книги из ГПНТБ / Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике

Изменяя обозначение f и вводя наборы А, последнее выражение можно записать в виде

Р (RP) fP (Ар0) = Р (Rq) fq (Aqо).

Если принять критерий Неймана—Пирсона, то пороговые зна­ чения определяются следующим образом. Вероятность ошибки одной гипотезы берется максимальной, а вероятность ошибки второй гипотезы минимизируется, и это дает одно пороговое значение а01. Другое пороговое значение а 02 получается, когда, наоборот, задается максимально допустимое значение вероятности ошибки второй гипо­

тезы, а вероятность первой миними­ зируется.

Пороги а02 и а01 могут быть полу­ чены из интегралов

должать измерения, так как гипотезы не могут быть приняты. Здесь, как и раньше, мы взяли один параметр а, т. е. один при­

знак, только из соображений простоты. В действительности пред­ полагается наличие набора признаков. Отношения правдоподобия пишутся для набора признаков, соответственно и критерий Неймана— Пирсона становится многомерным.

Можно ограничиться рассмотрением трех критериев: 1) критерия минимизации вероятности суммарной ошибки (критерий Котельни­ кова); 2) критерия минимизации вероятности ошибки альтернатив­ ного решения (критерий Неймана—Пирсона); 3) критерия миними­ зации среднего риска принятия гипотезы [21 ].

§ 3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ОШИБОК ИЗМЕРЕНИЙ РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ НА БОРТУ СУДНА

Из классической теории погрешностей известны методы вероят­ ностной оценки ошибок [33]. В случаях, рассматриваемых в данной главе, измерения физических величин дают результаты, справедли­ вые лишь с определенной вероятностью. Тем более оценки точности измерений могут быть получены только с некоторой вероятностью.

70

В классических измерениях за наиболее вероятное значение физи­ ческой величины принимается среднеарифметическое результатов измерений, а в качестве закона распределения ошибок обычно принимается нормальный закон, описываемый известной формулой Гаусса:

<л*>2

f(Ax)

оп у Хл

где Ах — погрешность измерения величины х, о2п — дисперсия ряда измерений.

Дисперсия ряда измерений есть квадрат среднеквадратичной ошибки, в качестве которой принимается предел величины

Применение формул Гаусса, обоснованное предельной теоремой Ляпунова, обусловлено тем, что ошибки измерений представляют собой непрерывную совокупность и что частота появления больших ошибок падает тем сильнее, чем больше ошибка: большие ошибки считаются маловероятными. Кроме того, считается, что различные знаки ошибок одинаковой величины встречаются одинаково часто.

Нормальный закон распределения не справедлив при системати­ ческих ошибках, а также в том случае, когда некоторые ошибки

или вероятность того, что погрешность измерения величины х не пре­ восходит по абсолютной величине Ах. Как известно, одного указания погрешности недостаточно: требуется указание надежности этой оценки. Если доверительная вероятность близка к единице, оценка ошибки достаточно надежна. Доверительная вероятность есть вероят­ ность того, что

х — Ах <С.х <С,х Ах.

71

Теория вероятностей позволяет составить таблицу доверитель­ ных вероятностей, вычисляемых по формуле

найти в любом руководстве по оценкам ошибок измерений [33]. Можно записать доверительную вероятность как

а = Р (х — Ах < х < х + Ах).

Интервал значений от х — Дх до х + Ах называется доверительным интервалом. Очевидно, доверительная вероятность будет расти с увеличением доверительного интервала.

При небольшом количестве измерений значения доверительного интервала получаются неточными, поскольку применение формулы Гаусса законно только при достаточно большом числе измерений. Более точные значения доверительного интервала при небольшом количестве измерений могут быть найдены с помощью коэффициентов Стьюдента, таблицы которых приводятся во многих руководствах. Обозначим коэффициенты Стьюдента через tan, где а указывает доверительную вероятность, а п — число измерений. В этом случае

ных данных. Таким образом, для нахождения доверительного интер­ вала при небольшом значении п находят по заданной доверительной вероятности а и числу измерений п коэффициент Стьюдента и пог­ решность Ах. Коэффициент Стьюдента tan определяет доверитель­ ный интервал Ах при малом числе измерений.

Заметим, что обычно бывает возможным вычислять доверитель­ ные интервалы в долях <т„. Для е = 1, т. е. для погрешности Ах = а„, доверительная вероятность а равна 0,68. Для е = 2, т. е. Ах -■= 2а„, доверительная вероятность а=0,95, что вполне удовлетворительно для большинства практических измерений. Для е = 3, т. е. Ах — = 3<т„, доверительная вероятность а = 0,997 и близка к достовер­ ности.

В случае измерения не отдельной физической величины, а струк­ туры, т. е. набора значений физической величины, оценка погреш­ ности усложняется. Здесь на первый план выходит точность пере­ дачи образа в целом, а не точность в определении физических величин.

72

Следует напомнить прежде всего об ошибках косвенных изме­ рений. Если функция / (х1} х 2, . . ., хп) есть функция переменных физических величин х 1г х2, . . ., хп, то ошибку функции можно представить как

Для определения среднеарифметического значения можно для каждого из значений измеренных переменных вычислить соответ­ ствующее значение функции а затем найти среднеарифметическое f по формуле

П

£1—1

В случае зависимости между переменными эти соотношения ста­ новятся неверными: подкоренное выражение в формуле (3.45) может быть дополнено перекрестными членами вида

’ ~dxk ^ Xi

где R ik — коэффициенты корреляции, значения которых заклю­ чаются в пределах от — 1 до +1.

Доверительные интервалы для функции от переменных могут быть найдены аналогично тому, как определяются доверительные интервалы для оценки ошибок измерения переменных; таким же образом находятся и коэффициенты надежности.

Рассмотрим некоторую измеряемую структуру, обладающую определенными признаками, которые можно принимать за пере­ менные. Пусть число таких переменных равно п: это могут быть амплитуда напряженности магнитного поля, частота, фаза. Имеется распределение этих величин в пространстве, что характеризует, например, картину радиоизлучений на борту судна. Распределение может быть описано функцией указанных параметров и координат. Для описания распределения весьма удобно использовать изобра­ жение в виде матрицы, вообще говоря трехмерной. В дальнейшем из соображений простоты ограничимся двухмерной матрицей. Задача заключается в том, чтобы обобщить понятие доверительной вероят­ ности и доверительного интервала на данный случай.

73

Матрица написана как квадратная, но это не нарушает общности, поскольку в случае необходимости можно полагать любые строки или столбцы пустыми, а входящие в них элементы — равными нулю. Матричные элементы aik изображают значения признаков. Каждый элемент может представлять целый набор признаков (ампли­ туд, фаз, частот). Он, вообще говоря, зависит от времени, с течением которого матрица А может видоизменяться. Фиксируя отдельные реализации в последовательные моменты времени, функцию A (t)

по времени; для каждого дискретного случая матрица полагается неизменной. За время квантования At обычно принимается постоян­ ный промежуток, достаточно малый для того, чтобы можно было считать матрицу \aik\ не изменяющейся в течение этого промежутка.

Совокупность значений элементов а[к дает картину, которая с течением времени может изменяться. Смена картин происходит аналогично смене кадров на киноленте.

Элементы aik, полученные в результате измерения электромагнит­ ного поля, испытывают случайные колебания. Величины, сгруппиро­ ванные в каждом элементе, следует рассматривать, как некоторые средние, например среднеарифметические, данные измерений; это могут быть и результаты одиночных измерений. Обозначим при­ знаки или параметры, приписанные элементу матрицы aik, через xikh где индекс I служит для нумерации переменной (например,

Погрешность измерений величины хш обозначим Ахш . В тео­ рии погрешностей вводятся среднеквадратичные и среднеарифмети­ ческие ошибки SQ и rq, доверительные вероятности и доверительные интервалы, иными словами, применяются те оценки ошибок изме­ рений, о которых говорилось выше в связи с измерениями отдельных физических величин. Однако при смене кадра, вообще говоря, изменяются и эти данные, потому что измерения повторяются вновь.

Матрицу ||агА|| можно рассматривать как функцию величин, входящих в матричные элементы. Необходимо уточнить, что пони­ мать под погрешностью в определении матрицы \aik\.

^Дадим такое определение: ошибкой функции, выражаемой матри­ цей, следует считать матрицу ошибок. Из соображений краткости изложения ряд величин, входящих в матричные элементы а[к,

74

обозначим одним символом xlk, а погрешность измерения этих величин — через Axik. Тогда матрица погрешности будет иметь вид

в матричные элементы, соответствует доверительный интервал всей матрицы. Такой вывод следует из правил сложения и вычитания матриц: матрицы складываются и вычитаются путем сложения или вычитания соответствующих матричных элементов. Поэтому построению доверительного интервала

xik — < x'ik < xik +- Axik

соответствует матричное выражение А — АЛ < Л ' < Л + АЛ. Доверительная вероятность для матричного элемента равна

а = Р (Л — АЛ < Л' < Л + АЛ).

Введем так называемый оператор ошибок. В гл. 1 рассматрива­ лись операторы, вызывающие переходы из одного состояния в другое. Аналогичным путем могут быть введены и операторы ошибок, что целесообразно при наличии систематических погрешностей, вызван­ ных помехами.

Рассмотрим матричный элемент измеренной структуры aik. Его изменения могут иметь и закономерный, детерминистский характер, и характер случайный, причем последний может быть обусловлен как случайными ошибками измерения, так и систематическими ошибками и действием внешних помех. Задачей измерения является установление закономерности изменения параметров или установле­ ние помех.

В изложенной выше схеме построения погрешностей не нашло отражения определение структуры как целого. Сложная реализа­ ция, получаемая в итоге измерений по точкам, должна давать неко­ торую картину, и, для того чтобы сделать определенный вывод, бывает необходимо сопоставить ее с типичной картиной, или образом. Совершенно неравноценны ошибки в измерениях величин, входя­ щих в те или другие матричные элементы, поскольку для построения образа одни элементы могут оказаться весьма существенными, а дру­ гие нет. Даже малые вариации существенных элементов могут ради­ кально изменить картину, в то время как изменение других эле­

75

ментов может не оказать на нее влияния. Возникает вопрос: каким образом оценивать ошибки в определении структуры как целого? Путь сегментации позволяет в известной мере решить эту задачу.

Реализации, выражаемые рядом А 1, А г, . . Ah . . As и даю­ щие дискретное представление о функции А (t), заменяют более упрощенными, но в какой-то степени типичными структурами. Последние могут быть построены, например, так: в матрице А остав­ ляют только такие элементы, которые существенны для опознания картины как образа; элементы малосущественные заменяют пустыми. Такое преобразование дает сегмент.

Операция сегментации может быть записана следующим образом:

А + I = S,

где A = ||aiA||, S — матрица, выражающая сегмент; £ — оператор, изображаемый матрицей

причем Zlk — 0 при условии, что соответствующий элемент матрицы А определяет сегмент, и Zik = —» в противном случае. При опреде­ лении суммы А + £ по закону сложения матриц к матричному элементу aik надо приставить стрелку справа, что в обозначениях теории алгоритмов дает аннигиляцию, уничтожение элемента. Вто­ рой случай — добавление нуля — не изменяет матричного эле­ мента aik, который, таким образом, при суммировании остается неизменным. Оператор сегментации £ должен сохранять только существенные элементы. Под действием оператора строится матрица S как сумма матриц А + £. В этой матрице сохраняются только некоторые из матричных элементов aik, остальные аннулируются.

Сегменты 5,- входят в ограниченный алфавит 5 ,, S 2. . . . . Sn. Нахождение погрешностей в измерениях сегментов относится уже

ктеории распознавания структур, рассмотренной в § 3.3. Необходимо остановится на следующих вопросах:

Каково соотношение между доверительной вероятностью и распо­ знаваемостью сегмента?

Как влияют ошибки в измерении существенных элементов, состав­ ляющих матрицу сегмента, на распознаваемость?

Как оценить погрешности при сегментации?

Развернутой теории, которая позволила бы ответить на эти вопросы, еще не разработано, однако некоторые замечания могут быть высказаны.

Влияние ошибок в измерении существенных элементов, составляю­ щих матрицу сегментов, на распознаваемость сегментов не так

76

велико, как может показаться вначале. Дело в том, что существенные для построения образа элементы дублируются соседними элементами. Сегмент не должен строиться таким образом, чтобы его существен­ ная черта определялась значениями только какого-либо элемента. По сути дела, имеются не отдельные типичные элементы, а полосы элементов, куда входят многие типичные элементы. Соответственно этому и оператор сегментации уничтожает или оставляет целые полосы, вследствие чего можно группировать матричные элементы, подвергаемые операции сегментации. При этом роль погрешности в определении того или иного матричного элемента становится менее критичной и можно находить среднеарифметические или средне­ квадратичные ошибки величин путем усреднения по всем элементам области.

Элементы матрицы, выражающей какую-либо реализацию, полу­ ченную в процессе измерения, могут испытывать случайные откло­ нения. Предположим, что объект измерения — некоторая структура электромагнитного поля — остается неизменным. Повторные изме­ рения могут дать отличные от первоначальных значения матричных элементов; получаются колебания, которые имеют случайный харак­ тер. Ввиду множественности и независимости причин, вызывающих такие колебания, можно предполагать, что в большинстве случаев отклонения значений от наиболее вероятного значения будут под­ чинены нормальному закону распределения. Это справедливо для каждого из матричных элементов.

К сегменту предъявляется требование, чтобы флюктуации не могли изменить его вид, т. е. должна быть обеспечена достаточная надежность в установлении сегмента или достаточная величина доверительного интервала по отношению к каждому сочетанию, характеризующему сегмент. Указанное требование определяет изве­ стную «грубость» сегмента, степень которой должна быть достаточна для того, чтобы (по крайней мере в подавляющем числе случаев) разброс значений матричных элементов для одного и того же сигнала не мог изменять вид сегмента. Такая «грубость» следует и из того, что число сегментов в алфавите должно быть небольшим.

Рассмотрим теперь другой вопрос, связанный с корреляцией сегментов. Необходимо иметь в виду, что сегмент вовсе не означает какую-то фиксированную комбинацию даже объединенных групп матричных элементов. При повторении сегмента одного и того же типа указанные группы будут, вообще говоря, изменяться. Об этой изменчивости упоминалось выше в связи с рассмотрением вопросов конструктивного спектрального анализа. Так, например, один и тот же сегмент М получается при самых различных положениях спектраль­ ных максимумов. Необходимо только, чтобы таких максимумов было два, и этого достаточно для определения сегмента. Для матрич­ ного изображения сегмента справедливо то же самое: фигуры на плоскости, выражающие один и тот же сегмент, могут быть различ­ ными, но при всех возможных их вариациях черта, характеризую­ щая данный сегмент, должна сохраняться. В чем выражается эта черта? Нетрудно видеть, что она описывается функцией автокор­

77

реляции, вид которой определяется некоторыми топологическими

признаками.

Представим себе, что мы получили две матрицы, различающиеся, но соответствующие одному сегменту. Функция корреляции, построен­ ная на основании сопоставления двух изображений, должна давать максимум, если это изображения одного и того же сегмента, и рав­ няться нулю, если это изображения разных сегментов. Разумеется, функция может принимать отличные от нуля, но не достигающие максимума значения в том случае, если сегменты, считаясь разными, похожи друг на друга.

Можно принять, что функция корреляции сегментов в целом строится как таблица из функций корреляций матричных элементов новой матрицы, построенной следующим образом.

Пусть f(t) выражает какую-то характеристику одного матричного элемента — элемента матрицы одного сегмента — и / (t — т) выра­ жает характеристику соответствующего матричного элемента, при­ надлежащего матрице другого сегмента. Построим произведение / (t)f ( t — т) и возьмем интеграл в пределах изменения т. В резуль­ тате получим функцию корреляции. Такое построение произведем одновременно над каждым матричным элементом. Тогда можно говорить о корреляции сегментов. В случае независимости сегментов результатом построения будет пустая матрица. В случае совпадения сегментов элементы приобретают максимальное значение. Если же сегменты различны, но близки, элементы результирующей матрицы будут близки к максимальным значениям. В этом случае возможно сближение сегментов. Близкие сегменты всегда могут быть смещены, и это не нарушает результатов сегментации: гистограмма сегментов, показывающая распределение их плотности вероятности, допускает деформацию, не изменяющую ее смысла.

Некоторое затруднение при построении функции корреляции может вызвать разномасштабность сегментов. Для пояснения при­ ведем простой пример из области сегментов, определяемых формой

чтобы значение функции корреляции было одним и тем же? Эго можно осуществить путем операции компрессии с целью приведения частотно-амплитудных спектров к одному масштабу. Таким обра­ зом, осуществляется некоторая автоподстройка.

Описанные выше процедуры по аналогии с конструктивным спектральным анализом могут быть названы конструктивным кор­ реляционным анализом.

Обратимся теперь к изложению типового метода конструктивных измерений.

Пусть на море имеется источник И электромагнитных сигналов звуковой частоты, прием которых требуется осуществить. Таким источником может служить судно, буек, подводный аппарат и т. п. Пусть система П является приемником (это судно-наблюдатель, буек, береговая база, подводный аппарат, самолет и т. д.). Как уже

78

было показано в предыдущей главе, условия приема в звуковом диапазоне весьма затруднены благодаря наличию собственных электромагнитных шумов и присутствию других помех. Тем не менее прием электромагнитного излучения, даваемого источником И, оказывается в принципе возможным благодаря применению кон­ структивного корреляционного анализа.

Задачей приемного аппарата является получение матрицы зна­ чений измеряемых величин, которая позволяла бы осуществлять сегментацию и с ее помощью распознавать сигнал на фоне помех. В частном случае указанная матрица вырождается в однострочную. Однострочная матрица соответствует, например, сканированию" по азимуту. Так, приемник, обладающий узкой направленностью, производит периодический обзор (сканирование) горизонта, причем получается ряд отсчетов принимаемых шумов, на фоне которых лежит локализованный сигнал.

При сканировании производятся отсчеты, дающие значения напряженности магнитного поля. Предполагается, что остронапра­ вленный приемник вместе с усилительной схемой дает на выходе сигнал, зависящий от амплитуды напряженности магнитного поля, и последовательность значений этого сигнала при изменении угла фиксируется посредством устройства записи или блока памяти. Изменение угловой координаты производится дискретно путем до­ бавления угла квантования азимута Лер.

При повторном обзоре все позиции повторяются, но запись будет отличаться вследствие изменения помех. Повторные опера­ ции позволяют получить много рядов значений напряженностей магнитного поля, которые можно использовать для корреляцион­ ного анализа. При этом помехи, угловое положение источников которых является случайным, будут исключены, постоянные источ­ ники помех будут локализованы в определенных угловых зонах, а источник, являющийся предметом обнаружения, будет отображен благодаря тому, что указанные функции корреляции отличаются от нуля.

При многократных повторениях обзора и убыстрении самой процедуры автоматического обзора оказывается возможным прием очень слабых сигналов по методу накопления. Каждый обзор оста­ вляет пусть даже слабый след приема сигналов, который постепенно будет становиться все более заметным. При этом несущественны даже отдельные пропуски сигналов.

О том, что полезный сигнал принят и что может быть определен пеленг, можно судить только благодаря накоплению данных. В опы­ тах по радиолокации небесных тел имеются примеры приема очень слабых отраженных сигналов на фоне превосходящих помех; должны только быть соблюдены условия накопления. Описываемый метод измерения слабых электромагнитных сигналов на море по своей идее напоминает радиолокацию планет.

Сходство может быть и более полным, если проводить наблюдения электромагнитных сигналов не в пассивном, а в активном режиме. Здесь имеется в виду проведение измерений, относящихся к вопросам

79