книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

Прочность идеальной упругопластической конструкции характеризуется величиной предельного перемещения г/пр, так как в пластической стадии усилие в конструкции оста­ ется постоянным, т. е. должно быть соблюдено условие

У < г / п р -

Принимая в (2.3) R = су, получаем уравнение движе­ ния системы для упругой стадии:

Щ)

Рис. 24. Идеальная упругопла­ стическая система с одной сте­ пенью свободы

О

Таким образом, при расчете идеальной упругопластиче­ ской системы уравнение (2.3) распадается на два линейных дифференциальных уравнения.

Решение уравнения (2.14) имеет вид

1 Ь

Ух —Л cos со/ -}-В sin со/~|------ Г Р (г) sin со (/—т) dс, /лсо J

(2.16)

где со = " j / — круговая частота собственных колебаний

системы. Постоянные А и В находим из начальных усло­ вий. При нулевых начальных условиях А = В = 0.

Выражение (2.16) справедливо до момента времени /0,

при котором ух (t0) = уо = V •

59

При / > / 0 справедливо уравнение (2.15), решение ко­ торого имеет вид

Максимального перемещения система достигает в мо­ мент времени /т , когда ух (іт) = 0. Его значение равно:

Ут ~ У2(^m).

Рассмотрим более подробно расчет системы при Р (/) —

= Р0 = const и при ух (0) = 0, ух (0) = 0. Тогда из (2.16) имеем

С

Момент /0 конца упругой стадии находим из выражения

сУі = Р0 (1 — cos со/) = Ro,

т. е.

60

Время достижения максимального перемещения, опре­ деляемое из уравнения у3 (/) = 0, равно:

Подставив (2.23) в (2.22), получим после элементарных преобразований выражение для максимального перемеще­ ния системы:

(2.24)

Из полученных выражений следует, что система рабо­ тает в пластической стадии, имея конечные перемещения, если

При Ра < 0,5R 0 система работает только в упругой ста­ дии, и ее максимальное перемещение

Найдем .выражения для коэффициентов динамичности системы. Коэффициент динамичности нагрузки для упруго­ пластической системы в соответствии с (2.2) равен:

Из (2.24) и (2.27) получим выражение для ka в зависимости от упругопластического прогиба:

'1 — 0 , 5 —

У

Коэффициент динамичности перемещения принимается рав­ ным

где

61

Используя (2.24), выразим коэффициент k n через k n:

(2.30)

кн

Рис. 25. Зависимость коэффициента дина­ мичности от макси­ мального перемещения при воздействии на систему постоянной силы А действующей в течение времени Т

Рис. 26. Зависимость коэффициента дина­ мичности от показа­ теля экспоненты при различной величине максимального пере­ мещения

Формулы (2.27) и (2.30) позволяют легко проверить не­ сущую способность системы. По заданным величинам дина­ мической нагрузки Р0 и предельной восстанавливающей силы R0 находится коэффициент kB. По формуле (2.30)

62

определяется коэффициент kn и проверяется условие проч­ ности:

На рис. 25, 26 представлена зависимость ku от переме­ щений, полученная И. Л. Диковичем [20] для различных видов нагрузок.

в] Упругопластическая {система (с линейным упрочнением

В этом случае восстанавливающая сила имеет вид

R (у) — су при 0 < г / < у 0=

С

(2.32)

R(y) = c1y + R0(^l— -^-) при у > у 0.

Уравнение движения (2.3) системы распадается на два линейных дифференциальных уравнения:

прерывность перемещения и его скорости, т. е. начальными значениями для уравнения (2.34) будут перемещения и скорость, полученные из решения уравнения (2.33).

Решение (2.33) при Р (t) = Р0 = const и нулевых на-'

чальных условиях (уг (0) = 0, уг (0) = 0) было получено выше. Используя (2.20) и (2.21), получим начальные условия для уравнения (2.34):

при

63

В этом случае решение уравнения (2.34) запишется так:

УгѴ)= — іу / ^Rо — Isin<M +

Определив время достижения максимального перемещения из уравнения уг (t) = 0, после преобразований получим выражение для максимального перемещения системы:

Усилие, возникающее при этом в конструкции, равно:

Зависимость коэффициента динамичности kB от макси­ мального перемещения при воздействии на упругопласти­ ческую систему с линейным упрочнением постоянной силы, полученная в [20], приведена на рис. 27.

64

г) Жесткопластическая система

При расчете конструкций, в которых возможна возник­ новение пластических деформаций, значительно превосхо­ дящих упругие, иногда пренебрегают работой конструкции в упругой стадии, учитывая ее движение только в пластиче­ ской стадии. При этом предполагают, что конструкция будет находиться в покое до тех пор, пока внешняя дина­ мическая нагрузка не достигнет величины, равной предель­ ному упругому значению R0 восстанавливающей силы. В этом случае уравнение движения системы имеет вид

Интегрирование этого уравнения при нулевых начальных условиях дает

Из уравнения (2.39) следует, что для остановки системы необходимо, чтобы, начиная с некоторого момента времени, Р (t) было меньше R0. Поэтому, если жесткопластическая система приведена в движение постоянной во времени на­ грузкой, то перемещение системы получит бесконечное зна­ чение.

Подставив tm в (2.43), получим величину максималь­ ного перемещения:

Отсюда коэффициент динамичности нагрузки равен:

Для случая жесткопластической системы с упрочнением имеем

1 + 0 ,5 —

Уо

где

R Уо — с

§ 8. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ К РАСЧЕТУ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Приближенный динамический расчет'конструкций как систем'с одной или несколькими степенями свободы сво­ дится к решению дифференциальных уравнений 2-го по­ рядка. Рассмотрим два наиболее распространенных ме­ тода получения., этих уравнений.

66

а) Метод Бубнова — Галеркина

Этот метод, предложенный И. Г. Бубновым и развитый Б. Г. Галеркиным, применяется при решении краевых за­ дач дифференциальных уравнений в частных производных. Особенно широко он применяется в тех случаях, когда уравнение нельзя решить методом Фурье (переменные не разделяются) или если собственные функции не выража­ ются в элементарных функциях [37, 38].

где L — дифференциальный оператор; w (х, t) — функция, удовлетворяющая некоторым граничным и начальным усло­ виям, представляется в виде

Здесь Х і (х) •— известные функции («координатные»), ко­ торые выбираются так, чтобы они удовлетворяли всем гра­ ничным условиям задачи и их набор был достаточно «пол­ ным» в том смысле, что они позволяют представить в виде рядов достаточно широкий класс функций. Аналитически условие полноты системы функций X; (х) выражается так: если для некоторой функции ф(л:) при всех Х і ( х ) выпол­ няются равенства

I

о

то

ф (х) = 0.

При практическом использовании метода в выражении (2.51) учитывается конечное, часто небольшое число чле­ нов.

Подставим (2.51) в исходное уравнение и потребуем выполнения системы равенств

которые благодаря полноте системы Xj (х) обеспечивают удовлетворение уравнения (2.50) с тем большей точностью,

чем больше взято членов в сумме (2.51). Равенства приводят к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для функции Уі (t).

Применим метод Бубнова—Галер кина к решению урав­ нения движения упругой балки, имеющему вид

(2.54)

При решении ограничимся только одним членом ряда в вы­

балки от действия статической нагрузки интенсивностью р/х (х). Такой прием возможен, поскольку, как показывает анализ точных решений, проведенный в [53], изменение по пролету усилий и прогибов приблизительно подобно их изменению от статического действия нагрузки, причем это подобие выполняется в течение большого промежутка вре­ мени, включающего моменты достижения конструкцией наи­

ссоответствующими граничными условиями. Представим Х с (х) в виде

Х0{х) = §-Х{х),

68