книги из ГПНТБ / Клейнер, Э. Ю. Основы теории электронных ламп учебное пособие

ставить в виде ряда Фурье. Если воспользоваться комплексной фор­ мой этого ряда, то разложение такой функции в ряд будет иметь вид

[Л.7.4]

Найдем'теперь квадрат действующего значения k-й гармоники такой почти случайной функции. Для этого предположим, что имеет­ ся множество реализаций этой функции. Определим сначала квадрат действующего значения искомой гармоники для одной реализации.

т7-»

+I

311

Как интегралы периодической функции, взятые по полному периоду, первое и третье слагаемые в скобке равны нулю. Следовательно,

Полученное таким образом значение XI относится к одной опре­ деленной реализации. Но нужно иметь в виду, что рассматриваемый процесс случайный и ход каждой реализации соответствующей ему случайной .функции несколько другой. Поэтому для определения среднего квадрата действующего значения /е-й гармоники надо сначала определить его значение для каждой реализации и затем усреднить эти значения по множеству. Квадрат действующего значения /г-й гармоники для каждой реализации будет выражаться формулой, аналогичной (7.35). Тогда среднее значение по всему множеству

х [ = 2 ~\АГЬ

или, при подстановке сюда (7.32) и (7.33)

Очевидно, в этом выражении ничего не изменится, если в каждом интеграле аргумент обозначить по-другому, например t и и пред­ ставить формулу в виде

Произведение двух интегралов по существу представляет собой про­ изведение двух каких-то сумм. При этом каждый член одной суммы должен перемножаться на каждый член другой. Эта последователь­ ность действий представляет собой двойной интеграл. Следовательно, (7.37) можно переписать в виде

Так как согласно правилам действий над средними значениями случайных величин интегрирование и усреднение можно поменять местами, то вместо (7.38) можно написать

312

Положим теперь t' — t + 0. При такой замене 0 должно представ­ лять собой произвольный, не фиксированный промежуток времени. Он не фиксирован в связи с тем, что t и t' можно выбирать произволь­ но. Производя в последнем выражении такую подстановку и учиты­ вая, что е^*0 как величина, не зависящая от t, может быть вынесена из-под'знака усреднения, получаем

в скобке не зависиит от t, то его можно вынести из-под знака инте­

~о

То

313

Полученное выражение представляет собой средний квадрат дей­ ствующего значения /с-й гармоники разложения. Для нахождения среднего квадрата действующего значения случайной функции в це­ лом необходимо знать зависимость средних квадратов действующих

чается не непрерывный спектр, а линейчатый с дискретными значениями средних квадратов действующих значений гармоник Х \ через

интервалы по оси абсцисс, равные /0. При переходе к Т0 — оо спектр из линейчатого превращается в сплошной. Переход можно предста­ вить следующим образом. Так как согласно (7.31) /0 = 1/Т0, то с рос­ том Т0 уменьшаются интервалы между дискретными значениями

При То оо интервалы совсем исчезают и образуется непрерыв­

ная кривая. При выводе этой кривой удобно исходить из спектра, получающегося при конечном значении Т0, и апроксимировать его многоступенчатой кривой со ступеньками шириной fQи высотой, рав­ ной значению квадрата действующего значения гармоники, соответ­ ствующей данной ступеньке, равномерно распределенному по шири­ не ступеньки (рис. 7.5). Если высоту ступеньки в полосе частот между kfo и (k + 1) /о обозначить Sk, то

х к2 h ’

Если теперь предположить, что Т„ ->■ оо и соответственно /0 -> О, т. е. перейти к сплошному спектру, то ордината спектра при частоте / будет

У?

fо—*-0 /о

где X f — средний квадрат действующего значения гармоники разло­ жения случайной функции, имеющей частоту f.

314

функции при частоте / представляет собой, таким образом, усреднен­ ную по множеству реализаций величину квадратов действующих значений ее гармоник, взятых для каждой реализации как среднее в узкой полосе частот вокруг частоты /.

На основании (7.40), (7.39) и (7.31) для непрерывного спектра

Теоретически интегрирование должно производиться в пределах от fi = 0 до /2 = °°. Практически, однако, пределы интегрирования обычно более узки. Чем это обусловлено, будет рассмотрено далее.

§ 7.3. ДРОБОВЫЙ ЭФФЕКТ

7.3.1. Дробовый эффект при работе катода в режиме насыщения

Дробовый эффект, как уже указывалось, возникает за счет того, что количество электронов п, эмиттируемых катодом в одинаковые очень малые промежутки времени т, от промежутка к промежутку времени беспорядочно меняется. В результате этого у катодного тока появляется переменная составляющая, меняющаяся по случайному закону (см. рис. 7.1). Для того чтобы получить возможность коли­ чественно оценивать обусловленный этим уровень шумов, введем понятие тока шумов или шумового тока. Если ik — мгновенное зна­ чение флуктуирующего катодного тока лампы, l k — его среднее значение, взятое за достаточно большой промежуток времени (^>т), то под шумовым током г'ш понимают отклонение Дik мгновенного зна­ чения катодного тока от среднего, т. е.

гш = Лг'к = 4 (- к — ’

Так как (ш — величина случайная, то возникает вопрос, каким обра­ зом, исходя из этой величины, можно определить уровень связанных с нею шумов. Среднее значение (ш для этой цели, очевидно, использо­

вать нельзя, так как оно равно нулю. Поэтому поступают подобно

315

тому, как это делается в теории переменных токов, и в качестве меры флуктуаций используют средний квадрат отклонения флуктуирую­ щей величины, т. е. средний квадрат шумового тока

(7.44)

Для определения i? рассмотрим форму кривой катодного тока.

Как уже указывалось, флуктуации катодного тока возникают за счет флуктуаций величины электрического заряда, уносимого с катода эмиттируемыми элект­ ронами за отдельные проме­ жутки времени т. Так как ве­ личины этого заряда могут отличаться только на целое число элементарных зарядов электричества, кривую флукту­ ирующего тока в идеализиро­ ванном виде можно предста­

Рис. 7.6. К расчету дробового шума

вить как кривую с прямоуголь­ ной переменной составляющей, амплитуда которой изменяется

по случайному закону (рис. 7.6). Согласно §7.2 при разложении случай­ ной функции по теореме Фурье на гармонические составляющие полу­ чается непрерывный ряд гармоник, амплитуды которых тоже подвержены флуктуациям. Средний квадрат отклонений для кривой в целом тогда будет определяться как сумма средних квадратов дей­ ствующих значений всех гармоник разложения. Эти средние квадра­ ты в общем случае будут, очевидно, различны для гармоник разной частоты. Зависимость среднего квадрата действующих значений гар­

м а, представляющей собой в соответствии с общим определением, дан­ ным в § 7.2, сумму средних квадратов действующих значений гармоник, взятых около этой частоты в пределах очень узкой полосы частот, отнесенную к ширине этой полосы. Спектральную плотность шума будем обозначать S (/); ее размерность — А2/Гц. Так как квадрат тока пропорционален мощности, то для характеристики уровня флук­ туаций электрических величин иногда используют энергетическую терминологию. Поэтому кроме названия «спектральной плотности шумов» для S (J) в литературе встречается и название «спектральная

мощность шумов». Соответственно Р иногда называют «м о щ- н о с т ь ю» ш у м о в .

Спектр дробового шума представлет собой горизонтальную линию, переходящую выше некоторой граничной частоты в медленно спадаю­ щую кривую (рис. 7.7). У современных приемно-усилительных ламп граница горизонтального, частотонезависимого участка спектра

316

обычно лежит около 50—60 МГц, у специальных измерительных дио­ дов — на частотах до 300 МГц. Уменьшение амплитуд гармонических составляющих при />50М Гц связано с тем, что длительность их периода становится сравнимой с временем пролета электронов т0. Шум, имею­ щий сплошной спектр с амплитудами гармнонических составляющих,

На основании (7.45) для дробового шума диода, работающего в режиме насыщения и включенного в схему с полосой пропускания в пределах горизонтального участка спектра, получается выражение

нию тока лампы в режиме насыщения.

Для вывода формулы (7.46) из общего выражения (7.45) восполь­ зуемся данными из теории вероятностей, приведенными в предыдущем параграфе. Если разложить интеграл (7.42) на два слагаемых и заме­ нить в нем общее обозначение случайной функции х (/) на интересую­

В качестве границы, по которой произведено разделение интеграла, взято время корреляции т0, кбторое в случае токопрохождения через диод приблизительно равно, как было указано в 7.2.4, времени про­

317

лета электрона. Второй интеграл суммы в соответствии с (7.27) ра­

Величина S0 численно равна удвоенной площади под кривой кор­ реляционной функции, приведенной на рис. 7.4. Спектральная плот­ ность дробового шума на низких частотах, пока со т0 <§( 1, таким обра­ зом, не зависит от частоты, а на более высоких частотах, где cos сот0 нельзя приравнять единице, с ростом / уменьшается (см. рис. 7.7). Когда спектральная плотность шумов равна S0, выражение (7.45) принимает вид

Для того чтобы довести (7.47) до вида, пригодного для практиче­ ских расчетов, определим сначала средний квадрат отклонения ка­ тодного тока за малый промежуток времени т. Для этого воспользуем­ ся методикой усреднения, уже упомянутой в 7.2.4. Она заключается в том, что сначала определяется среднее по т для одной реализации кривой тока. Но так как получающаяся величина в связи с малым значением т и единичностью рассматриваемой реализации тоже еще флуктуирует, то она подвергается дополнительному усреднению путем перехода к множеству их. Если Дijt) — мгновенное значение откло­ нения катодного тока для одной реализации зависимости его от вре­ мени, ДtKT— соответствующее среднее значение за время т, то можно написать

1

Отсюда средний квадрат отклонения по множеству реализаций

В этих двух выражениях слагаемые t в пределах интегрирования опущены, так как числовые характеристики стационарных случайных

318

функций не зависят от выбора начала отсчета времени. Таким же

образом, как из (7.37) было получено (7.39), выражение для Дt\7 мож­ но привести к виду

^. V ______

А4 = Т J AiK(0AiK(^ + 0)d6.

1

Учитывая, что корреляционная функция симметрична, это выра­ жение можно заменить выражением

Величину Дi \ x можно выразить еще в другом виде. Если под Дщ понимать среднее отклонение числа электронов., выходящих из ка­ тода за тот же промежуток времени т, который рассматривался ранее, а под ДtKT— соответствующее среднее отклонение катодного тока, то Дл, и Д/,„ связаны уравнением

Если теперь путем перехода к множеству определить среднее

Для дальнейшего преобразования этого выражения необходимо знать, какому закону распределения вероятностей подчиняется выход электронов из катода. Если принимать во внимание только гармоники разложения, частоты которых соответствуют горизонтальному, т. е. частотонезависимому, участку спектра, то можно считать, что рас­ пределение происходит по закону Пуассона. Покажем это на примере. Согласно 7.2.1 распределение по Пуассону получается, когда число опытов N очень велико, вероятность наступления события за один опыт р очень мала, их-произведение Np конечно и события можно считать независимыми. Рассмотрим теперь лампу, у которой ток насы­ щения равен 0,1 А. Поскольку заряд электрона равен 1,60*10-19 К,

электронов в секунду. Если рассматривать каждую секунду как по­ следовательность элементарных интервалов времени в 10~20 с, то при токе в 0,1 А вероятность выхода одного электрона за такой элемен­ тарный интервал будет очень мала (р = 6,3* 10~3). Если далее каждый интервал в 10-20 с считать отдельным опытом, то число опытов за 1 с получается большим (N — 1020), а произведение Np имеет на несколь­

319

ко порядков меньшую величину (6.3-1017). Теперь еще нужно устано­ вить, можно ли при интервалах времени 10~20 с считать события не­ зависимыми. Очевидно этого делать нельзя, так как время пролета электронов обычно значительно больше чем 10~20 с. Однако если верх­ ний предел полосы пропускания схемы /я лежит в пределах горизон­ тального участка кривой спектра, их можно рассматривать как не­ зависимые на том основании, что длительность периода учитываемых гармоник значительно больше времени корреляции. Таким образом, флуктуации тока эмиссии в пределах частотонезависимой части спектра можно считать удовлетворяющими всем условиям, при кото­ рых действителен закон распределения Пуассона. Тогда на основании (7.16) вместо (7.50) можно написать

На основании (7.53), (7.47) и (7.49) можно получить простую рас­ четную формулу для S0, но для этого нужно предварительно уточнить соотношение между входящими в эти уравнения промежутками вре­ мени т и т„. Так как при выводе (7.53) используется закон распреде­ ления Пуассона, то тем самым предполагается, что события в отдель­ ные промежутки г независимы друг от друга. Это справедливо тогда, когда т больше, чем полоса значений 0, в пределах которой корреля­ ционная функция в первом приближении отлична от нуля, т. е. когда т >- 2т0 (см. рис. 7.4). В этом случае из указанных уравнений следует, что

Если это выражение подвтавить в (7.48), получается формула Шоттки.

7.3.2. Дробовый эффект при ограничении тока катода пространственным зарядом

В режиме насыщения выход каждого электрона из катода можно было рассматривать как независимое случайное событие. Иначе об­ стоит дело в режиме пространственного заряда, когда перед катодом имеется минимум потенциала. Хотя выход электрона из катода и оста-

320