книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы
.pdfздий. Операция интегрирования реализуется с помощью фокусирующей линзы, стоящей за эталонной картой. Интенсивность света, сфокусированного этой линзой, измеряется фотоумножителем.
При правильной ориентации системы относительно звездного поля все пучки света, прошедшие через отвер стия эталонной карты, образуют на фотокатоде фотоум ножителя одно световое пятно (главный максимум кор реляционной функции). В случае же отклонения объек та-носителя по крену или тангажу от заданного направ ления это световое пятно сдвигается и вытягивается в направлении сдвига. Таким образом формируется сиг нал ошибки, содержащий информацию как о величине, так н о направлении соответствующих отклонений объ екта.
Для того, чтобы система могла определять величину поворота объекта вокруг собственной оси (курсовой угол), на эталонной карте делаются две группы отвер стий, соответствующих выбранному участку звездного неба. Одна группа отверстий смещена относительно дру гой по направлению вращения вокруг оптической оси системы. Это приводит к возникновению двух максиму мов освещенности на корреляционной плоскости. Раз ность между ними характеризует как величину, так и направление рассогласования, обусловленного поворо том объекта-носителя вокруг собственной оси.
Вышеописанное устройство определяет угловые коор динаты объекта с точностью 30' при условии, что ось объекта предварительно грубо ориентирована на центр заданного созвездия с точностью примерно 10°.
Раздел 1
КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
ПЕРВОГО КЛАССА
Глава 2
ВЫВОД .УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО КЛАССА
2.1. О статистическом подходе в теории непрерывных корреляционно-экстремальных систем
Уравнения движения непрерывных КЭС определя ются как контуром управления, так и статистическими
характеристиками случайного поля, по которому рабо тает кэс.
Можно было бы вывести уравнения движения непре рывных КЭС, а также провести анализ и синтез таких систем, используя закон распределения, математическое ожидание и корреляционную функцию случайного поля и оставляя в стороне вопрос об их определении.
Однако, чтобы придать теоретическим результатам какое-то конкретное практическое содержание, надо по
яснить, что |
представляет собой |
само |
случайное поле. |
|
Возможны |
несколько трактовок |
этого |
вопроса '[63, 66, |
|
76, |
77]. |
|
|
|
В настоящем параграфе подробно рассматривается ситуация, с которой часто приходится сталкиваться в те ории корреляционно-экстремальных навигационных си
стем, когда исходное поле f |
(х*, у*) является детерми |
||
нированным, а траектории |
движения датчика |
поля |
|
2д*(0 — случайными; под |
векторной величиной |
2Д* ( 0 |
|
понимается совокупность |
(х* |
(t)\ (рис. 2.1). Обычно за |
дается конечное или счетное множество траекторий дви жения {гд,*(^)}, / = 1, 2 , ..., и вероятности pi событий
41
состоящих и том, что движение совершается по траекто рии 2Дг* (/). Любые два события //;, Hj при i ^ j пред полагаются независимыми. По условию нормировки
х > = >• ;=I
Как в этом случае перейти от детерминированного исходного поля / (х*, у*) к случайному полю? Оказыва ется, нетрудно перейти к эквивалентной статистической постановке вопроса. Наряду с исходной системой коор динат х*0 i f : введем системы координат хАг/;, связан ные с траекториями движения 2Дг*(/) следующим обра
зом: центры этих систем 0 ; поместим в начальные точки
траекторий |
оси х, совместим с начальным поло |
|
жением вектора |
скорости |
движения, оси г/г- направим |
перпендикулярно к осям х* |
так, чтобы движение от Xi |
к tji происходило по кратчайшему направлению против часовой стрелки, как показано на рис. 2 .1.
В качестве реализаций fi(x, у) случайного поля f{x, у) рассмотрим линейные преобразования исходного де терминированного поля f (х*, у*), получающиеся заме ной переменных
x* = x oi + xcos?i — ysincp*, y* = y0i +
- |- x s in ?,• + i/co s fi, |
(2.1) |
42
т. е. будем считать
fг (х, У) = 7 (Х0г-+ X COS ?t- — у sin <pt-, t/0I- +
+ X sin <Pi -f Уcos <p,-) |
(2.2) |
и припишем этой реализации вероятность pt рассматри ваемой траектории движения zni*{t).
В новой системе координат хОу все траектории начи наются в начале коордГшат (рис. 2 .2 ) и уравнения этих траекторий имеют вид:
Хд1(0 = |
[х*дг- (/) — х сг] cos Ь + \y*Ai (0 — уVi] sin ъ, } |
^ |
|
t/дг (/ )= —1х*д« (0 - хсг] sin b + \y*Ai (O'- У*\ C0S ft- I |
|
||
причем |
/-я траектория 2д, ( / ) = |
) обладает |
веро |
ятностью pi.
Если через hi обозначить индикатор события Я,, т. е. такую функцию, которая равна 1, если событие Hi про
изошло, и нулю в противном случае, то случайное поле !(х, у) связано с индикаторами /?г- и со своими реализа циями fi(x, у) следующим образом:
f (■*. У) = X hifi (х, у), |
(2.4) |
г=|
атраектория движения zn(t) определяется как
2Д(0 = S hiZAi (0 . |
(2-5) |
i=i |
|
43
Легко найти математическое ожидание mf (x,y) и кор
реляционную функцию #//(*!, ?2) случайного поля f ( x , y ):
П
Щ (•*. У) — М {/ (X, У)} = 2 Pifi (X, у) =
П |
|
— 2 Pi h x oi + X cos ft — у sin (pi, Уи + |
X sin ft -f- |
i=i |
|
+ у cos ft), |
(2 .6) |
Rf.i (z,, *a) = M {[f (г,) — m, (?,)]\f (ft) -
1
— % (**)]} = 2 Pifi (2.) /г (г*) — Щ (г,) mf (ft) =
г=1
n
—2 PiT(-^oz + -ft COS % — yt sin ft, i=l
Poi + f t s 'n f t |
+ |
yt COS f i ) J ( x oi + |
f t c o s f t |
— t/a sin f t , |
- f |
+ f t |
sin |
f t + yt c o s f t ) — |
rtii ( 2 ,) m j |
( f t ) , |
(2 .7 ) |
Здесь M —символ операции математического ожидания,
* - ( ; ) •
Будем считать, что исходное детерминированное поле
f(x*, у*) непрерывно в любой точке г*— [у*), тогда со |
||
гласно (2.6), (2.7) mf (z) и Rff(z, z) |
также непрерывны |
|
в любой точке z |
и в соответствии |
с критерием средне |
квадратической |
непрерывности (см. |
(61], стр. 238) слу |
чайная функция f(x, у) является среднеквадратически непрерывной в любой точке г. Подобное задание случай ного поля f(x, у) на основании априорных вероятностей Pi траекторий движения гДг* ( 0 позволяет получить ис
черпывающие статистические |
характеристики этого поля. |
|||||
Зафиксируем |
координаты |
z t, z g, . . . , z h |
и |
числа |
о„ |
|
а ,,..., и найдем функцию распределения F(at, а ,,..., |
ак), |
|||||
равную вероятности события |
|
|
2\, |
гя, .... Zfc |
||
|
|
|
|
|
||
if(zi) < аи f(z2) < 02, |
, |
f(zh) < a h). |
|
|
||
Выберем те реализации f. (х, у), / = |
1, 2 ,..., |
т, |
для |
ко- |
||
торых |
|
|
|
|
|
|
^ ( f t X |
a . J ^ f t X |
^ , ... , ^ ( 2ц )< о к, |
|
44
и пусть Я. ( / = |
1.......пг) — события, |
состоящие |
в том, |
|||||||
что происходит |
движение |
по |
траектории |
г*. |
и имеет |
|||||
место реализация /. (х , у). |
Поскольку |
события |
Я. |
не |
||||||
совместны, то событие |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
{/ (*,) < a „ f (?2) < a 2, . . . , f (?*) < |
ak} |
|
|
||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно |
/УЯ. и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
F («1. а2,... |
|
|
£ р ,-, |
|
|
|
|
|
|
|
'г., г,..... zk |
|
j_i |
* |
|
|
|
|
|
где р(. — вероятность траектории z*f (f). |
|
|
|
|
||||||
В силу предполагаемой |
непрерывности |
исходного |
де |
|||||||
терминированного поля f (х*, у*) |
функция |
F (а,, а2, ..., ак) |
||||||||
является непрерывной по координатам |
z,, |
”*■. ~г2.....~zk |
||||||||
z2, |
|
Так |
||||||||
как множество событий {Яг} |
состоит |
из |
конечного |
или |
||||||
счетного числа |
событий Яг-, |
то |
функция |
F (а„ а„,..., а*) |
||||||
имеет |
не более |
nk разрывов |
I |
рода |
как |
г„ г,......zk |
||||
функция аргу |
ментов а,, а, , ..., ак. Е(а,, а2, . . . , ah) является исчерпываю-
Т„ И,......~~zk
щей исходной статистической характеристикой. Иногда, как это будет показано ниже, достаточно знать мате матическое ожидание ntf(x, у) и взаимно-корреляцион ную функцию Rif(zi, 22), определяемые равенствами (2 .6 )
и (2.7).
Закон распределения, математическое ожидание и корреляционная функция поля, рассчитанные по форму лам (2 .6 ) — (2 .8 ), однозначно определяются исходным полем f (х*, у*), множеством траекторий гщ* (t) и рас пределением вероятностей {/?;} на этом множестве. Если множество траекторий движения меняется или на тех же траекториях задается новое распределение вероятно стей, то математическое ожидание, корреляционная функция и закон распределения случайного поля также меняются. В качестве частного случая избранная поста новка вопроса охватывает движение по одной-единст- венной траектории. При этом корреляционная функция поля тождественно равна нулю, а вся информация о по ле содержится в математическом ожидании т/(х, у).
45
Как задать траекторию движения датчика полягд(О? В соответствии с формулой (2.5) эта траектория являет ся случайной и может быть статистически определена через исходные вероятности р\ и траектории 2дг*(0- Од нако часто является обоснован ным предположение о д е т е р м и н и р о в а н н о с т и траек тории zn(t). Это справедливо, когда все исходные траектории движения z„i*(t) получаются одна из другой переносом на чала координат и поворотом координатных осей (рис. 2 .3 ).
В различных практических задачах 3'io могут быть параллельные линии (рис. 2.3,а) либо прямые различ ных направлений (рис. 2.3,6); иногда траектории движе ния имеют некоторый специальный вид (рис. 2.3,в). Если все исходные траектории 2Д;* ( 0 могут быть получены из какой-то одной траектории zao('t) путем переноса нача ла координат и поворота координатных осей, то все пре образованные траектории 2Д;(/) в новой системе коорди нат хОу совпадают с траекторией гд0(t). Поэтому
|
|
П |
|
|
П |
|
|
|
(0 = |
£ |
(0 = |
* до ( 0 ’ £ hi • |
|
||
|
|
i—1 |
n |
|
i—I |
|
|
Так как |
сумма индикаторов |
/гг- |
полной системы несов- |
||||
i=l |
|||||||
|
|
|
гя (/) = гдо (() |
и, следова |
|||
местных событий равна 1, то |
|||||||
тельно, |
траектория |
движения |
гд(() является |
детермини |
|||
рованной. |
|
|
|
|
|
46
В рассмотренном выше варианте от исходной поста новки задачи, когда случайной была траектория движе ния za*(t), а детерминированным — поле f (х*, у*), мы пришли к эквивалентной задаче, в которой траектория движения *(t) детерминированна, а поле f(x, у) —слу чайно. Этот случай более всего интересует нас в настоя щей работе и именно он рассматривается в дальнейшем. Тем не менее следует заметить, что излагаемый в после дующих главах подход может быть без особого труда и усложнений распространен и на вариант, когда траекто рия 2Д(t) предполагается случайной.
2.2. Уравнения движения непрерывных корреляционно-экстремальных систем первого класса (общий случай)
Из рассмотрения различных видов непрерывных (аналоговых) систем класса КЭС I*) следует, что общая схема двумерной непрерывной КЭС, приведенная на рис. 2.4, содержит датчик поля 1, блок памяти 2, устрой
ства перемножения 3, 4. Линейная часть системы харак теризуется передаточными функциями Wx(p), Wy(p) каналов х и у. Общим для всех непрерывных КЭС явля ется наличие коррелятора в контуре управления. На рис. 2.4 корреляторы представлены устройствами пере-
*) Поскольку далее в разд. I речь идет о корреляционно-экстре мальных системах класса КЭС I, для сокращения записи вместо по нятия «корреляционно-экстремальная система класса КЭС I» будет употребляться понятие «корреляционно-экстремальная система».
47
мпоженпя 3, 4\ передаточные функции фильтров корре ляторов входят в выражения Wx, Wv,
Линейная часть непрерывных КЭС описывается обыч ным способом. Чтобы получить замкнутые уравнения непрерывных КЭС, следует рассмотреть передающие свойства коррелятора как элемента непрерывных КЭС.
Свойства коррелятора как прибора, предназначенно го для приближенного вычисления корреляционной функ ции, достаточно хорошо исследованы
(см., например, [50, 55, 56]). Однако результаты, полученные в этих рабо тах, не могут быть использованы для описания коррелятора, являющегося частью системы экстремального регу лирования, главным образом потому,
что в корреляторе, входящем в КЭС, нарушается основное требование, предъявляемое к процедуре вычисления кор реляционных функций: постоянство сдвига между реали зациями. В силу динамики системы экстремального регу лирования перемножаемые и усредняемые в корреляторе величины непрерывно смещаются друг относительно дру га. Это приводит к возникновению специфической ошиб ки коррелятора, которая не рассматривалась в [55, 56]. Кроме того, в этих работах не рассмотрены спектраль ные свойства различных возмущений, присущих корре лятору, что необходимо для оценки влияния этих возму щений на контур экстремального регулирования. В ра ботах [52, 53], (57] была сделана попытка учесть сдвиг реализаций, однако полученные результаты носят сугу бо приближенный характер и не учитывают замкнутости контура управления.
В настоящей главе выводятся точные уравнения дви жения непрерывных КЭС, справедливые для различных схем поиска отклонения от экстремума, а также учиты вающие преобразования поля, которые имеют место в процессе изготовления карт и во время приема сигна ла датчиком поля. Эти уравнения справедливы для ста ционарных и нестационарных (в пространственном смыс ле) полей, при форсированных и квазистационарных режимах управления. В любой непрерывной КЭС осуще ствляется операция перемножения двух реализаций слу чайных полей gi(xд, Ун) и ц>г(хп, Уп), где хя, уя — коор динаты той точки, откуда в данный момент t снимается сигнал датчиком информации; х„, у„ — координаты бло
48
ка памяти (рис. 2.5). Случайные поля g(xR, уд) и <р(л:п, Уп) обычно представляют собой суммы некоторых ли нейных преобразований исходного поля f(x, у) и адди тивных помех. Координаты xA(t) и уд(/), определяемые траекторией движения объекта, на котором установлен датчик поля, предполагаются детерминированными, а ко ординаты xa(t), yn(t) являются случайными функциями времени. Для удобства дальнейшего изложения перей дем к отклонениям
Г\-(t) —Хд (/) |
Хп(/), Гу(/) —уд ('/) —Уп( 0 |
|
|||
н рассмотрим |
случайные функции |
времени |
rx (l), |
ry(t). |
|
В непрерывных КЭС |
случайные |
процессы |
rx (t), |
rv(t) |
|
статистически связаны с полями g, |
ф, причем гж, гу яв |
||||
ляются аргументами |
случайного |
поля ф[хд( / ) — rx(t), |
|||
yR(t) — гу (03> т- е- ф является с л у ч а й н ы м |
п о л е м от |
||||
с л у ч а й н о г о |
а р г у м е н т а —в |
этом состоит своеоб |
разие задачи определения передающих свойств корреля тора как элемента замкнутой непрерывной КЭС.
Наряду с |
обозначением |
(эсд, уд), (xru, уа) |
будем |
упот |
||
реблять |
для |
этих точек также |
обозначения |
?д= |
, |
|
|
|
считать, |
что t ^ Z , ЁГД, z a |
где Z = |
||
= ( — оо, |
о о ), |
a Z — некоторое |
ограниченное двумерное |
компактное метрическое пространство. Практически под Z понимается ограниченная область на плоскости х, у;
расстояние между двумя точками |
zi, |
гг определяется |
|
обычным способом: |
|
|
|
z, — г, \ ' = У (-И — |
+ |
(y, ~ |
y2)2. |
В частности, при рассмотрении вопросов навигации под х и у можно понимать соответственно долготу и ши роту места. Тогда замкнутому пространству Z будут со
ответствовать следующие |
пределы изменения |
х |
и у: |
0^л:<360о,—90°^: г/sgC90°. |
Будем предполагать, |
что |
об |
ласти значений полей g, ф совпадают с действительной числовой осью и что эти поля (с вероятностью 1) явля ются ограниченными в области Z, т. е. существуют кон станты Mg, Мф такие, что с вероятностью 1 g(zR)< M g,
<p(zu) < Мфдля любых 2Д, zneZ .
Будем считать также, что поле ф является средчеквадратически непрерывным в любой точке zn*^Z, т. е. для любого zn^ Z п любого е> 0 существует б> 0 такое,
4— 527 |
49 |