§ 7. Ранг матрицы.
Определение 1. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие действия:
1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);
2) перестановка двух строк (столбцов);
3) прибавление к одной из строк (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число .
Определение 2. Матрица
называется ступенчатой, если ее
диагональные элементы
,
а все элементы, лежащие ниже диагональных,
равны нулю (
,
если
).
Например, матрица
-
ступенчатая.
Теорема 1. Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
Теорема 2. При любом способе приведения матрицы с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду количество строк в полученной ступенчатой матрице будет одним и тем же.
Определение 3. Рангом матрицы называется число строк в ступенчатой матрице, которая получается из матрицы элементарными преобразованиями. Ранг матрицы обозначается символами :
Для вычисления ранга матрицы можно применить следующий алгоритм.
1. Вычеркиваем в матрице все нулевые строки, если они есть.
2. Т.к. теперь нулевых строк нет, то в
1-ой строке полученной матрицы найдется
хотя бы один отличный от нуля элемент.
Переставим столбцы так, чтобы в 1-ой
строке на 1-ом месте стоял элемент,
отличный от нуля
.
3. Первую строку, умноженную последовательно
на
;
;
;
,
прибавим соответственно ко 2-ой, 3-ей, …
, m-ой строке.
Получим матрицу :
.
Вычеркнем в матрице
нулевые
строки, если они есть. Можно считать,
что во 2-ой строке есть хотя бы один
элемент, отличный от нуля. Переставим
столбцы так, чтобы
.
4.Умножим 2-ую строку последовательно
на
;
;
;
и прибавим соответственно к каждой из
последующих строк. В результате получим
матрицу
.
Вообще говоря,
,
т.к. при переходе от одной матрице к
другой некоторые строки (нулевые) могли
быть вычеркнуты.
Повторяя описанные рассуждения через конечное число шагов, мы получим матрицу ступенчатого вида, число строк в которой и будет рангом матрицы . Поясним сказанное на примере.
Вычислим ранг матрицы:
.
Умножим первую строку на «-2» и сложим ее со 2-ой, затем умножим 1-ую строку на «-1» и сложим ее с 3-ей; наконец, первую строку, умноженную на «-5», сложим с 4-ой. Приходим к матрице:
.
В матрице
вторую строку, умноженную последовательно
на «-2» и «-3», складываем соответственно
с 3-ей и 4-ой строками, получаем:
.
Вычеркиваем в матрице
третью и четвертую нулевые строки,
получим
,
число строк в ступенчатой матрице
равно 2. Следовательно,
Теорема 3. Ранг матрицы не меняется при транспонировании.
Рекомендуем читателю транспонировать
матрицу
в рассмотренном примере и убедиться,
что
Глава 2. Системы линейных уравнений.
§1. Основные понятия.
Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида:
,
(I)
где
и
- числа.
Определение 2. Решением системы (I)
называется такой набор неизвестных
,
при котором каждое уравнение этой
системы обращается в тождество.
Определение 3. Система (I) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной в противном случае.
Определение 4. Уравнение вида
называется нулевым, а уравнение вида
,
где
называется несовместным. Очевидно, что система уравнений, содержащая несовместное уравнение, является несовместной.
Определение 5. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение одной системы служит решением другой и, наоборот, всякое решение второй системы является решением первой.