книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

го наблюдения Q= L'v= ЛШ. Эти зависимости показаны на рис. 6.14, они определены в предположении, что т = =20 (величина доверительного интервала составляет

41А/).

Анализ зависимостей, приведенных на рис. 6.14, при­ водит к выводу, что в простейшей цифровой КЭС даже

Рис. 6.14.

200

учитывающим специфику этого класса бинарных карт. Этот метод можно использовать как в цифровой КЭС, так и во многих других применениях. Реализация би­ нарных карт осуществляется различными техническими способами, в частности могут применяться схемы из функциональных элементов или программы ЦВМ. В обо­ их случаях кодирование бинарных карт будет одинако­ вым, различными окажутся лишь вспомогательные опе­ раторы декодирования. Мы рассмотрим подробно слу­ чай реализации бинарных карт схемами из функциональ­ ных элементов. Однако, в силу сделанного выше заме­ чания, полученные результаты могут быть использованы и при хранении информации о бинарных картах в памя­ ти ЦВМ.

Введем на плоскости прямоугольную систему коорди­ нат £0г] (рис. 7.1) и будем рассматривать точки, лежа­ щие в первом квадранте, которым соответствуют поло­ жительные значения координат g и гр

Назовем картой функцию /(g, т]) точек некоторого прямоугольника на плоскости |, тр Если ввести шаг ди­ скретности Д/ по координатам |, тр т. е. плоскость £0т]

записи чисел g, г) в порядке увеличения старшинства разрядов, причем шаг дискретности ДI соответствует единице наименьшего разряда. При этом карта записы­ вается в следующем виде:

fit, Л) = /(М , х2, . •.,

М = Х2 = Ъ , . ■., Хр = 1р,

*р+1—Ль Хр+ 2 = Л2, • • •, Х р+д = x\q; p + q= n.

Назовем бинарной картой F (хi, ..., хп) двухзначную функцию дискретизованных координат точек плоскости, принимающую значения 0 или 1.

202

Из введенных определений следует, что к полю би­ нарной карты относятся лишь точки прямоугольника

собой специальный класс булевых функций. При жела­ нии любая булева функция может быть представлена как некоторая бинарная карта. Если воспользоваться графическим представлением и те клетки плоскости, ко­

клетки окрасить в белый цвет, то бинарным картам бу­ дут соответствовать черно-белые карты дискретизованных координат точек плоскости. Множество клеток бинарной карты обозначим К.

Ниже рассматриваются методы синтеза схем из функ­ циональных элементов, реализующих бинарные карты, которые обладают некоторыми специальными свойства­ ми. К рассмотрению этого вопроса сводятся многие за­ дачи, связанные с машинной записью и машинной обра­ боткой информации. Достаточно указать задачи созда­ ния читающих автоматов, задачи разведки и дешифри­ рования снимков, задачи навигации по картам местности

и др.

Черную клетку бинарной карты, соприкасающуюся хотя бы одной своей стороной с белой, назовем черной граничной клеткой-, аналогично белую клетку бинарной карты, соприкасающуюся хотя бы одной своей гранью с черной, назовем белой граничной клеткой. Множество белых и черных граничных клеток бинарной карты на­ зовем границей Г. Все клетки бинарной карты можно перенумеровать, если номером клетки считать число

+■■• +ёр2р- ‘+

+щ2р + \\22р+'+ . . . + r i 4 2 " - 1 .

Клетку карты, расположенную в /-й строке и /-м столб­ це, будем обозначать (t, /). Номера строки г и столбца / легко выражаются через переменные |ь . • 1р, % . •% •'

следовательно, самой нижней строке и самому левому столбцу присваивается нулевой номер.

203

Будем рассматривать ломаные линии, проходящие по сторонам клеток бинарной карты, и отрезки, входящие в состав этих ломаных, причем нас будут интересовать только такие ломаные линии и отрезки, начала и концы которых совпадают с вершинами клеток бинарной кар­ ты. Длиной отрезка назовем число сторон клеток бинар­ ной карты, входящих в состав этого отрезка. Длиной S ломаной линии назовем сумму длин отрезков, образую­ щих эту ломаную. Если ломаная является разомкнутой кривой, то любую из ее крайних точек назовем началом, а другую крайнюю точку — концом ломаной; если же ломаная является замкнутой кривой, то любую ее точку, совпадающую с вершиной какой-либо клетки, назовем одновременно началом и концом ломаной. Начало и конец ломаной будем задавать номерами (или координа­ тами) тех клеток, с нижними левыми вершинами кото­ рых совпадают начало и конец. На ломаной можно задать направление движения от начала к концу так, чтобы при этом проходилась вся ломаная. Введение на­ правления на ломаной позволяет перенумеровать отрез­ ки, входящие в нее. Назовем р-окрестностью горизон­ тального отрезка длины т, образованного нижними гра­ нями клеток г-ой строки, принадлежащих столбцам с но­

Аналогично р-окрестностью вертикального отрезка дли­ ны m, образованного левыми гранями клеток /-го столб­ ца, принадлежащих строкам с номерами i, г+1, ..., г+ + т—1, назовем следующее множество из 2р(2р + т ) клеток бинарной карты:

204

(i—p, j—p), (/— / 7 + 1 , j—p), ...,

. . (i + m + p—2, j—p), (i + m + p—1, j—p),

(i—P, j—P+ 1), (/—/>+1, j—P+ !),■■•.

Под р-окрестностью ломаной линии будем понимать объ­ единение р-окрестностей горизонтальных и вертикальных отрезков, образующих эту ломаную. Назовем /7-окрест­ ность ломаной линии ломаной полосой П шириной 2р, а саму ломаную линию в этом случае будем называть

средней линией L ломаной полосы П. Ломаной покры­ вающей полосой Р назовем множество клеток ломаной полосы П, принадлежащих бинарной карте К, т. е.

Форму бинарной карты зададим целочисленными пара­ метрами X и ц, полагая

p — Xt, q—ut, n=(X + p)t.

При исследовании асимптотических зависимостей счи­ таем, что параметры Я и ц остаются постоянными, a t принимает положительные целочисленные значения

специальным свойством: к классу Fn относятся все би­ нарные карты от n = 2 t аргументов, граница которых мо­ жет быть покрыта одной ломаной покрывающей полосой Р шириной 2р с длиной S средней линии L, равной 5 =

205

Имеет смысл рассматривать лишь значения

т. к. далее будет показано, что использование предла­ гаемого метода дает выигрыш по сравнению с обычным подходом лишь в случае а<1/2р; поскольку по смыслу то можно считать а <1/2. Из физического смысла

величин S и v вытекает неравенство

так как длина средней линии S = a2n всегда не меньше, чем число ее изломов v = p2n.

Отмеченные ограничения (7.3) (7.4) будут исполь­ зоваться ниже при оценке мощности класса бинарных карт. Найти точное количество N(Fn) бинарных карт, содержащихся в классе Fn, трудно. Поэтому будут опре­ делены достаточно плотные верхняя и нижняя границы для N(F„).

Лемма 7.1. Ломаная покрывающая полоса шириной 2р и с длиной средней линии L, равной S, содержит не

полосе шириной 2р, образованной р-окрестностью сред­ ней линии L длиной S, состоящей из v отрезков. Посмо­ трим, насколько увеличится это число, если ломаная полоса возрастает за счет добавления к ломаной L еще одного отрезка AL длиной т, т. е. найдем зависимость

М?+Г от Mys , р и ш .

Для определенности считаем, что ломаная L закан­ чивается идущим слева направо горизонтальным отрез­ ком в клетке (i, j) и к нему добавляется вертикальный отрезок длины т, идущий вверх от клетки (i, j).

В силу определения ломаной в нее во всяком случае входят клетки

{i + P— 1, / — Р— 1) , (i + p— 1, /—Р), ...,

(i + P— 1, i + P—2), (i + P— 1, j + p— 1),

(i + p—2, j—p— 1), (i + p—2, j—p), ...,

.. ., (i + p—2, i + p—2), (i + p—2, j + p— 1),

206

р-окрестность добавляемого отрезка средней линии Л/. содержит 2р(р + т) клеток:

Пусть ломаная линия L длиной S имеет v изломов, т. е. содержит v—|—1 отрезков и пусть длины отрезков равны т ,,

та, ...,m >+1 (S=m1-{-m2-\-... + m ,); (Тогда в соответст-

207

вии с неравенством (7.5)

+ 2 /? т 3,

Ж”.1+та+тз< М ^ +та + 2/7т3)

с числом изломов v может быть нанесено на квадратной бинарной карте размером bxb.

Любой такой средней линии можно поставить в соот­ ветствие клетку, из которой она исходит, а также два вектора: вектор формы ломаной линии e = (s0, е„ ..., е<+1) и

вектор длин отрезков ломаной л = (х,, х2, ..., xv+1). Век­

тор формы ломаной линии записывается следующим об­ разом: величина е о = 1 , если первый отрезок ломаной является горизонтальным, и е о = 0 , если ломаная начи­ нается с вертикального отрезка; ei— 1 , если первый от­ резок идет в положительном направлении оси х или у и 81= 0 в противоположном случае; величина £2=1, если в точке первого излома ломаная поворачивается против

чины Xi являются положительными целыми числами, не

208