книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

’’ 1 t ( A ? + l ) 2 г + 2 « — 1^’

как это показано на рис. 7.14. Поскольку удлинение про­ изошло не меньше, чем на величину Q максимального

куска кода, то каждый кусок кода я* полностью содер­

куски т* этим свойством могут не обладать: возможно,

что у некоторого набора я * начало попадает в один «большой» кусок, а конец — в другой. Оператор Ai по­ зволяет тривиальным образом вычислить номер N удли­

ненного куска pN, в который попадает кусок кода я,, и

координаты этого куска в р^.

Именно, для каждого набора х с номер N удлиненно­

начала участка кода я, внутри удлиненного куска р^ (под которым понимается число отрезков длиной 2d, за­

ключенных между началами кусков я* и pIV) определя­ ются первыми (младшими) I—d разрядами набора ^i(xc); обозначим этот набор уш= (уо, Уи ■■■, yi-d-i)- Введем для рассмотренных «частей» оператора Ai — (п—к,t+ d —/)- и (п—к, I—с?)-операторов соответствен­

но— обозначения A i2 и Ац, т. е.

Ai (хс) = (Аи (хс) ,Ai2 (x c) ).

Определим теперь оператор кодирования Л.Это (t + d—I,

його куска выдает этот кусок. Более формально опера­

где 0 {t -I- d — /) — такая ^величина, что отношение 0(f-f-

•\~d — l)/{t -\-d — I) ограничено сверху.

может быть получен в результате последовательного

Р

242

Оператор Ав. Это (22к+2-]- 2k -f- 2, (2p-f- l)2 fe)-onepa-

тор. Он получается в результате последовательного дей­ ствия операторов S°2’20h+2, Sg’ah+s, •••> 5°2**+* (рис. 7.17). Вы­ ходом оператора Ав являются первые ( 2 р + l)2ft разрядов

на выходе оператора А6 представляет собой участок ко­

да я длиной (2p+l)2fe, начинающийся в той же точке,

в которой начинается второй участок кода я*2 t-ro боль­ шого квадрата, соответствующего входному набору хс,

т. е. первые /г*2 разрядов набора £2 совпадают с участ­

ком кода я,2. Согласно (7.58)

26+1 ! 2 ( Л ) < 2 £ б ( ^ +,)<3(2к + 2 ) 2 ^ . (7.76)

/=о

Оператор A^. Этот оператор по набору хс выдает на­

бор \jj= (ojjo, 4|н,.. •, ijjft-i), являющийся двоичной записью числа S*i — длины средней линии нового покрытия г-го

Оператор А9. Рассмотрим некоторый г'-й большой квадрат (обозначим его, как и ранее, Кг), по которому проходит покрывающая ломаная полоса (для этого большого квадрата S * i> 0 , Р1Ф 0 ) .

244

Пусть новое покрытие Ргэтого большого квадрата

те нумерации всех средних линий длины S*/ с числом из­ ломов V*,- этой средней линии присвоен номер Я*.

Параметры S**, v*,-, х*мt, Ягполностью определяют прохождение средней линии внутри г-ro большого квад­

но иметь место одно из сле­ дующих четырех условий:

1) в К% существуют клет­ ки, принадлежащие Pi, рас­ положенные в той же стро­ ке, что и клетка а, справа от а; выберем из них клетку а', ближайшую к а, и поставим

еев соответствие а;

2)в Кг не существует кле'

ток, указанных в п. 1), но существуют клетки, принад­

лежащие Рг, расположенные в той же строке, что и клет­ ка а, слева от нее; выберем из них клетку а', ближай­ шую к а, и поставим ее в соответствие а;

3) в Ki не существует клеток, указанных в п. 1), 2), но существуют клетки, принадлежащие Pi, расположен­ ные в том же столбце, что и клетка а, выше нее; выбе­ рем из них клетку а', ближайшую к а, и поставим ее

всоответствие а;

4)в Кг не существует клеток, указанных в п. 1), 2),

3), но существуют клетки, принадлежащие Pi, располо­ женные в том же столбце, что и клетка а, ниже нее; вы­ берем из них клетку а', ближайшую к а, и поставим ее

в соответствие а.

По определению граничных клеток а и а' имеют оди­ наковую раскраску. Далее клетке а'еР ,- поставим в со­

245

ответствие ту клетку а", принад­ лежащую распрямленной покры­ вающей полосе, в которую клетка а' переходит при распрямлении.

При построении распрямлен­ ной покрывающей полосы клетки а' и а" также имеют одинаковую раскраску. Клетку а" назовем со­ ответствующей клетке а. Соответ­ ствующие клетки одинаково рас­ крашены. На рис. 7.18 изображен

большой квадрат и проходящая по нему средняя линия нового покрытия; каждой клетке этого квадрата припи­ сан по указанному выше правилу номер соответствую­

деляемым набором хм, выдает набор и, являющийся двоичной записью номера соответствующей клетки рас­ прямленной покрывающей полосы *\

Если же данный большой квадрат не содержит по­ крывающей полосы (5*^ = 0), то оператор Л9 выдает ну­

левой набор со =(0, 0, . . . , 0) независимо от того, какой

вид имеет набор х м. Поскольку длина участка кода д{2

246

того метода кодирования бинарных карт вытекает спра­ ведливость формулы (7.46).

Введем обозначения

I{Fn) = H (F n)l\ogH(Fn),J_(Fn) =_H(Fn)/\ogfl(Fn).

Выберем неопределенные пока параметры k, d, г, I сле­ дующим образом

подчиняется условию (7.43) и {{п + тп)/J_(Fn)]— >-0. При соблюдении (7.85)

247

кое, что при выборе k, d, г, I по формулам (7.85) ока­ зываются справедливыми все сделанные ранее предпо­ ложения и выполняются условия теоремы О. Б. Лупанова (трактуемой в духе неравенства).

Из (7.72) вытекает, что сложность оператора кодиро вания к, {А) не превышает величины

Сложность оператора Ft(Fn) равна сумме сложностей отдельных операторов A, Ai,4i— 1, 10 схемы, приве­

денной на рис. 7.10,

ю

^ ( ^ П) < ^ ( Л ) + Ц 2(Л *Х 2а/>[1 +

Получился обычный для принципа локального кодиро­ вания результат: сложность оператора Fn определяет­ ся исключительно сложностью оператора кодирова­ ния Ft (Л).

Найдем нижнююДраницу"'для'<2! (/7). Поскольку [(«-)-

-\-mn)lI(Fn)\—>0, то*~ тем более [(п-\-mn)/I (Fn)\- ^0 и по

где/, / определяются равенствами (7.81).

В неравенстве (7.89) и состоит в данном случае утверждение теоремы О. Б. Лупанова.

Предложенный метод локального кодирования би­ нарных карт без существенных изменений может быть распространен на случай, когда бинарная карта имеет форму прямоугольника (а не квадрата), параметры покрывающей полосы р(п), а(п), р(п) являются не­ которыми функциями п, имеющими предел при п— >-оо

а также на случай, когда покрытие бинарной карты осуществляется не одной, а многими покрывающими полосами.

248

7.4. Связь сложности реализации карт

схарактеристиками записываемого поля

В§ 7.1—7.3 предложен метод локального кодиро­ вания бинарных карт и получены верхняя и нижняя

оценки сложности схем из функциональных элементов, реализующих бинарные карты. На основании (7.83), (7.84), (7.89) можно записать:

нашли достаточно плотные верхнюю и нижнюю границы для мощности класса бинарных карт, то вариации

осуществлять покрытие границы бинарной карты лома­ ной покрывающей полосой, имеющей наименьшую пло­ щадь Qn. Часто минимум Qn достигается при покрытии границы Г ломаной покрывающей полосой, имеющей единичную ширину (р—1). Далее рассматривается имен­ но вариант р= 1; в этом случае

Пусть бинарная карта получена следующим обра­ зом: имеется некоторая реализация случайного поля /(|, т]) и производится сечение поля горизонтальной плоскостью, проходящей на уровне С; далее все клетки плоскости |0т), в которых функция f(l, г])> С , закраши­ ваются в черный цвет; остальные клетки окрашиваются

24 9

в белый цвет. При таком построении бинарной карты и при рациональном выборе покрывающей полосы мож­

Если рассмотреть некоторый /-й столбец, то число горизонтальных отрезков средней линии L, принадле­

Длина S средней линии L ломаной покрывающей полосы определяется следующим образом:

Будем предполагать поле /(|, г|) стационарным, тогда

250