получается из сопоставления предложения 2 (которое в новых терминах можно сфор мулировать так: функция U (t, х) наклона центрального поля экстремалей порождает гильбертово поле функ
ционала & ( х ( ’ )))
и следствия из теоремы 3.
Действи
тельно,
требование
х* = U(t,x*)
выполняется
по опре
делению
функции
наклона поля,
а неравенство & ^ О,
выполнено в силу регулярности интегранта L. Теорема 3' тем самым доказана.
Теорема 3' является весьма полезной при получении достаточных условий в тех задачах, где удается найти общий интеграл уравнения Эйлера. Однако у нее есть существенный недостаток — ее основное условие (воз можность включить экстремаль х, (/) в центральное поле экстремалей) выражено не в терминах поставлен ной задачи. Окончательное достаточное условие будет получено в следующем пункте.
В заключение вернемся
к квадратичному функционалу (8).
Для поля
Ф ((, t0- 6 ) 1 .
х ((Д ) =
построенного по типу (9) для точки to— б, при достаточно малом б функция наклона поля равна
Ub (t, х ) = Ф (/, to - 6) Ф_| (/, to - 6) х,
откуда в силу основной формулы Вейерштрасса получаем равенство
б
Ж (х (•)) = J (А (<) (Ut (t. х) - х) 1U6 (t. x) - i) dt,
/q
x (•) e Lo,
на которое опирались в п. 6.3.3 при доказательстве теоремы 6, где было получено достаточное условие Якоби для неотрицательности квадратичного функционала.
§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
329
7.4.4.
Достаточное условие Вейерштрасса
сильного
минимума. Для того чтобы не отвлекаться на несуще ственные детали, будем предполагать, что интегрант L
является функцией
класса
С »
по всем своим аргумен
там и x*(t) обладает такой
же гладкостью.
В этих до
пущениях докажем
3. Для
П р е д л о ж е н и е
того чтобы
экстремаль
x*(t) задачи (1), вдоль которой выполнено усиленное условие Лежандра, можно было окружить полем экс тремалей,, достаточно, чтобы на х»(-)было выполнено усиленное условие Якоби.
З а м е ч а н и е 1. На самом деле усиленное условие Якоби является и необходимым условием того, что экс тремаль можно включить в поле экстремалей. Но это обстоятельство далее используется лишь при решении задач, и мы не останавливаемся на его доказательстве.
З а м е ч а н и е 2. Будет построено центральное поле экстремалей, так что требование центральности может быть включено в формулировку предложения 3.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Уравнение Эйлера
-jjf Lx — Lx — LxxX + LxxX + Ln — Lx — 0
в окрестности экстремали x*(/) приведем (поделив на
Lxx (t, х, х ) > 0 ) к виду
х + У (/, х, х) = 0.
(10)
Для последнего уравнения решим задачу Коши:
х (t0 — д, Я) = х, (t0— 6), х (t0— б, Я) =
Я + х, (tQ— 6). (100
(Считаем,
что х%(t) продолжена на
больший отрезок
[to, /Пгэ[/о,
fl].)
Покажем теперь, что при малых б и Я решения x(t,K) уравнений (10) с граничными условиями (10') образуют искомое поле.
Равенство x(t, 0) = *»(() имеет место в силу тео ремы единственности. По своему определению, вектор-
функции x(t,K) являются
экстремалями функционала
Зг( х( -)), и
следовательно,
по / и Я выполнено
тож
дество
- -£■ Lx (t,
х (t, Я), х (t, Я)) + Lx (t, x (t, Я), * (t, Я)) ^
0.
330
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Дифференцируя это тождество по X (возможность провести такое дифференцирование гарантируется до пущениями относительно гладкости интегранта L и экс тремали **(•))> получим:
— Ж (L** L (I) ф
<0 - б) +
LU и (<) ф (t, to-
б)) +
+
\х. it) Ф М о -
6) + Lxx \Xt(0ф(#,
/о — &).
(11)
где через
Ф 0, t0— 6) обозначена матрица
—
1
В силу
граничных условий (10') получаем:
Ф(*о— М о — б) =
0,
ФРо-б,
— 6) =
/.
(12)
Сопоставляя (6)
и
(11),
а также (12)
с формулой
(5)
из § 6.3, приходим
к выводу, что Ф (/, to— 6)
есть фун
даментальное матричное решение уравнения Якоби за дачи (1). Из условия предложения 3 и из непрерывной зависимости решений от начальных данных получится, что при малых 6 > 0 матрица Ф (/, — б) является не вырожденной на всем отрезке [fo, М- Применив к ото бражению x(t,X) теорему о неявной функции, получим,
что для
достаточно
малого
е > 0
уравнение
x(t,X) — х = 0 , где \х — *ф(/)| < в,
имеет
единственное
решение. Итак, x{t,X) есть центральное поле, покры вающее область
G = {(*, х) <= [t0, *,] X R" \\x — xt (it) |< e}
и включающее экстремаль x*(t). Предложение до казано.
З а м е ч а н и е . Анализ доказательства показывает, что для получения утверждения предложения 3 доста точна четырехкратная непрерывная дифференцируе мость интегранта и экстремали.
