книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы
.pdfчто для всех zn*eZ , подчиняющихся неравенству |zn—
Zn- I <С б,
|
М{1у(е*и) - ? ( г п)\2}<в*. |
(2.8) |
|
Для среднеквадратической непрерывности |
<р(z„) в обла |
||
сти Z необходима и достаточна непрерывность ковариа |
|||
ции /( |
(zui, zU2) |
в любой точке (ги, гп), принадлежащей |
|
Z (см. |
[61], стр. |
238). Под ковариацией |
^ w (zul,z U2) в |
случае действительного поля <p(zn) понимается матема тическое ожидание М произведения q>(zni) <p(zn2).
Случайные поля q>(zn), g(zд) и случайные процессы rx (i), ry(l) могут быть полностью определены посредст вом задания согласованного семейства совместных функ ций распределения (см. [61], стр. 65 или [62], стр. 202)
(2.9)
равных вероятности Р того, что одновременно выполня ются следующие неравенства:
& ( 2д . ) < * . , . |
£ ( * » ) < |
|
• • • , £ ( ? * , ) ■ < - V |
|||
V ( 2ш ) ^ |
* 2 1 ) |
¥ ( 2п г ) |
* 2 2 » |
••• > Т ( 2nj t) ^ |
* 2 i , > |
|
( ^ и ) |
* 3 1 > С х ( ^ м ) < С |
* 3 2 . |
• • • |
> Гх (txi) |
* 3 ( , > |
|
Гу(ty) < |
* 4 1 , |
Гу (tya) < |
* 4 2 , |
. • . |
, Гу (tyi) |
' * 4 l V |
В формуле (2.9) |
для сокращения записи |
приняты сле |
дующие обозначения:
К 1 = { * 1 . 1 * 1 2 . •• .,*,J,
х ‘; = {*,„ * 3 2 . •• • >*31S}>
■2^ и Zn означают множества блока памяти:
{*21 >*221 ••• >* 2(,}>
{ * 4 1 1 * 4 2 ) • • • ) * 4 / 4} 1
координат датчика и
2 д |
{ 2 Д1> |
сД 2 ) |
• • • 1 2 д / , } |
> Z n ------ { 2 U 1 1 |
2 П21 |
• • • |
1 |
Тх и Ту — это |
множества |
моментов времени, в которые |
|||||
фиксируются значения гх и гу: |
|
|
|
||||
f Х ~ |
{^ Х 11 ^Х 21 |
• . Д , - , } ) |
^ У= { ^ У п |
^ / 2 . ” |
• . |
tyi,}- |
В дальнейшем возникает необходимость в нспользо- ■нии совместных функций распределения (и соответст-
60
вующих им плотностей вероятности) не обязательно сра зу всех четырех случайных функций g, ср, гх и гу, но и меньшего количества их. Такие «усеченные» функции распределения можно получить из (2.9), положив неко торые из значений ilt i2, is, h равными пулю и не употреб ляя при этом соответствующие координаты в записи
(2.9).
Так, например, запись
F(X\', Х‘!) ■V
означает совместную функцию распределения полей £ (гд) и ?(?„), а запись F (Х\ )—- есть функция распреде-
ления |
поля g (’2Д). |
|
|
|
|
значения |
г',, г2, г',,г4, |
|||
Кроме того, в случае, когда |
||||||||||
невелики (равны 1 или 2), |
в (2.9) |
вместо |
соответствую |
|||||||
щих комплексов X1,', |
X 1*, |
Xg, |
Х‘‘, ZA, Zn, Т х, Ту |
будем |
||||||
писать |
скалярные |
величины. |
К |
примеру, |
запись |
|||||
F(X ‘‘, |
Х ‘‘, |
x31, .х41) эквивалентна |
(2.9) |
при |
i3= |
t4 —Г1, |
||||
Zn, |
Zn , |
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х'з - |
{*„}, х 1; = ы |
, |
тх = |
{/„}, |
Ту = |
{ Ц . |
|
||
Перейдем |
к построению единого |
вероятностного про |
странства {Q,@,P}, на котором можно было бы рассматри
вать как случайные поля £ (гд), 'Р(^п). так |
и |
случайные |
||||||
функции rx(t), ry (t). Рассмотрим |
множество |
e = |
Z ' X ‘Z, |
|||||
представляющее |
собой |
произведение |
множеств |
Z и J |
||||
(см. [61], стр. |
132). |
Элементами |
этого |
множества 0 |
||||
являются упорядоченные тройки |
чисел |
0 = |
/х |
\ |
иногда |
|||
|г/ |
j; |
|||||||
будем обозначать также 0 = (?,<). |
Зададим |
случайный |
процесс непосредственно ([62], стр. 202). В качестве множества Q элементарных событий <о будем рассматри
вать множество |
четырехмерных |
векторных |
функций |
|
|
|
’XI» |
(8) ' |
|
ю= / ш(е) = |
%2<о (0) |
|
||
ХЗо (0Г |
|
|||
|
|
|
||
|
|
Х4» (0) |
|
|
аргумента 6 = (z,t). |
На функции |
/л, / 2, /,, /л |
наложим |
дополнительные условия:
4* |
51 |
1) |
не зависят от времени: Х,ш(9) = У1ш(2). У.2а>(6) - |
||
= У.2ш(5); |
не зависят от |
координат х, у и зависят толь |
|
2) у3, у, |
|||
ко от' времени t, т. е. Х3ш(6) = Х3ш(0. |
7.4<в(0) = У.4„(0- |
||
В остальном функции |
уА, у 2, у 3,ул |
совершенно произ |
вольны. х1ш. Х.2ш>Хзш» Х4(0 имеют значения в пространстве Е, под которым будет подоазумеваться евклидово прост
ранство на |
действительной |
прямой (— сю, оо). Обозначим |
||||||||||
через Еп /г-ую степень пространства |
Е\ |
m имеет |
|
значе |
||||||||
ния в Е*. |
Пусть |
i4 'i+i2+(3+i. __ уНуФ»уГУГ‘ — борелевское |
||||||||||
множество |
в метрическом |
пространстве E''EhEhEh(опре |
||||||||||
деление борелевских множеств |
см. в [58 — 60]). |
|
|
|
||||||||
Множество точек <«-— Хш(®)> |
для которых |
|
|
|
|
|||||||
|
|
{Х|„(гд0> X |
u |
••• >Х1ш(2дг,)} G Л" > |
|
|
|
|||||
|
|
(Х2ш(2ш)> Х2ш(2п?)> ••• >Х2ш(^]11а)}С '4 , |
|
|
|
|
||||||
|
lx».(tn ), |
у3а (txa) , •••.х3ш(*,,-,)} е |
л‘3. |
|
|
|
|
|||||
|
|
ixiJtv,), у.4ш(^*).....у.4в (^,)} е л‘\ |
|
|
|
|
||||||
называется цилиндрическим |
множеством |
С (Л‘‘ Л'1Л!М ‘‘) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
, 7. , |
г |
, |
г , |
над |
координатами |
гД1, гД2, ... , z^; zni, |
|
д ’ |
|
ж ’ |
У |
|||||
Гпа....... |
|
|
г1.,,, |
|||||||||
tXiT - , t Xi\ |
tyvtyif-> |
t k с основанием Лг,Лг»ЛМ‘‘ |
|
([61], |
||||||||
стр. |
149). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
г2, г3, г4 и точки |
гД1, ... , z^ ; |
zni, ... , z^ ; |
|
|
...... |
txi‘, tyi, ..., f г< зафиксированы, то между цилиндричес кими множествами над координатами гД1, ... , z .; zni, ..., 2ш >txii\tyu ...,tu.t и борелевскими множествами
из El'EhEhEu существует изоморфизм: каждое борелев-
кое множество AhAhAlsAh^ :E''E‘:,EhEh определяет цилин дрическое множество, для которого оно служит основа нием; разным основаниям соответствуют разные ци линдрические множества; сумме, разности или пересече нию оснований соответствует сумма, разность или пере сечение цилиндрических множеств.
Одно и то же цилиндрическое множество может зада ваться над разными наборами координат ([61], стр. 150).
52
Поэтому, в частности, можно считать и = 12=13 = ц = т =
— max |
(t'i, i2, г3, |
ц). Класс @всех цилиндрических мно |
жеств |
образует |
алгебру множеств ([61], стр. 150, теоре |
ма 2 ). Эта алгебра множеств содержится в П. На алгеб ре цилиндрических множеств определим функцию мно
жеств Р(С), |
приняв Р(С) равным |
вероятности того, что |
одновременно выполняются следующие условия: |
||
|
- , £ ( 2Д11)} G А‘\ |
{<р(?„,),?(.2П2), |
{ /’ x ( ^ x i ) l |
Г х ( ^ х г ) > •••> r x x i ) } G A \ |
{ r y ( t y i ) , r y { t y 2) ............. |
Нетрудно убедиться, что функция Р(С) является ко нечно-аддитивной на Ч. Поэтому на основании теоремы Каратеодори ([61], стр. 97) функция Р(С) может быть
продолжена до меры Р на минимальной пополненной з-алгебре цилиндрических множеств @, содержащей Ч.
Таким образом мы получили вероятностное простран ство {Q, @,Я}. Мерой Р является вероятность, определя емая через согласованное семейство совместных функ
ций |
распределения |
(2.9); в силу |
условий согласования |
|
P(Q) = 1. |
с |
общепринятыми представлениями |
||
В |
соответствии |
|||
под |
с л у ч а й н о й |
ф |
у н к ц и е й |
(в частности, под слу |
чайными полями g(zH), <p(zn) и случайными процессами /■*(■/), ry(t)) понимается семейство случайных величин, зависящих от параметра.
Для случайной величины примем следующее опреде ление. Пусть |(со )— некоторая функция элементарного исхода. Если для любого действительного числа а мно
жество А точек (о таких, что £(м )< а, |
принадлежит ст-ал- |
|
гебре событий ©, |
то £(ю) называется |
с л у ч а й н о й ве |
л и ч и н о й . Такое |
определение вытекает из определения |
случайной величины ([61], стр. 140) и из критерия изме
римости функций |
([59], стр. |
279). На вероятностном про |
||
странстве {Q, @, Р} будем |
рассматривать четыре функ |
|||
ции: |
|
|
|
|
S К ?д) = |
у.1ш(6), С2 |
(«о, 7„) = |
-/2ш(0), С3 (ш, 0 = |
|
= |
73в1в)Л |
(®, 0 - |
7,4.0 (0). |
53
где '2 Д, zn £ £ Z ,t |
и покажем, |
что С,,Сг,С3,С4 являют |
ся случайными функциями. |
|
|
Рассмотрим, например £i(co, za). Поскольку для лю |
||
бого фиксированного |
и произвольного а прообра |
|
зом по отношению к |
функции |
ti(o), гд) борелевского |
множества Л = ( —оо, о) из пространства Е является ци линдрическое множество с основанием А -Е -Е -Е над
координатами |
гд*, |
zn, |
tx, |
t,h принадлежащее |
o’-алгебре |
||||||
событий |
© |
(причем координаты zn, tx, tv могут задавать |
|||||||||
ся произвольными), то Si (со, 2Л) |
является |
случайной |
|||||||||
функцией, |
заданной |
па |
вероятностном |
пространстве |
|||||||
{Q, |
©, |
Р}. |
Таким |
же |
образом |
можно |
показать, что |
||||
£2(0), Zn), ^з(со, t), |
|
О |
также являются |
случайными |
|||||||
функциями. |
|
понятия |
стохастической |
эквивалентности |
|||||||
С учетом |
|||||||||||
случайных функций |
(см. [61], стр. |
195) |
и при |
том зада |
|||||||
нии |
вероятностей |
на |
а-алгебре |
событий |
|
которое |
было проведено выше, в качестве исходных случайных
функций g(zz), |
<p(zn), rx (t), |
ry(t) |
можно рассматривать |
|||||
соответственно |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(zn) = tl(« , |
2д), ф(zn) = S2(01, |
Zn), rx(t) = t 3(01, /), |
|
|||||
Пусть задана |
rv(t)=Z4 (®. 0 - |
с областью |
||||||
траектория |
движения z n(t) |
|||||||
определения t£ £ Z |
и областью значений z,(= Z . |
Задание |
||||||
траектории оппеделяет отображение поостоанства Z в |
||||||||
простоанство |
Z. |
Случайная |
функция g (zn) |
пепейдет |
в |
|||
новую случайную |
функцию |
g* (t) — g [7Д(Of. |
заданную |
|||||
на прежнем |
вепоятностном |
пространстве |
{Q, ©, Р} |
со |
||||
значениями параметра t ^ Z . |
|
|
|
|
|
|||
Пусть наложены дополнительные связи: |
|
|
|
*п (0 = х А(0 — гх (0 = |
(0 — С3(т, 0- Уп (0 = |
|
= Уп(0 — гу(0 = |
Уп(0 — с, («, 0 - |
|
Рассмотрим новую функцию |
ф.*(/) = У о), |
x„(t)-~ £3(10, /), |
г/д( 0 —S4(со, 0]. Прежде чем |
исследовать |
свойства этой |
функции, докажем утверждение, необходимое для даль нейшего изложения.
Л е м м а 2.1 . Если £(со, I) |
— |
непрерывное в среднеквад |
|
ратическом |
случайное поле, |
заданное на компактном |
|
метрическом пространстве Z, |
a z(«, 0 — векторный слу |
||
чайный процесс со значениями в Z и с областью задания |
|||
Z, то |
ц(со, 0 =?[(*>, |
г(<», /)] — случайный процесс |
|
с областью задания £. |
|
|
54
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Поскольку' |
из |
сходимости |
||
в среднем следует сходимость по мере |
(см. [59]), то из |
||||
среднеквадратической непрерывности |
|
|(о), |
z) вытекает |
||
стохастическая непрерывность |((о, z) |
в Z |
(определение |
|||
стохастической непрерывности см. |
в |
[61], |
стр. 205). Из |
||
стохастической непрерывности £(ю, |
z) следует, что |(а), z) |
может рассматриваться как измеримая случайная функ ция (см. [61] стр. 209, теорема I).
Напомним, что случайная функция Дда, z) называется
измеримой, |
если она |
измерима |
относительно |
з-алгебры |
|||||
а(&Х@), где |
й — з-алгебра в Z. |
В данном случае |
под |
||||||
й будет |
пониматься |
минимальная |
з-алгебра, |
содержа |
|||||
щая все борелевские множества в Z. |
|
|
|
||||||
Теперь |
из |
измеримости Xе0- з а к л ю ч а е м , |
что |
для |
|||||
любого а множество точек (да, z), |
таких что £(да, к)<[а, |
||||||||
принадлежит |
з(0 .Х@). т. е- |
существуют |
|
множества |
|||||
ВаG |
Са G |
такие |
что |
|
С„. |
Зафиксируем |
|||
произвольное |
t* G £ и рассмотрим |
функцию |
£ [да, z (да, £*)]• |
||||||
Определим |
множество |
4**={да: $[да, z (даХ*)] < а } . |
Для |
||||||
этого найдем |
множество точек |
£>*‘ = { « 0 : 2 (да, |
t*)(E |
СД . |
Поскольку z (да, /*) по предположению случайная функ
ция, то £>**£=©. |
При этом |
множество А** = Ва Н е |
||||||||||
действительно, |
|
если |
некоторое |
да* £.4**, |
т. е. |
? [да*, |
||||||
2 (да*, ^*)[<я, |
то |
»* G |
б 0, ? (да*Т*) G С„, да* £ |
D*a> |
сле |
|||||||
довательно, |
да* G |
-5a Г) D**. |
Обратно, |
пусть |
да* G |
Ва f] |
||||||
П D**\ тогда |
<*>*£: Ва и да* £ й ‘*. |
Из |
последнего |
соот- |
||||||||
ношения |
находим |
z (да*, |
t * ) ^ |
Са. |
|
Значит, |
точка |
|||||
(да*, z (да*, t *))(Е-Вау(Са, |
т. |
е. S [да*, г (да*, ^*)]<я, и следова |
||||||||||
тельно, |
да* GiM**- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
для |
любого |
а |
и |
любого |
1*G ^ |
множество |
|||||
A** = Sa fl D** и, |
следовательно, A** G ©• |
Поэтому |
ъ (да, |
|||||||||
Q |
А |
|
|
|
|
|
й |
|
|
с областью |
||
t) — \ [да, г (да, £)] |
является случайной функцией |
|||||||||||
задания %, что и требовалось доказать. |
сделаны |
ранее |
||||||||||
При тех допущениях, которые |
были |
|||||||||||
относительно поля ф ( г п ) , |
функция ср*(со, ^) = £г£<о, xR(t) — |
—(со, t), yn(t)—^4(со, t)] удовлетворяет условиям леммы
2.1и поэтому ср*(со, t [является случайной функцией, за
данной на £.
Нас интересует функция и(а, /)=g*(co, /)ф*((о, i). Так как g*(a, t) и <р*(со, t) — случайные функции, то на
55
основании новостной теоремы о борелспских функциях [60] и (со, t) также представляет собой случайную функ
цию, заданную на вероятностном |
пространстве (Q, |
©, |
Р} со значениями параметра / е £ . |
Поскольку g *(<*>, |
t) |
и ф*(о), t) с вероятностью 1 предполагаются ограничен ными, то «(со, t) является гильбертовой случайной функ цией (см. [61], стр. 237) п по отношению к ней справед лива теория линейных преобразований случайных про цессов, для применения которой необходимо лишь знать
математическое ожидание ти (t) = Щи (/)} |
и корреляци- |
||
• |
• |
процесса u(t) |
|
онную функцию Ruu{t1, h) ==М{«(Л)«(/2)} |
|||
о |
|
|
|
(здесь u(t)=u(t) — ти (0 ) • |
|
|
с mu(t) |
Корреляционная функция RUu(tu h) связана |
|||
и ковариацией KUu(tь t2) известным соотношением: |
|||
Kuu{ti, t2) —Ruu (h, к) + tnu (ti) mu (t2) , |
(2 .10) |
поэтому наряду c RUu(ti, t2) для исследований можно использовать ковариацию KUu{ti, к). Чтобы вычислить niu (t) и Kuu{ti, к), на вероятностном пространстве {О, ©, Р} рассмотрим векторную случайную функцию
|
1ё [Ч |
|
|
Н-(б) |
v И |
е= (2 , O G 0 . |
( 2. 11) |
г ,т |
-до/
определяемую согласованным семейством распределе ний (2.9). Далее предположим, что существуют соот ветствующие плотности распределений
|
р ( Х \\ |
Х‘\ |
|
X j)= |
|
|
||
|
V |
|
Т«. |
Ту |
|
|
|
|
d h+i,+U+UF |
7 . |
р х% , А"з3 , |
X j‘ ) |
|
|
|||
|
|
Z , |
т. |
т |
|
|
||
_________________*Д’ |
|
х» |
у_______ |
( 2. 12) |
||||
<)Хц ... d x U ic)x21... |
д х 21яд х 31 ... |
д х 31зд х 41 ... d x 4i |
||||||
|
||||||||
Пусть задана |
траектория |
движения zA(t) |
и наложена |
|||||
связь zn{t)=za(t)—r(t). |
Эта |
траектория |
производит |
|||||
отображение |
£ — иЭ |
и случайная |
функция ц (0 ) пре |
|||||
вращается в |
четырехмерный случайный процесс: |
|
ДНд (01
5 К 0 = ¥ Кд (0 — т(01
гх (о
|( 0
заданный на множестве £ со значениями в Е4.
56
Выразим согласованное семейство совместных |
плот |
||||
ностей распределения: |
|
|
|
|
|
|
е(Х‘,\ |
X j, |
X», |
X j) |
r2 .l3) |
|
V |
V |
г, |
г, |
|
процесса |
через плотности |
распределения |
р ( Х ( |
||
|
|
|
|
|
Д’ |
Х2 , Xg , Х^‘) процесса р (0). Функция е (X,1, Х2 , Х 3 ,
т& тф
1
X l‘)d x u ...dxu dx2i ...dx2idx3l ...dx3i dxn ...dxUi
Tv
равна вероятности события В, состоящего в том, чтоодновременно выполняются следующие условия:
|
[ ? Д ( * « . ) ] < ? * |
И + •••> |
Х Нг < |
|
||
|
< х [ гд (^ (1) ] < ^ п 1+ ^ „ 1; |
|
||||
■*■21 |
Хгш[2Д(^2) |
(^ф2)1<~С*>С'21Н- <^-^21’ |
• • •’ |
^ |
||
|
< Х 2ш[?д |
|
+ |
dx2i. |
|
|
x 3i |
Хзш(^xi) |
|
-^31 “Ь dx3l, |
х 3^ <СХзш(^i3) “С (2.14) |
||
|
|
|
< x3ia - f d^3.3; |
|
|
|
|
-*41 |
Х40,(^i/i) <СХи Ч- d x ^, |
|
|
||
|
XMi < |
XA ^ ty i ) < Xih Jr dXUi- |
|
|||
В (2.13) |
Г , = |
|
|
— множество |
моментов |
времени, в которые фиксируются координаты датчика поля; Ту = фф1, tyV ..., — множество моментов времени, в которые фиксируются координаты блока памяти.
Рассмотрим событие В. |
Введем векторную случайную |
||||
|
|
'Хз® |
ц>1 |
) |
\ |
|
|
^3®(^ч>г1 |
|
||
величину м>(®, |
Ф12■= |
Хзш |
|
|
ее значения на- |
|
|
7.4® |
(^ 1 |
) |
|
|
|
\Х4® |
|
1 |
I |
57
ходятся |
в пространстве W = |
E2ia. Через Dk[ |
v обоз- |
|
|
|
|
11 l a h |
|
начим событие, состоящее из тех ш, для которых |
||||
Гхк1 *7 /-Зш (*„) <7 '"'ft, "Ь ^Гх1' |
r*ki2^ |
/-з» ^ч>г3) |
*7 |
|
|
< r xft(.3+ rfrr.a |
|
(2.15) |
|
ГУ1, ^ |
|
|
|
|
/-4(0 (^cpl) ^ ГУ/, Н- |
ГУ2/а * 7 |
/-4(0 (^(pia) |
*7 |
<ГУЧ%+ drVii
причем будем считать, что все rxk^ удалены на расстоя
ние drx все гХк— на расстояние drXit, все i'yti — на рас
стояние dryi,..., и все гуг^ удалены на расстояние dry^ • События k г. не пересекаются друг с другом. Со
бытие |
В |
|
можно |
представить |
в |
виде |
5 = ( J |
(J ... |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А, |
/. |
••• U |
U |
B k,l, |
А- Г> ГДе |
B k l |
А- г. = |
5 |
П А ь / |
ь. |
; |
с о б ы - |
|||
fcT |
/7 |
«11* —«t,% |
|
«1<1—«*аЧа |
|
й1‘1••• «/а */а |
|
|
|||||
*а |
**а |
_ |
ft. |
z. также |
взаимно |
не |
пересекаются. На |
||||||
тия |
|
||||||||||||
основании |
счетной аддитивности |
вероятности |
|
|
|||||||||
|
|
^ ( Я ) = Е Е . . . 2 2 ^ ( 0 (1 0 , |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
а, |
г, |
A;, Г |
|
|
АД ... A; li |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
14 |
‘I *! |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
*3 *3 |
|
|
|
|
|
|
|
при неограниченном уменьшении интервалов |
c?r |
, ...,drXi\ |
|||||||||||
dryi, ...,drVit |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Я (5)= |
UO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j - |
f Я (В П Dkilt . |
h ) drXi... t/r4j; |
dryi......drVh |
||||||||||
Будем |
неограниченно |
уменьшать |
dx u , . .., dxu ; |
(2.16) |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
dx2i......dx2ii; |
dx3t,..., |
dxix, |
d x |
4j\ |
|
||||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* <fl n |
Dkili |
) |
(XV, x 1; , |
|
Я7 x j , /?;*, x j ) X |
||||||||
|
X ^ u |
3 1 |
W |
■ |
|
V X |
V |
Tv |
|
||||
|
■■■dxu dx2i ...dx2idxSi ...dx^ |
dxn ...dx4i . (2.17) |
Выражения, стоящие в левой и правой частях урав нения (2.17), означают вероятность события, состоящего в одновременном выполнении неравенств (2.14) и (2.15).
58
В (2.17) |
приняты следующие обозначения |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
—{zp,{tgi), |
zR{tg2), |
. . . |
. 1Я |
|
( 2 |
. 1 8 ) |
||||
ZM^<f) |
^ |
|
{?Д(^ipl) |
С» *Д (^2) |
''г* •■•> *Д (tyij |
1;J> |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 . 1 9 ) |
|
|
|
|
|
|
R |
■{/:! I 12) • ■• >1ia} 1 |
|
|
|
||||
= |
" {rxl>rx2>• • • > rxi)’ |
( ^ . 2 0 ) |
^ y == i^xl* Гх2’ '■•> 6 |
i i } . |
( 2 . 2 1 ) |
|||||||||
Соотношение (2.16) |
позволяет |
установить |
искомую связь |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
00 |
00 |
|
|
|
|
|
|
e ( x ; \ x ‘\ x '\ x J * ) |
= |
|
j‘... |
J' |
р ( х \ \ |
х!;, |
г , |
х^>, (2 .22) |
||||||
V |
V |
т*• |
Д |
|
|
2i% |
|
ZA<V' |
|
V |
Г«. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ;1, |
X l' ) d r x V . . . , d r x . d r ...... |
|
|
|
||||||||
|
|
|
т т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
|
|
1у |
у |
|
|
|
(2.22) |
легко ^получить |
общие |
||||
основании |
равенства |
|||||||||||||
уравнения для mu (t) |
и KUu{t1,ti). |
Действительно, |
по оп |
|||||||||||
ределению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
00 |
|
|
|
|
|
Ши (0 = |
м {g* (t) f* (*)} = |
j' |
j* g<pe(g, f) dgdf, |
(2.23) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—00 —oo |
’ |
|
|
|
|
|
Kuu {tu tt) = |
|
M {£* (/,) g* (/2) f* (f.) ?* (4 )} = |
|
||||||||||
|
00 |
oo |
OO 00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f |
J |
f |
f g igt9№ ( g i , g * , 9n'?a) d g ld g id<eld f a. ( 2 .24) |
|||||||||||
|
J |
J |
J |
|
|
|
f„ |
ta, |
Щ |
ta |
|
|
|
|
|
—00—00 —00—00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Функции e (g,<p) и e (glt g2;<p,, ?2) это |
совместные плотно- |
|||||||||||||
|
|
t, |
t |
|
|
ti, |
ta\ |
ti, |
ta |
|
|
|
|
|
сти распределения случайных процессов g* (t) и <p* (t), они являются частным случаем многомерной совместной плот ности распределения (2.13): ф) получается из (2.13), если принять
* i = » 2= l , C = C = °- 7« = 7’,, = *, X \ l , - - = g , X j = f ;
(2.25)
e(g,,g2; ?i>?2) получается из (2.13), если принять
tu tu |
11, 12 |
i\ — — 2, г’3= С ~ 0, 7^ = 7^ = {*„*„}, X‘‘ =
(2.26)
59