§5. Алгебра матриц.

Определение 1. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица размерности , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и :

, . (1)

Пример 1.

.

Определение 2. Произведением матрицы на число называется матрица размерности , для которой ( ).

Пример 2.

.

Свойства суммы матриц и произведения матрицы на число.

Пусть A, B, C – матрицы размерности .

1. Коммутативность суммы матриц

.

2. Ассоциативность суммы

.

3. Дистрибутивность

,

,

- числа.

4. Ассоциативность произведения

,

- числа.

5. , где - нулевая матрица.

6. , где - нулевая матрица.

Определение 3. Произведением матрицы (размерности ) на матрицу (размерности ) называется матрица , элементы которой вычисляются по формулам:

, (2)

Пример 3.

.

Замечание 1. Из определения 3 следует, что умножить матрицу на матрицу можно лишь в том случае, когда число столбцов в матрице равно числу строк в матрице .

Замечание 2. Пусть - квадратная матрица n-ого порядка, а - единичная матрица также n-ого порядка, тогда

. (3)

В самом деле, по определению умножения матриц, имеем

.

Аналогичным образом получаем, что .

Свойства умножения матриц.

1. Ассоциативность

, где , , - матрицы размерности соответственно: , , .

2. Дистрибутивность

,

где и - матрицы размерности , - матрица размерности .

3. ,

где - число, и - матрицы размерности соответственно и .

Замечание 3. Произведение матриц в общем случае некоммутативно, т.е. , если в частности , то матрицы и называются перестановочными.

§6. Обратная матрица.

Определение 1. Квадратная матрица называется невырожденной, если и вырожденной, если .

Пусть задана квадратная матрица:

.

Определение 2. Матрица называется обратной к матрице , если выполняется равенство , где - единичная матрица. Матрица, обратная к матрице , обозначается символом :

.

Справедлива следующая теорема .

Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу.

Пусть задана матрица

и , тогда матрицу можно получить следующим образом:

1) вычисляем определитель матрицы ;

2) находим матрицу

(заменим в матрице каждый элемент соответствующим ему алгебраическим дополнением );

3) транспонируем матрицу , полученная матрица называется союзной и обозначается символом :

;

4) находим матрицу

.

Поясним сказанное на примере:

.

1) ;

2. вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы и находим матрицы и

, , ,

, , ,

, , ,

, ;

4) ;

5) проверяем:

.

Легко убедиться, что

.