книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы
.pdfрованным степеням усреднения (фиксированным £«)• Если же степень усреднения gn плавно менять от наи большей в начальный момент до нулевой в конце пере ходного процесса, то общая диаграмма допустимых на чальных отклонений получается как огибающая к диа граммам, соответствующим фиксированным £ (см. рис. 4.19), а установившееся значение ошибки Soo опре-
140
делится по окончании переходного процесса, когда сгла живание уже не осуществляется, Soo будет такой же, как на рис. 4.13.
Чтобы во время ликвидации больших начальных от клонений скорость отработки рассогласований равня лась максимально допустимой по условию квазистацио нарности, требуется менять коэффициент усиления в за висимости от In- Изменения коэффициента усиления должны быть обратно пропорциональны максимумам статических характеристик, приведенных на рис. 4.17.
Переходные процессы на фазовой плоскости выгля дят точно так же, как и при реализации алгоритма «сходящихся головок» (см. рис. 4.11, 4.12), если коэф фициент усиления k в зависимости от степени сглажи вания выбирается так, чтобы скорость отработки была максимально допустимой.
Итак, сравнивая два возможных алгоритма ликви дации больших начальных отклонений в одномерных КЭС, следует отметить, что при использовании алгорит ма усреднения сигналов блока памяти требуется авто матическая регулировка коэффициента усиления и сте пени сглаживания; этот алгоритм эффективен лишь при малых величинах возмущения ц. Поэтому предпочтение следует отдать алгоритму «сходящихся головок» *>.
4.3. Алгоритмы ликвидации больших начальных отклонений в двумерных непрерывных КЭС
В предыдущих параграфах этой главы рассматри валась динамика процессов нелинейного регулирования в простейших одномерных корреляционно-экстремаль ных системах. Все эффекты, описанные в § 4.1, прису щи и двумерным системам (нелинейное влияние ошибок определения скорости, возможность выведения системы из синхронизма при некоторой величине ошибки, воз можность захвата системой ложных экстремумов и
*) |
Э тот вы вод |
получен в |
предп олож ен ии , |
что |
корреляционная |
||||||||
функция |
поля Rtf (А ) |
описы вается |
уравнением |
(4 .7 ). |
Е сли |
ж е |
|||||||
Rft(А) довольно четко |
р асп адается |
на |
два |
слагаем ы х |
R t / i А ) |
и |
|||||||
Rft"(A):Rff(A)=Rft'(A) +Rtt"(А ), им ею щ их |
сущ ественно |
различны е |
|||||||||||
радиусы |
корреляции |
(т. е. поле f{x) |
со д ер ж и т |
ярко |
вы раженны е |
||||||||
вы сокочастотную и |
низкочастотную |
пространственны е |
|
составл яю |
|||||||||
щ и е ), |
то |
алгоритм |
усредн ен ия |
данны х |
м ож ет |
им еть |
ряд преим у |
||||||
щ еств. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141
трудности при ликвидации больших начальных откло нений). Но движение в двумерных КЭС сложнее и раз нообразнее, чем в одномерных. В частности, сильно про является взаимная связь между каналами, например, рассогласование в боковом канале уменьшает коэффи циент усиления в продольном канале. Сложнее обстоит дело и с нахождением алгоритмов, позволяющих ликви дировать большие начальные отклонения.
Алгоритм усреднения сигналов в блоке памяти мо жет быть использован в двумерных системах, только усреднение теперь надо проводить по некоторой области в координатах хп, Уп, например, но площади круга ра диуса R, причем радиус крута усреднения R в течение
переходного процесса уменьшается до нуля. Этому алго ритму и в двумерном варианте присущи все те недо статки (в усиленном виде), которые отмечаются в одно мерном варианте. Алгоритм «сходящихся головок» не посредственно не может быть использован в двумерных системах, но он может быть применен с некоторым усложнением: сближение головок по одной координате
должно |
быть дополнено |
поисковыми движениями по |
смежной |
координате, как |
показано на рис. 4.20. |
В настоящем параграфе рассматривается специфи- |
||
ческий метод (пригодный |
для двумерных экстремаль |
ных систем) определения отклонений от экстремума и алгоритм ликвидации больших отклонений, предназна ченный для его реализации.
Считывание данных из блока памяти производится не дифференциальным способом, а посредством прида ний считывающей головке блока памяти вращения с до-
148
статочно высокой частотой ©. Центр вращения находит ся в точке хл, Уп, а радиус вращения равен R (см. рис. 4.21). Координаты считывающей головки из меняются по гармоническому закону:
xr= xn+ R cos ю/, yv = y„+ R sin со/. |
(4.29) |
Сигнал fn(xr, г/г), снимаемый считывающей головкой па мяти в точке (хт, г/г) мгновенного положения головки, подается на синхронные детекторы продольного и бо кового каналов, где умножается соответственно на
cos©/ и sin©/, и усредняется фильтрами W${p), выде ляющими средние (за период развертки) составляющие г х, zy произведений
zx == coswt■fa(xT, yT), |
Zy = |
smmt-fil(xT,!yT). |
(4.30) |
|||
Далее |
сигналы zx, zv вместе с |
сигналом датчика поля |
||||
(я(х, у) |
подаются на |
блоки |
перемножения продольного |
|||
и бокового каналов. |
Выходные сигналы этих блоков |
|||||
|
ux=zxfn(x, у), |
Uy=zyfa(x, |
у) |
(4.31) |
||
складываются с сигналами |
датчиков |
скорости |
V*, Vy. |
143
После интегрирования сумм Vx+ux, Vy+ uy получаются
координаты |
блока памяти |
t |
|
t |
|
•*п = -*По + |
j*(V x - \ - u x) d t , |
у и — УП9-\-^ (V y - \ - u y) d t . (4.32^ |
Устройство съема данных в блоке памяти назовем модуляционной головкой. Получим уравнения статиче ской характеристики модуляционной головки. Поскольку в данном случае нас не интересуют вопросы точности, будем считать, что из блока памяти и от датчика ин формации данные о поле f(x, у) поступают без оши бок, т. е.
/п(*г, Уг)=}{хт, г/г), /д(х, y)=f(x, у).
Преобразования, которым подвергается сигнал блока памяти в схеме с модуляционной головкой, можно за дать в виде произведения нескольких линейных опера торов:
— оператора Bi круговой развертки с радиусом R и частотой а», преобразующего функцию f(xm Уп) в функ
цию ф!(хш уп): |
|
|
|
|
|
||
|
|
яМ*ш yn)=Bif(xn, yn)= f(x a+ R cos Idt, |
|
||||
|
|
|
|
yn+R sina>0; |
(4.33) |
||
— операторов В |
В |
умножения |
на ’гармонические си- |
||||
гналы, |
преобразующих функцию |
фДХш Уп) в |
функции |
||||
Фх |
|
Уа), Фу> (-*-nt Уп)'- |
|
|
|
||
|
ФJ(*u . Уи) = |
В |
(ха, уа) — cos mi • ф, (х„, у а) = |
||||
|
|
— COSwt-f(Xn -\-RcOSwt, |
Уа -\-R sin wt), |
(4.34) |
|||
|
|
Ф„,(*п, Уп) = |
B J , ( Ха , уа) |
= |
sinW-ф, (хп, уа) =- |
||
|
|
— smmt-f(xa -j-Rcosmt, |
уа + R sin mt); |
|
|||
— операторов В^, |
\В |
[временного усреднения |
сигналов |
||||
за |
период круговой |
развертки, |
преобразующих |
сигналы |
|||
ф*. ФУа |
в сигналы ф„ фу: |
|
|
|
|||
|
Ф* (ха, Уа) = |
Вху хг(ха, уа) |
= |
ф^ (*п, уа) = |
|
||
|
|
= cos <0 t-f(x* + R cos mt, уа + R sin mt) |
^ ^ |
||||
|
Фу (-*-■> Уп),— |
В |
( Х л , у а) — ф^ (-^П, Уа) — |
|
|||
|
|
= sin Ы• / (л:ж-ф- R cos mt, ул -f- R sin®t ) |
|
144
Соответствующая структурная схема приведена на рис. 4.22. Полные операторы воспроизведения сигналов продольного и бокового каналов блока памяти равны
В< = В,А ,В,. В-= А А А
Оператор А преобразования сигнала датчика поля в схе ме с модуляционной головкой является тождественным..
Рис. 4.22.
Воспользовавшись формулой (2.72), определим ста тические характеристики продольного и бокового ка налов:
F x = cos<ot-Rff(x, у, x n-\-R costot, уа -j- Rsmtot) =
= cos<ot-Rff (Ax — Rcoswt, Ay — R sin tot) |
^ ^ |
F y = $ina>t-Rff (x, y; x a -\-R cos Ы, yn -j- R sin to/) = |
|
= sin tot-Rff (Ax — R cos со/, Ay — R sin to/)’ |
|
Частота круговой развертки в схеме с |
модуляцион |
ной головкой выбирается настолько большой, чтобы за
период развертки |
ошибки определения координат Л*, |
Ду практически |
не изменялись. Поэтому Rff(Ax— |
—R cos cat, Ay—/?sinco/) можно разложить в ряд Фурье (за период разложения принимается период развертки)
Rff (Ах — R cos <ot, Ау — R sin <»/) = |
|
00 |
|
= -^--4" J j( a n cos/гео/-|-&n sin ««>/). |
(4.38) |
n=1 |
|
11— |
627 |
145 |
Коэффициенты Фурье ап, Ьп определяются по известным формулам:
|
1C |
|
|
|
ап = |
^ |
— Rcost, Ду — R sin5)cos nbd£, |
(4.39) |
|
6П= - ^ - |
Г/? ,/(Дх — iRcos£, Ду — |
sin S4 sin /г S c/£. |
(4.40) |
|
После умножения R f f ( A*—jR c o s g , |
Av—Z?sin£) на cos (at |
и sin (at в соответствии с формулами (4.37) и временно го усреднения по длине одного периода получим: Fx= = ai/2, Fy= bi/2. Следовательно, статические характери стики продольного и бокового каналов схемы с модуля
ционной |
головкой |
можно |
определить следующим об |
разом: |
|
|
|
* — 2тГ |
\ |
^ cos |
— R sin $) cos Ш. |
|
|
|
. (4.41) |
\ — 2^Г |
j" ^ // |
— %cos |
ду — Я sin &) s'n ^ |
Пусть поле / (л, у) изотропно и его корреляционная функ ция определяется равенством
'Rti(A*,Av)=32e aS(A* + V , |
(4.42) |
где a2 — дисперсия поля f(x, у), р — радиус корреляции
поля f(x, у), а= ~[/~л12р. Частным случаем корреляци онной функции (4.42) для одномерного поля является
(3.33).
Подставляя (4.42) в (4.41) и переходя к безразмер ным величинам
146
получаем
|
|
^ |
= |
2V exp b |
( s |
^ + |
^ + |
s 2) } x |
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
| exp {2s (S x cos I + |
Sy sin E)} cos EdE |
|
||||||
|
•—я |
|
|
|
|
|
|
.. |
(4.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Fy - |
2^ e x p { - ( S 2x + ^ |
+ |
s2)}X |
|
|||||
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X | |
exp {2s (Sx cos E-j-Sy sinE)} sinEdE. |
|
|||||||
Чтобы выяснить одно |
интересное |
свойство |
модуля |
|||||||
ционной головки, |
образуем |
разность FxSy —~FyS x: |
|
|||||||
|
F,S„ — F,,Sy |
2°Г ехр { - ( S s2 + |
S2 + s’ ) X |
|
||||||
X |
Г exp (2s (S x cosE+ Sy sinE)} (Sy cos E— S xsinE)dE = |
|||||||||
|
%) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
s r eKp |
|
+ |
s h+ |
•*)) i |
j exp ^2s (s *cos ?+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— я |
|
|
|
-f- Sy sin E)} d [2s (S x cos E+ |
Sy sin E)j = 0, |
|
|||||||
следовательно, |
FX[SX= Fy[Sy. Обозначим это отношение |
|||||||||
через |
k, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx= |
kSx, Fy = |
kSv. |
(4.44) |
При совместном рассмотрении (4.43) и (4.44) получим следующее равенство:
k |
о2 |
ехр { — |
( S ^ + S £ + «•)} |
exp {2s (S* cos E |
|
Su |
|||
|
2д |
|
|
|
|
|
|
4- Sv sin E)} sin EdE. |
(4.45) |
. i** |
147 |
Займемся вычислением интеграла, вхадящего в (4.45).
Согласно |
[91] |
|
|
|
|
|
|
|
J exp {2s (S x cos 5 -f- Sy sin £)} sin |
= |
|
||
|
|
—it |
|
|
|
|
|
|
Y s \ |
- S2 + 2 J S . S ; ' - |
V S 'i - S i - |
2jS scS , |
|
|
J’ |
----------------- |
f i t |
t ----------------- |
|
x |
|
x |
/, (2s V S2 + S* ) = - * “ «/, (2«S), |
(4.46) |
|||
где |
S = |/ S 2 + |
S2 — полное отклонение, /, — цилиндриче |
||||
ская |
функция 1 |
рода (модифицированная функция |
Бесселя |
|||
I рода) |
|
|
|
|
|
|
Подставим (4.46) в (4.45) и найдем |
|
|
||||
|
|
|
k = — -S [e-^+ ^/S ]?/, (2eS). |
(4.47) |
Принимая во внимание выражение (4.44) для статиче ских характеристик Fx, Fy, приходим к выводу, что Fx, Fv пропорциональны соответственно отклонениям Sx и
Рис. 4.23.
S y, причем коэффициент пропорциональности k зависит только от величины полного отклонения S. Поскольку характеристики обоих каналов абсолютно идентичны, то достаточно рассмотреть статическую характеристику какого-нибудь одного канала.
148
Для |
определенности |
положим, что 5 W= 0, |
S X=S; то |
|
гда в соответствии с (4.44) и |
(4.47) |
|
||
|
F{S) = — зге_(Я’+в,)/ 1(2eS). |
(4.48) |
||
Статические характеристики |
модуляционной |
головки — |
||
F(S)/o2, |
рассчитанные |
для |
различных е по формуле |
(4.48), приведены на рис. 4.23.
При больших значениях аргумента модифицирован ная функция Бесселя /i(2eS), согласно [91], определяет ся так:
выражение статической |
характеристики |
приобретает |
вид: |
|
|
F(S)h* = |
e - {S- e)'l4]fsS. |
(4.49) |
Рассмотрение рис. 4.23 приводит к выводу, что с увели чением относительного радиуса развертки е рабочая часть статической характеристики смещается в область больших отклонений, причем величина вырабатываемого сигнала коррекции F н е з н а ч и т е л ь н о уменьшается с ростом е. В этом состоит преимущество использова ния модуляционной головки по сравнению с применени ем алгоритма усреднения сигналов блока памяти.
Схема с модуляционной головкой позволяет доволь но просто разрешить задачу ликвидации больших на чальных отклонений в двумерных корреляционно-экстре мальных системах по крайней мере при рассмотренном характере корреляционной функции. В момент включе ния системы нужно задать радиус развертки R заведо мо превосходящим возможные начальные отклонения До, а затем медленно уменьшать R. Вместе с уменьше нием R будут отрабатываться обе составляющие Ах и Ау полной ошибки А. Скорость изменения радиуса раз вертки R'x должна быть достаточно мала, чтобы не на рушалось условие квазистационарности. Поэтому долж но выполняться неравенство
|Д 'х | |
(4.50) |