книги из ГПНТБ / Мясников, Л. Л. Новые методы измерений в подводной акустике и радиотехнике

два рода векторов состояний. Эти векторы взаимно сопряжены наподобие сопряженных комплексных чисел. Сохранив для одного из них название вектор, другой называют совектором.

Каждому состоянию в пространстве Гильберта соответствует вектор. Этому же состоянию соответствует и совектор. Значит, одно и то же состояние может быть обозначено или вектором, или сопряженным ему совектором.

Приведенные определения заимствованы из современной физики. Более подробно они излагаются в работах [27, 67, 78].

Следует еще раз подчеркнуть, что изменение длины вектора при неизменном направлении не нарушает состояния. Поэтому длина является произвольной и может быть нормирована, т. е. может иметь любое определенное значение.

Для векторов и совекторов в пространстве Гильберта применяются скобочные обозначения Дирака. Вектор состояния обозначается как | Л > . Совектор обозначается зеркальным отображением вектора:

< А | = | А > .

Мы обозначили через А систему. Вектор | А > будет изменяться при изменении состояний системы; чтобы отразить это в самом сим­ воле, можно в скобках записывать еще одну букву. Например,

Но нет необходимости повторять одно и то же указание системы А, если подразумевается, что перемена происходит не в системе, а только в ее состоянии, поэтому обозначение системы опускается. Тогда мы имеем для векторов состояний следующие выражения:

I Л > , | В > , | С > , . . .,

г^е А, В, С, . . . обозначают различные состояния одной и той же системы.

сопряженные им совекторы, является необходимость определения скалярного произведения векторов в пространстве Гильберта. Ска­ лярное произведение записывается так, чтобы левый множитель был совектором, а правый вектором, например -<Л | В >■. Ни вектор, ни совектор не являются числами, а представляют собой абстракт­ ные символы, но скалярное их произведение является числом [78].

Векторы состояний можно складывать и перемножать. Сложение дает суперпозицию состояний; при этом соблюдается перемести­ тельный закон сложения: порядок суммирования несуществен.

10

При умножении переместительный закон (т. е. коммутативность) обычно не соблюдается.

Пусть система из состояния А перешла в состояние В. Этот

шел в вектор состояния | В > . Процесс изменения состояний может быть очень сложным. Однако в любом случае формула (1.2) характе­ ризует это изменение. Переход (1.2) может быть описан более под­ робно через систему алгоритмов [81 ].

Все сказанное применимо и к совекторам состояний. Переход одного состояния в другое может быть записан и с по­

мощью уравнения. Пусть состояние А перешло в состояние В:

\ А > - » \ В > .

Введем вместо стрелки знак равенства, применяя некоторый

вектор в другой (иначе говоря, одно состояние в другое). На свой­ ствах линейных операторов [67, 78] останавливаться не будем.

Операторы соответствуют определенным схемам алгоритмов, и динамические процессы могут быть описаны на основе теории алго­ ритмов. С другой стороны, операторы, примененные к вектору состояния, дают дифференциальные уравнения, и динамические процессы описываются дифференциальными уравнениями.

Особое значение имеет случай, когда действие оператора Р не изменяет вектора состояния, а только приводит к умножению его на число Р ' . В этом случае формула (1.3) принимает следующий вид:

Таким образом, если состояние сохраняется при действии опе­

так как собственный вектор является функцией собственного зна­ чения и имеет числовое выражение.

Обычно один и тот же оператор может иметь множество собствен­

11

этим значениям. Они могут принадлежать и собственным значениям набора операторов, если последние коммутируют между собой.

Физическая величина есть оператор — это одно из основных положений современной физики. Как подчеркивал О. Д. Хвольсон [116], физическая величина есть величина sui generis, т. е. «своего рода». В современной физике слова sui generis заменяются словом «оператор».

Что означает «измерить оператор»? Вопрос этот имеет простой ответ в том частном случае, когда оператор может быть представлен обычной величиной (скалярной, векторной и т. д.), как это имеет место в задачах классической физики. Тогда нужно установить единицу измерения и через нее выразить данную физическую вели­ чину. Например, единицей звукового давления, которое, как известно, измеряется силой, отнесенной к единице площади, в системе СИ будет паскаль, равный одному ньютону на квадратный метр: 1 Па — = 1 Н/м2. Единица звукового давления в системе СГС — 1 дн/см2 -- = 0,1 Па. Таким образом, в рассматриваемом случае измерение — это процесс приема и преобразования информации об измеряемой величине путем ее сравнения с однородной физической величиной, принятой за единицу.

Измерить данное звуковое давление — значит сравнить его с однородной с ним величиной, принятой за единицу, и получить число, выражающее данное звуковое давление.

Как обстоит дело, если линейный оператор, выражающий физи­ ческую величину, обладает свойствами некоммутативности при умножении на другие физические величины? Такой оператор не мо­ жет быть сведен к обычной величине, или, как говорят, «не может считаться С-числом» (от английского термина conventional number). Требование найти меру, измерить неприменимо непосредственно к такому оператору, так же как к абстрактному понятию sui generis. Для случая, когда справедливо уравнение (1.5), с помощью кото­ рого вводится собственное значение Р' оператора Р, можно выска­ зать положение: измерить физическую величину — это значит найти собственное значение оператора. Искомая мера получается тогда путем сравнения с единицей измеряемой величины. Более подробнее рассмотрение этого вопроса читатель может найти в монографии Дирака [27].

Вектор состояния, в том числе и собственный вектор, принадле­ жащий какому-либо оператору, выражает состояние системы. Что означает «измерить состояние»?

Приведем пример Пусть рассматриваемая система — колеблю­ щаяся пластина. Стационарными состояниями такой системы будут колебательные моды. Эти состояния можно наблюдать. Например, следуя интерференционному методу [38] или исследуя известные фигуры Хладни, можно наблюдать на пластине детали колебатель­ ной моды той фигуры, которая дает распределения амплитуды или фазы колебания пластинки. Амплитуды и сдвиги фаз в разных точ­ ках пластинки можно измерить. Совокупность результатов этих измерений будет характеризовать состояние.

12

Под измерением состояния следует понимать совокупное изме­ рение значений физических величин, характеризующих это состоя­ ние. В приведенном примере под измерением состояния пластинки, соответствующего определенной колебательной моде, следует пони­ мать совокупные измерения амплитуды в разных точках и нахожде­ ние распределения амплитуд на пластинке. Набор тех операторов, собственные значения которых служат для измерения состояния системы, не может быть произвольным: одновременному измерению можно подвергать только собственные значения коммутирующих операторов.

Определить состояние динамической системы означает найти собственный вектор, соответствующий этому состоянию. Собствен­ ные векторы ортонормированы. Это свойство может быть записано так:

или через символ Кронекера:

< Р ' \ Р " > = бр.р>.

Как быть с измерениями некоторой физической величины, если состояние системы не может быть описано собственным вектором соответствующего оператора? В этом случае утверждение, что резуль­ татом измерения физической величины будет собственное значение оператора, уже не справедливо.

Приведем пример из акустики — пример пластинки. При соб­ ственных колебаниях круглой пластинки получаются определенные моды, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением. В результате решения этого уравнения можно найти собственное значение физической величины, в данном случае волнового числа k, умноженного на радиус а пластинки, т. е. величины ka. Но если колебания не установились, колебательные моды не возникают. Очевидно, здесь возможен только путь усреднения.

При наличии состояния, которое не является собственным для оператора, измерения соответствующей ему физической величины сводятся к определению среднего значения оператора. В теории

13

Отсюда получается важная формула для представления любого вектора | А Д> через собственные векторы | Р' >■.

Умножим обе части (1.7) справа на любой вектор состояния } А > . Тогда находим

М> = ^|Р'ХР'И>.

Р ’

Поскольку < Я ' | А > — это числа, то их можно переставлять с векто­ рами | Р' > , и мы получаем

Переходя к собственным функциям ф (Р'), можно рассматривать правую часть (1.8) как разложение по собственным функциям ф (Р') вектора состояния, который, таким образом, может быть обозначен

где а (Р') — коэффициенты разложения.

Функция ф называется пси-функцией. Она в количественном

(для простоты здесь написан один оператор и его собственная функ­ ция ф (Р'), принадлежащая собственному значению Р' 1.

Выбор собственных векторов, принадлежащих любому опера­ тору Р, позволяет построить представление любого оператора Q

Если состояния описываются собственными векторами опера­

Таким образом, если состояние является собственным, то пред­ ставление оператора будет диагональной матрицей. То же самое справедливо и для полного набора операторов, коммутирующих между собой: все их матричные представления могут являться одновременно диагональными матрицами.

Диагональные члены — это собственные значения набора опе­ раторов, которые могут быть одновременно измерены. Однако если измеряемый оператор не принадлежит этому набору и для него состояния динамической системы не являются стационарными, то надо обратиться к определению среднего его значения.

Нам далее понадобится оператор, который можно назвать булевым. Этот оператор построен как символ Кронекера, однако его индексы могут содержать не только числа (отмечены штрихами), но и линейные операторы. Рассмотрим булев оператор 6Vv' . при­

14

Это равенство подобно уравнению (1.5): в левой части стоит булев оператор, а в правой—-просто символ Кронекера. Символ Кронекера есть собственное значение булева оператора и может принимать только два значения: 1 при V" = Y и 0 при V" =j= V .

Какой смысл имеет эта величина?

Булев оператор может быть назван оператором «да—нет», потому что его собственные значения 1 («да») или 0 («нет»). Но что такое среднее от «да» и «нет»? Очевидно, это будет результат серии испыта­ ний, причем каждое испытание дает «да» или «нет».

В качестве наглядного примера испытания можно рассмотреть бросание монеты. Если условиться, что выпадение герба соответ­ ствует единице («да»), а выпадение цифры соответствует нулю («нет»), то среднее из результатов испытаний есть вероятность того, что монета будет падать вверх гербом.

Таким образом, среднее от булева оператора в написанном слу­ чае надо понимать как вероятность того, что собственное значение будет V . Поэтому измерение физической величины, соответствую­ щей оператору V, в данном случае может иметь только статисти­ ческий характер. Значение физической величины, скажем V', нахо­ дится только с вероятностью Ру.

Возьмем теперь сумму

} ] ( Г > < Г | = 1.

V"

Подставив эту сумму, равную единице, в равенство (1.11), получим, перенося знак суммы:

Р у = I i < A \ 8 Vy\V" > <V" \ А > . V"

Применяя булев оператор буи' к собственному вектору] V" > , имеем

dVy \ V " > = 8 y y |К" > .

Тогда

15

Здесь принято во внимание то, что

< Л | У '> = < V ' \ A > .

Значит,

< A \ V ' X V ' \ A > ^ < 7 Г\ А > < Г | А > | < V | А >

т. е. равно квадрату модуля числа <СУ'\А^>. Но числа < У '|Л > , согласно (1.8), суть коэффициенты разложения вектора состояния | Л > . Им соответствуют коэффициенты а {V) в разложении (1.9):

так как все остальные произведения будут равны нулю благодаря ортонормированности cp (V").

Формула (1.13) означает, что вероятность найти собственное значение физической величины V в каком-то состоянии есть квадрат модуля пси-функции.

Конечно, если функция совпадает с собственной функцией опе­ ратора V, то квадрат модуля вследствие ортонормированности собственной функции равен единице и вероятность тоже равна единице, т. е. есть достоверность.

Общие выводы излагаемой конструктивной теории измерений таковы. Если измерение физической величины, а также наблюдение пси-функции проводится в системе, состояние которой описывается собственной функцией, т. е. пси-функция принадлежит оператору, выражающему физическую величину, то исобственные значения опера­ тора, и принадлежащие им функции состояния определяются точно. Но если это не имеет места, то результат измерения становится случайным, вероятностным. Пси-функция состояния, квадрат модуля которой по (1.13) представляет вероятность, может быть найдена посредством разложения по собственным функциям согласно (1.9).

§ 1.2. КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ

Е1деи конструктивного анализа используются при исследованиях в современной акустике и радиотехнике. Измерения, которые с пол­ ным правом могут быть отнесены к конструктивным, описаны во многих работах, например в работах по измерению распределения амплитуд по корпусу излучателя, по исследованию сложного кварце­ вого вибратора, по измерению реверберации моря, по обследованию

16

Пусть динамической системой будет корабль—источник звука. Состояние корабля обозначается с помощью вектора состояний или с помощью пси-функции. Возникает задача определения соб­ ственных состояний системы, описываемых собственными функциями, и собственных значений физических величин или динамических переменных. Корабль как источник звука может быть, разумеется, заменен какой-нибудь более простой моделью, например сферическим или цилиндрическим излучателем звука или колеблющимся в воде эллипсоидом. Такие модели позволяют вычислить создаваемое судном в воде звуковое поле и сравнить расчеты с опытными дан­ ными. Однако применимость простых моделей ограничена. Измере­ ния параметров, связанных с акустикой корабля, относятся, по существу, к конструктивным измерениям.

Если в качестве динамической системы рассматривать корабль как источник низкочастотных электромагнитных волн, то состояние корабля также выражается с помощью вектора состояний или псифункции и исследуются динамические переменные, характеризую­ щие конфигурацию поля. В этом случае простые модели тоже не всегда применимы; излучение электромагнитных волн кораблем — процесс очень сложный, имеющий структурный характер. Измерения параметров, связанных с электромагнитным полем корабля, отно­ сятся к конструктивным измерениям.

Параметры образуют некоторый набор, который обозначим одной буквой а '. Собственные функции соответствующих операторов обра­ зуют базис, на основе которого произвольное состояние корабля может быть выражено функцией W (а'). Как известно, квадрат модуля этой функции есть вероятность того, что параметры будут иметь значение а '. При измерении параметров следует учитывать эту вероят­ ность. Для точного измерения необходимо, чтобы функция ¥ была собственной функцией набора операторов, коммутирующих между собой.

В данном случае существенное значение имеет теорема, глася­ щая, что одновременно с любой точностью можно измерить только те физические величины, которые коммутируют между собой. В самом деле, если оператор Р, выражающий одну физическую величину, не коммутирует с оператором Q, выражающим другую физическую величину, то нельзя найти общий собственный вектор, который принадлежал бы им обоим, и нельзя найти собственные значения операторов.

В ходе измерений происходит смена состояний системы. Может иметь место процесс, когда одни состояния чередуются с другими. Если каждое состояние описывается некоторым набором собствен­ ных функций, то изучение всего процесса требует рассмотрения смены одного набора другим. Описание каждого состояния есть описание некоторого звена; поведение системы в целом характери­ зуется цепочкой таких звеньев. Благодаря статистическим свойствам пси-функции, описание звеньев носит статистический характер,

описание же закономерной смены состояний носит детерминистский характер.

18

Если предметом описания является поведение сложной структуры, поля сложной конфигурации, то состояние звена не может быть описано одной собственной функцией, принадлежащей одному оператору, или набором собственных функций, принадлежащих некоторой системе коммутирующих операторов. Состояние звена, вообще говоря, описывается некоторой пси-функцией, не являю­ щейся собственной функцией какого-либо данного оператора. Однако согласно теореме разложения пси-функцию можно разложить по собственным функциям упомянутого набора операторов:

¥ = + с2ф2 + с3фз + . . .

Здесь с2, с3, . . . (точнее, квадраты их модулей) выражают веро­ ятность получить при наблюдении соответствующие собственные значения. Например, |с( |2 пропорционально вероятности того, что состояние будет определяться собственной функцией фг и ее аргу­ ментами.

Представление ¥ через набор функций фг можно считать спек­ тральным представлением. Параметрами этого представления будут собственные значения операторов, входящие в аргумент функций Фг (v, а, . . .), где v — собственные значения частот, а — собствен­ ные значения амплитуд и т. д. Коэффициенты с зависят от времени t. Полученные спектральные реализации будем называть сегментами. Сегмент шума (безразлично акустического или электромагнитного)

Можно предполагать, что частота появления того или иного сегмента во времени равна вероятности появления сегмента во всей совокупности состояний для определенного момента времени. По­ этому состояние можно характеризовать распределением плотности вероятности сегментов. При экспериментальных исследованиях стро­ ятся гистограммы, которые характеризуют распределение плотности вероятности сегментов.

Приведем пример, поясняющий сказанное. Пусть исследуется акустический шум корабля. Корабль как источник звука переходит из одного состояния в другое. Эти переходы обусловлены изменениями ходового режима, работой судовых вспомогательных механизмов, креном, качкой и т. д. За изменением состояний можно проследить по показаниям приборов. Шумовая последовательность представля­ ется как цепочка участков графиков, получаемых с помощью само­ писцев. Участки отражают те или иные состояния корабля. Каждый участок подвергается сегментации. Построение сегментов осуще­ ствляется тем или иным путем, который зависит от выбора базиса, т. е. от собственных значений физических величин — так называе­ мых признаков. Каждый сегмент описывается соответствующей функцией фг. Нас, однако, интересует распределение плотности вероятности сегментов. Эта функция распределения есть результат сегментации и характеризует звено цепочки.