книги из ГПНТБ / Клейнер, Э. Ю. Основы теории электронных ламп учебное пособие

Так как вероятность одновременного наступления некоторого числа независимых случайных событий равна произведению вероятностей наступления каждого события в отдельности, то вероятность наступ­ ления событий А и В в указанной последовательности будет

р • q ■р • р • • • р = р" qN~n .

Но по условию безразлично, в какой последовательности распола­ гаются события А и В , лишь бы за N опытов событие А наступило п раз. Число различных последовательностей, при которых событие А может иметь место п раз, определяется числом возможных сочетаний из N элементов по п:

Закон распределения вероятностей, соответствующий выражению

И. Распределение Пуассона

Рассмотрим теперь, как изменится выражение (7.1), если предпо­ ложить, что N становится очень большим и в пределе стремится к бесконечности, р — очень малым и в пределе стремится к нулю, но так, чтобы при этом произведение Np стремилось к некоторому конеч­ ному значению. Учитывая, что q = 1—р и согласно (7.2) р = njN, (7.1) можно представить в виде

301

Так как согласно определению факториала

Л/

Так как предполагалось, что N » л0 и в пределе стремится к бес­ конечности, то приближенно

= 1,

Л/

и согласно определению числа е — е = lim (1 + 1/х)Л' —

в него не входят величины N я р, которые в ряде задач могут быть не­ известными. Поскольку N здесь не фигурирует, закон Пуассона целе­ сообразно обозначать Р (п) вместо Рл(п), оставляя обозначение Рп(п) для биномиального закона.

7.2.2. Числовые характеристики случайных величин

Во многих случаях нет необходимости оперировать при расчетах с относительно сложной функцией распределения, а достаточно поль­ зоваться определенными числовыми величинами, характеризующими лишь в основных чертах закон распределения рассматриваемой слу­ чайной величины. Эти числовые величины называются ч и с л о в ы ­ ми х а р а к т е р и с т и к а м и с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы

302

и представляют собой различного вида средние значения, вычислен­ ные по функции распределения."

Важнейшие числовые характеристики случайных величин 'сле­ дующие.

1. Среднее значение случайной величины или ее математическое ожидание. Если случайная величина дискретна и может принимать

1=1

Если случайная величина изменяется непрерывно в интервале от а до Ь, то для определения среднего значения этот интервал разби­ вается на элементы dx так, чтобы вероятность в пределах каждого элемента молено было считать постоянной. Тогда вместо суммы (7.5), переходя к пределу, получаем

2. Средний квадрат случайной величины или математическое ожи­ дание ее квадрата. Ограничиваясь здесь, как и в следующих опреде­ лениях, случаем непрерывных случайных величин, средний квадрат может быть представлен в виде

ь

х — х = j (х — х )й Р х.

а

Эта величина при интегрировании в широких пределах равна нулю, однако при достаточно узких пределах интегрирования имеет значения, отличные от нуля.

4. Средний квадрат отклонения случайной величины, называемый

а

Далее приводится два необходимых в дальнейшем правила дей­ ствий над средними значениями случайных величин. Доказательства этих теорем можно найти в книгах по теории вероятностей [Л.7.3].

303

1. Математическое ожидание произведения постоянной величины а на случайную величину х равно произведению постоянной а на ма­ тематическое ожидание величины л:

2. Математическое ожидание суммы двух случайных величин рав­

На основании приведенных ранее определений найдем теперь числовые характеристики, соответствующие рассмотренным законам распределения.

Начнем с математического ожидания п при биномиальном законе распределения. Эта величина в данном случае показывает, сколько раз в среднем при известной вероятности р наступает определенное

событие за N независимых опытов. Поскольку при биномиальном законе распределения предполагается, что случайная величина дис­

кретна, то для определения п следует использовать выражение (7.5), которое при обозначениях, принятых в 7.2.1, запишется в виде

Так как сумма в этом выражении равна сумме ряда, соответствую­

Найдем теперь величину пг. С учетом дискретности рассматривае­ мой случайной величины она в отличие от (7.7) определится суммой

3 0 4

с первым слагаемым преобразования, подобные преобразованиям при выводе (7.12), легко получить

Средний квадрат отклонения (дисперсия) Д/г2, согласно определе­

Подставляя сюда (7.13) и (7.12), получаем после простых преобра­

Перейдем к распределению Пуассона. Для /г, очевидно, сохраняет­ ся выражение (7.12). Для /г2, имея в виду, что Np = п и что р предпо­

При распределении Пуассона дисперсия случайной величины, следо­ вательно, равна ее среднему значению.

Из сравнения (7.2) и (7.12) следует, что п0 = п. Это дает возмож­ ность представить (7.4) в более удобном для практических целей виде

7.2.3. Системы случайных величин. Корреляция

При изучении более сложных случайных явлений приходится использовать две или даже несколько случайных величин, образую­ щих совместно систему. Свойства систем случайных величин не ис­ черпываются свойствами каждой величины в отдельности, а зависят

•еще от связей, существующих между ними.

Две случайные величины могут быть зависимыми или независимыми друг от друга. Два события считаются независимыми, если одно из них не влияет на появление другого. Соответственно две случайные

Для того чтобы найти критерий, по которому можно было бы уста­ новить, являются ли две случайные величины независимыми, рас­

наступления их одновременно, как уже указывалось в 7.2.1, равна произведению вероятности наступления каждого в отдельности. Тогда

и далее, поскольку произведения xipt и ykPk независимы друг от друга,

п п п п

откуда при подстановке выражений (7.19) следует (7.18).

При рассмотрении шумов электронных ламп в основном будут интересовать отклонения случайных значений токов от своих средних значений, т. е. случайные величины, у которых математические ожи­ дания равны нулю. Для независимых случайных величин х и у, у

Иначе обстоит дело, когда величины х и у коррелированы. Харак­ тер корреляционной зависимости может быть различным. Наиболее простая корреляция — линейная. В этом случае связь между х и у можно представить в виде

306

где а — постоянная; г — флуктуирующая величина, не зависящая

от х.

Выражение (7,21) соответствует наиболее общему случаю линей­ ной корреляции— частичной, так как флуктуации - у не полностью совпадают с флуктуациями х. Полная корреляция получится, если положить г = 0, т. е. когда

у= ах.

Вэтом случае ху — ахъ = ах-, т. е, ху не будет равным нулю, даже

если х = 0 и у = 0. То же имеет место при частичной корреляции. Из рассмотренных особенностей произведения ху вытекает сле­ дующее практически важное правило: если математическое ожидание

7.2.4. Случайные функции. Корреляционная функция

С л у ч а й н о й называется функция, значение которой при каж­ дом значении аргумента является случайной величиной. В дальней­ шем будут рассматриваться лишь случайные функции, у которых аргументом служит время.

Так как случайной называется величина, которая s в результате опыта может принимать то или иное значение, неизвестное заранее, то из определения случайной функции следует, что она в результате

ц и и . При каждом опыте получается одна из возможных реализаций данной случайной функции.

С л у ч а й н ы м называется процесс, протекание которого по времени описывается случайной функцией. Различают стационарные и нестационарные случайные процессы и соответственно стационар­ ные и нестационарные случайные функции. Стационарным называ­ ется случайный процесс, протекающий по времени приблизительно однородно; описывающая его стационарная случайная функция имеет вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя .амплитуда, ни характер этих колебаний не изменяются существенно со временем (рис, 7.3,а), Нестационар­

ный случайный процесс, а соответственно и нестационарная случай­ ная функция характерны тем, что они имеют тенденцию развития со временем (рис. 7.3,6).

Случайные функции могут быть охарактеризованы теми же чис­ ловыми величинами, что и случайные величины. Сущеетвенная осо­ бенность стационарной случайной функции заключается в том, что значение ее числовых характеристик в связи с стационарностью не зависит от того, какой момент при их рассмотрении принять за начало отсчета времени.

Рис. 7.3. Виды случайных функций:

а — стационарная: б — нестационарная

Определение числовых характеристик стационарных случайных функций возможно двумя путями. Один заключается в том, что рас­ сматривают одну единственную реализацию этой случайной функции и пользуются ее значениями в различные моменты в пределах доста­ точно большого интервала времени. Во втором случае исходят из множества реализаций, полученных одновременно на большом числе объектов, в которых протекает один и тот же случайный процесс,

ипроизводят вычисления по значениям всех этих реализаций в один

итот же момент времени. Первым путем пользуются при измерении шумов, вторым — при их вычислении. Использование множества реализаций облегчает вычисления тем, что позволяет производить сперва усреднение по некоторому малому интервалу времени для од­ ной реализации , а затем усреднение по множеству.

Далее приводятся некоторые необходимые в дальнейшем правила действий над числовыми характеристиками случайных функций в дополнение к тем, которые уже приводились в 7.2.2 для действий над случайными величинами:

1)математическое ожидание производной от случайной функции

равно производной от ее математического ожидания

308

2) математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания

Из этих правил следует, что операцию дифференцирования и опе­ рацию интегрирования можно менять местами с операцией усредне­ ния.

Подобно тому, как между двумя различными случайными величи­ нами может существовать корреляция, она возможна и между зна­ чениями случайной функции в разные моментывремени. Для того чтобы установить, существует ли такая корреляция, очевидно доста­ точно проверить, имеется ли она между отклонениями соответствую­ щих значений случайной функции от среднего. Если значение слу­ чайной функции в момент времени t обозначить х (i), а в момент более поздний на отрезок времени 0 — х (I + 0), то соответственно 7.2.3 критерием наличия корреляции между этими величинами может слу­ жить выражение

это часто имеет место, то корреляционную функцию можно записать в виде

Степень корреляции между значениями одной и той же случайной функции в разные моменты времени уменьшается с ростом 0. Для учета скорости этого убывания пользуются понятием в р е м е н и к о р р е л я ц и и т, понимая под этим интервал времени, за предела­ ми которого значения случайной функции практически можно счи­ тать некоррелированными. Отсюда следует соответственно (7.20), что при х (/) = 0 и .0 > т

Примером процесса с ограниченной по времени корреляцией мо­ жет служить эмиссия электронов с катода. Если интервал времени между выходом двух электронов достаточно велик, то эти события можно считать некоррелированными. Если же выход второго электро­ на следует за выходом первого до того, как первый успел долететь до анода, т. е. в пределах его времени пролета т0, то электрон, вышед­ ший первым, за счет вызываемого им в междуэлектродном простран­ стве изменения электрического поля влияет на условия выхода вто­ рого. Время корреляции в этом случае приближенно равно времени пролета.

309

Корреляционная функция обладает следующими свойствами

(рис. 7.4):

1. Она является функцией только от 0 и не зависит от /. Независимость от t обусловлена стационарностью функции х (/).

2. Она симметрична относительно 0. Поскольку корреляционна функция согласно первому пункту не зависит от начала отсчета вре­ мени t, то его, очевидно, беспрепятственно можно передвинуть вперед

Как известно из электротехники, для вычисления действующих значений периодических несинусоидальных токов или напряжений требуется разложение их на гармонические составляющие. Таким же образом, очевидно, нужно поступать при определении числовых характеристик случайных функций, которые являются не только несинусондальными, но и непериодическими.

Рассмотрим определение дисперсии как наиболее важной число­ вой характеристики случайной функции. Возьмем случайную функ­

цию х (t), у которой х (/) — 0. Тогда дисперсия будет равна среднему

квадрату самой функции x2(t). Для определения этой величины пред­ положим сначала, что рассматриваемая функция не соответствует точно определению случайной функции, а что она периодична, однако с очень большим периодом повторения Т0. Для получения результата, соответствующего истинной случайной функции, произведем затем

аю