книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

режима управления. Шумы датчика информации про­ являются так же, как и ошибки картографирования: при большой интенсивности они могут полностью сорвать процесс коррекции, а небольшие уровни шумов не опас­ ны.

Определение критических соотношений сигнал/шум, допустимых ошибок грубой измерительной системы бКт, bVy, оптимальной длины реализации L = NAl, а так­ же влияния свойств непрерывной части контура управ­ ления на точность совмещения реализаций — вот основ­ ные вопросы, которые необходимо выяснить теоретически и при моделировании на ЦВМ.

Остановимся еще на одном способе. Принципиально возможно построить описанную выше систему, не ис­ пользуя грубой измерительной системы. В этом случае перебор вариантов необходимо производить по всему предполагаемому району движения и вид траекторий движения следует считать произвольным (так как нет информации о составляющих скорости Vx, Vy), что приводит к колоссальному возрастанию числа просма­ триваемых вариантов. Прикидочные расчеты показыва­ ют, что возможности существующих и разрабатываемых ЦВМ по быстродействию не обеспечат такого перебора за отводимое для этого время. Поэтому практически в настоящее время возможен лишь вариант, использую­ щий какие-либо измерители (пусть достаточно грубые) составляющих скорости движения Vx, Vv.

Перейдем к математической постановке вопроса. Для простоты рассмотрим одномерную задачу и предполо­ жим, что датчик движется с постоянной скоростью V вдоль оси х и эта скорость измеряется без ошибок (6Нс = 0). Интересующая нас задача совмещения реали­ заций может быть сформулирована как задача теории многоальтернативных решений. Определим все те мате­ матические объекты, которые фигурируют в теории ста­ тистических решений *).

Пусть поле f(x) задано на бесконечном интервале (—оо, оо). Рассмотрим лишь один такт формирования сигнала коррекции. За начало отсчета реализаций при-

Для понимания этого необходимо предварительное знакомство с теорией статистических решений, для чего достаточно прочитать, например, [79, 80] или [81, 82]. В настоящей главе мы будем придер­ живаться обозначений, сложившихся в литературе по теории стати­ стических решений.

180

Рис. 6.2.

мем координату грубой измерительной системы ха и учтем, что ха измеряется в ЦВМ дискретно, с интерва­ лом дискретности А1.

Пространетво сигналов 12 = {S*} состоит из отрезков

функции f(x) длины NAI и содержит (2т+\) сигналов. Сигнал S0 оканчивается в точке хп (рис. 6.2). Любой сигнал Si содержит N точек, т. е. может быть представ­ лен М-мерным вектором-столбцом

s A f [*„ + (2-1) Д/J

S»

^ дг/ уЦп + О—Д+1)

где Stf — /-я проекция вектора S*. причем первой проек­

цией считается проекция, стоящая в первой строке. При избранной нами системе отсчета проекции сиг­

181

Здесь 8f[xp\, 6f[xR—A/], . . б/[хд— (N—1) А/] — ошибки измерения, вносимые датчиком информации, имевшие место соответственно в точках хя, хл—А/, ..., хл —

— (N—1) А/.

Пространство решений G — {Dj] совпадает (в случае

одномерного варианта) с пространством сигналов. Задача многоальтернативного выбора сводится к то­

му, чтобы, используя сравнение входа Z со всеми сигна­

Si, выбрать оптимальную гипотезу D$. Так как про­

странства сигналов {Sz} и решений {Z?j} совпадают, то в результате принятия решения указывается тот сигнал

Закон распределения ошибок г грубой измеритель­ ной системы обычно известен; он определяется плотно­ стью вероятности ошибки р(г). Априорная вероятность

Так как априорные вероятности сигналов известны, то целесообразно производить байесово решение, т. е. вы­ бирать оптимальную решающую функцию F° {DfZ) из условия минимизации среднего (байесова) риска R(F ), определяемого соотношением

г t = —m j = —m

182

го входа Z должно обеспечить минимум подынтеграль­ ной функции, тогда получится минимум и всего инте­ грала.

и подынтегральная функция определяется следующим об­ разом:

Отсюда вытекает правило построения оптимального ре­ шения:

— по принятому входу Z определяются все числа Aj и выбирается такая гипотеза D q, для которой Aq ми­ нимально. Ограничимся рассмотрением простой функ­ ции потерь

(О, 1= /,

Р1

для которой Aj = Е Ргр (Z/iSj)—PjP (ZfSj) и минимум t=—m

Aj достигается при максимуме pjP(ZfSj).

Известно [79], что для нормального шума б/, а мы его таким предполагаем, функция правдоподобия

183

Остановимся лишь на случае, когда шумы датчика информации 6f являются высокочастотным случайным процессом и время корреляции этого процесса меньше интервала AI/V, за который движущийся объект прохо­ дит расстояние А/. При этом корреляция между сосед­

ними замерами датчика отсутствует, матрицы Kz и К ~ 1

являются диагональными и

\\Z ~ 5jll= V (*. - s,Y + ... + (zN - s j .

Величина PjP(ZfSj) совпадает с апостериорной вероят­ ностью P ac(S j/Z ) сигнала Sj после того, как зафикси­ рован вход Z . На основании предыдущих выкладок

2,1

(6.9)

где [(Z S j) — скалярное произведение векторов Z и Sj.

Теперь становится очевидным, что по оптимальному решающему правилу выбирается та гипотеза Dq, для которой апостериорная вероятность Pac(Sq/Z) оказыва­

ется наибольшей или, что то же самое, для которой ока­ зывается наибольшим число

о распределении априорных вероятностей р, и о харак­ теристиках поля j(x).

ления по ней дисперсии и коэффициентов взаимной кор­

184

реляции векторов Z и Sj. Следовательно, для равно­

вероятных гипотез Sj, для простой функции потерь №ц, при нормально распределенной помехе б/, носящей ха­ рактер белого шума, и в случае стационарного поля f(x)

помеха б/ не является нормальной и т. д., то оптималь­ ными являются более сложные алгоритмы работы.

Итак, оптимальное (Байесово) решающее правило состоит в следующем: по принятому входу Z для всех гипотез-Oj вычисляются величины h j , j = —т, ..., т и выбирается такое решение D q , для которого число hq оказывается наибольшим. Очевидно, процедура приня­ тия оптимального решения достаточно проста (она сво­ дится к перебору возможных вариантов внутри просма­ триваемого квадрата и расчету чисел hj, соответствую­ щих этим вариантам, см. рис. 6.1).

6.2. Оценка точности совмещения реализаций в цифровых КЭС, реализующих алгоритмы теории статистических решений

Будем оценивать точность совмещения реализаций величиной среднего квадрата з2 ошибки -ц = х —х*\ зна­

чение з2^ может быть получено из (6.4), если функцию потерь задать в виде Wtj — {i—/)2ДР:

185

Dj. Вероятности Рц могут быть рассчитаны путем рас­

Здесь P(H/Si) = p{h_m, ..., hmfSi) — условная совмест'

ная плотность распределения величин hj, j = —т, . .., т при условии, что на входе системы имеется сигнал S*.

Если шумы датчика бf, а следовательно, и вход Z распределены по нормальному закону, то случайные ве­ личины hj также распределены по нормальному закону и P(H/Si) определяется известным равенством:

о

рица, транспонированная по отношению к Я .

Можно показать, что элементы корреляционной ма­ трицы для предполагаемого нами варианта, когда шум датчика является белым шумом, определяются следую­

186

Рис. 6.3.

В рассматриваемой нами за­ даче в случае определенного

вида поля f(x) условия (6.15) также могут выполняться. Подтвердим это на примере двух типов полей.

Мелкоструктурное поле f(x). Такое поле имеет ра­ диус корреляции, не превосходящий шаг дискретности Л/. Если длительность интервала наблюдения L= NAl выбрана достаточно большой, то скалярные произведе­ ния (SjSi) оказываются пропорциональными значениям

корреляционной функции поля *>

( S i S j ) s s R f f [ ( i — /) Д/]

и для мелкоструктурных полей

личенной в N раз дисперсией а2 поля f(x); условие равномощности сигналов означает постоянство дисперсии

поля.

Поле состоит из отдельного ориентира. В этом вари­ анте (рис. 6.3)

(6.17)

Предположим, что длина реализации NAI настолько велика, что ориентир все время находится в «поле зре­ ния» датчика, тогда

(6.18)

*) Предполагается, что поле f(x) — центрированное, иначе (St Sj) пропорциональны среднему квадрату поля f(x).

187

и в формуле (6.15) следует положить £2= С 2. Продол­ жим рассмотрение точности для ортогональных и рав­

В равенствах (6.21), (6.22) Ф(г) есть функция интеграла вероятности

Z

— 00

188

Вычисление вероятности Рг-3- в случае произвольного

закона распределения р(г) является сложной процедурой. Предположим, что распределение р(г) равномерное, тогда

Pi = const = 11(2т + 1) и

Интересно'[отметить, что без всякого {'управления при

равной вероятности реализаций средний квадрат ошибки грубой измерительной системы

(6.25)

поэтому выигрыш в точности совмещения реализаций ЦВМ, получаемый за счет перебора вариантов, оцени­ вается формулой

189