Задание 2.
Даны матрицы:
,
,
.
Найти: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Решение.
а)
.
б)
.
в)
.
г)
.
д)
.
Найдем определитель матрицы A:
следовательно, обратная матрица существует.
Определим алгебраические дополнения :
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Найдем (обратную матрицу к матрице А):
.
Проверка:
Задание 3.
Дана система линейных уравнений:
Решить эту систему:
а) по формулам Крамера;
б) с помощью обратной матрицы;
в) методом Гаусса.
Решение.
а) Найдем определитель системы :
В этом определителе заменим 1- ый столбец столбцом свободных членов, получим определитель :
.
Вычислим определитель, который получается из определителя системы заменой 2-ого столбца столбцом свободных членов:
.
Аналогичным образом, заменяя в определителе системы 3-ий столбец столбцом свободных членов, получим :
.
Найдем значения x, y и z по формулам Крамера:
;
;
.
Ответ: , , .
б) Рассмотрим матрицы:
- матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных;
-
матрица свободных членов;
- матрица неизвестных.
Тогда, в матричной форме система линейных уравнений может быть записана следующим образом:
.
Если
,
то система имеет единственное решение,
которое можно найти по формуле:
.
Для матрицы в задании №2 ( пункт д) нами была найдена обратная матрица:
.
Найдем матрицу :
.
Ответ: , , .
в) Выпишем расширенную матрицу системы :
.
Проверяем: .
Мысленно умножим элементы 1-ой строку на «-1» и сложим с элементами 3-ей строки, получим:
.
Проверяем:
.Мысленно умножим 2-ую строку на «1» и сложим с 3-ей строкой:
,
получаем матрицу ступенчатого вида (см. определение 2 §7 главы I).
Составляем систему уравнений, соответствующую матрице :
.
Подставляем в предпоследнее уравнение системы :
,
отсюда
.
Из первого уравнения находим
.
Ответ:
.
Задание 4.
Пользуясь критерием Кронекера – Капелли, исследовать систему линейных уравнений на совместность, и в случае совместности найти ее решение методом Гаусса
.
При переходе от 1-ой матрице ко 2-ой
мы поменяли местами 1-ую и 2-ую строки
для простоты вычислений, затем мысленно
умножили элементы1-ой строки на «-2»;
«-1» и «-5» и результат прибавили
соответственно к элементам 2-ой, 3-ей,
4-ой строк, получили 3-ю матрицу. Затем
перешли к 4-ой матрице: 1-ую и 2-ую строки
оставили без изменения; умножив элементы
2-ой строки на «-2», затем на «-3», прибавили
результаты умножения соответственно
к элементам 3-ей и 4-ой строк. Затем убрали
нулевые строки и перешли к матрице
ступенчатого вида. Мы одновременно
приводим к ступенчатому виду основную
и расширенную матрицы
и
.
По определению ранга матрицы (см. определение 3 §7 главы I)
.
В силу критерия Кронекера – Капелли система уравнений совместна. Переходим от последней матрицы к системе уравнений:
.
Из последнего уравнения выражаем :
.
И, подставляя это равенство в первое уравнение системы, получаем:
,
отсюда имеем:
.
Таким образом, полученная система имеет бесчисленное множество решений. Давая произвольные значения независимым переменным и , мы каждый раз будем получать частные решения системы.
