книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

ся при значениях у вплоть до первого максимума у т, если наименьшим по модулю корнем функции ф (у) является

Здесь справа стоит модуль значения функции в некоторой точке у плоскости, слева — значение этой функции в точке действительной оси с координатой, равной модулю числа у.

У функций из класса U среди корней с наименьшими модулями обязательно имеется вещественное положитель­ ное число. Действительно, пусть и (h) = 0. Тогда из (2.146)

вале (0, I h I). Если и (I h |) = 0, то | Іг| является положитель­ ным корнем и (у). Таким образом, у функций и (у) наимень­ шим по модулю корнем может быть положительное число или несколько комплексных чисел с равными модулями, среди которых обязательно имеется положительное число.

Из общего условия сходимости вытекает следующее: ряды (2.116) и (2.117) сходятся вплоть до первого макси­ мума у т, если ф (у) принадлежит классу U.

Рассмотрим еще множество У функций, вещественных на действительной оси аналитических функций ѵ (у) и удовлетворяющих при всех у неравенству, обратному

Отметим для функций из классов U и V ряд свойств, которые позволяют получать конкретные функции из этих классов: 1) произведения функций из U (У) также принадле­ жат классу О (У); 2) сумма любого конечного числа функций

89

из V и сумма сходящегося ряда функций из V принадлежит V; 3) интеграл от ѵ (у) из класса V вида

у

2, ...), и положительные числа а принадлежат одновремен­

дящегося степенного ряда с положительными коэффициен­ тами принадлежит классу У. Тогда на основании 4-го свой-

Эти условия выполняются, например, если функция / (t) задана в виде (2.137) и коэффициенты ак из (2.107) таковы, что

90

следует иметь в виду, что приведенные признаки сходимо­ сти рядов во многих случаях трудно проверить. Когда при­ знаки сходимости использовать не удается, вопрос о схо­ димости рядов приходится выяснять в процессе вычисле­ ний.

Для иллюстрации изложенного метода решения нели­ нейных дифференциальных уравнений рассмотрим два при­ мера.

Пример 1. Определим прогиб гибкой балки-полоски, вызываемый динамической нагрузкой р (t) = р (і — g). Кон­ цы балки предполагаем шарнирно-опертыми и несмещае-

Пусть интенсивность р нагрузкитакова, что у = 10. Определим предварительно безразмерный прогиб пластин­ ки при достаточно длительной нагрузке, когда можно при­

нять Ѳ = оо. Интегрируя уравнение (2.81) при / ((*) = 1, находим

'И9*)=т Ш !=та*~0'5!'-

= 1 0 ^ - 0 ,5 ^ - 0 ,6 8 2 ^ .

Максимальный прогиб пластинки определим из урав-

нения

10 — 0,5(/* — 0,682уі = 0.

Решая это уравнение, находим наименьший положитель­ ный корень г/*т = 2,35. Для решения уравнения (2.81)

91

при / (/„.) = 1 — применим метод степенных рядов (2.116)

и (2.117) при замене у на у* и t на t%. Функцию / (/*) выби­

Пример 2. Рассмотрим шарнирно-опертую балку из ма­ териала с диаграммой деформирования вида (1.24). Опреде­ лим максимальный прогиб балки, вызываемый динамиче­ ской нагрузкой

р ( 0 = р ( ! - ф ) .

Прогиб найдем из решения дифференциального уравнения (2.96). Представим это уравнение в безразмерном виде

92

§ 10. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ БАЛКИ В УПРУГОЙ СТАДИИ

Расчетные диаграммы деформирования железобетонных балок, рассмотренные в § 3, сводятся к трем основным ти­ пам: к диаграммам упругопластических балок без упрочне­ ния и с упрочнением и к диаграмме хрупко разрушающейся балки. Подобные диаграммы справедливы и для конструкций из стали и многих других материалов. В этих диаграммах имеется прямолинейный начальный участок, соответствую­ щий упругой работе конструкции. В связи с этим исследо­ вание работы балки разбивается на два этапа: в упругой стадии и за пределами упругости.

Рассмотрим движение балки в упругой стадии. В за­ висимости от исходных предпосылок в динамике сооружений находят применение различные дифференциальные урав­ нения колебания балки. Приведем вначале уравнение, считающееся наиболее точным в рамках теории сопро­ тивления материалов. При его выводе учитываются дефор-’ мации сдвига и инерция вращения элементов балки [71]. Кроме того, на колебания реальной конструкции сущест­ венно влияют силы сопротивления, приводящие к постепен­ ному затуханию свободных колебаний [4, 47, 57]. Обычно среди этих сопротивлений существенное значение имеют силы внутреннего неупругого сопротивления, вызывающие так называемые гистерезисные потери энергии деформации. Подобные силы сопротивления проявляются главным обра­ зом при наличии циклических процессов нагрузки и раз­ грузки в материале конструкции. Поэтому они слабо влияют на деформирование конструкции в период ее движения от начала приложения динамической нагрузки до достижения

94

конструкцией наибольших перемещений. В связи с этим учитывать влияние затухания колебаний в дальнейшем не будем.

Обозначим через (х , f) прогиб балки только от изгиба,

Для усилий в балке справедливы следующие зависимости:

мерность распределения касательных напряжений по попе­ речному сечению балки. Значения коэффициента k! для ряда поперечных сечений приведены в книге [73].

В исследованиях В. И. Мурашева [39] показано, что при определении прогибов железобетонных балок, когда действуют статические нагрузки, жесткость балки можно считать постоянной по ее длине и равной жесткости в месте максимального изгибающего момента. Будем принимать справедливым это положение и при расчетах на действие динамической нагрузки. Величина жесткости определяется существующими методами с учетом раскрытия трещин в бетоне растянутой зоны.

Уравнения динамического равновесия балки имеют вид

где J — момент инерции сечения; р — плотность материала балки.

Системы (3.2)—(3.5) в результате преобразований при­ водятся к одному уравнению, носящему название уравнения С. П. Тимошенко:

95

При расчетах учитывать совместные влияние сдвига и инерции вращения имеет смысл лишь для высоких балок и особенно при определении частот собственных колебаний высоких тонов. Обычно преобладающее значение имеют де­ формации сдвига, и при расчетах высоких балок на действие кратковременных динамических нагрузок достаточно учи­ тывать только этот фактор. Тогда движение балки пред­ ставим в виде уравнений (3.2), (3.3), (3.5), и

дх

Врезультате исключения уг и г/2 получим уравнение

Для большинства балочных конструкций, у которых отношение высоты к пролету не превышает Ѵ5, не сущест­ венны также и деформации сдвига. В этом случае у2 = О, перерезывающая сила определяется из уравнения равнове­ сия (3.7) и уравнение колебаний балки имеет вид

<3-э>

Уравнения движения (3.6) и (3.8) являются волновыми: произвольное возмущение распространяется вдоль балки

согласно уравнению (3.6) со скоростями сх = у ~ и с2=

а согласно уравнению (3.8) — со скоростью с2.

Уравнение (3.9) неволновое, произвольное возмущение

вэтом случае распространяется с бесконечной скоростью. Влияние опорных закреплений балки сказывается в гра­

ничных условиях, которым должны удовлетворять решения уравнений (3.6), (3.8) и (3.9). Поскольку при расчетах балок на кратковременные нагрузки наибольшее применение на­ ходит уравнение (3.9), то в дальнейшем будем рассматривать только его.

Кратко изложим метод нахождения решения уравнения (3.9), обычно применяемый при исследовании колебатель­ ных процессов. В этом методе, называемом методом Фурье, любой колебательный процесс представляется в виде сум­ мы простейших решений уравнения (3.9). Эти решения имеют вид

т. е. являются произведением функций, одна из которых

Рассмотрение граничных условийпозволяет с помощью выражения (3.16) найти собственные функции и получить уравнения для определения собственных чисел X.

Собственные функции при обычных типах опорных за­ креплений балок (шарнирные, защемленные и др.) обладают двумя важными свойствами [33]:

1) свойством ортогональности, т. е.

где I — пролет балки;

[ Х% (x)dx b

С помощью собственных функций можно получить реше­ ние неоднородного уравнения (3.9) в виде ряда (3.11). Подставляя (3.11) в (3.9) и учитывая (3.14), получаем

Умножив левую и правую части полученного равенства на X h (X), проинтегрировав по пролету балки и приняв во вни­ мание (3.17), найдем уравнение для определения функций

Tk(t):

Tk{ t) + m T h{t) = Ph ü)

где

] p { x , t ) X h (x)dx

Ph (0 = -

f Xk (x) dx

'o

Решение этого уравнения имеет вид

Th(f)=*Akcosa>k t + Bk sin coht + t -

mwh

Произвольные постоянные Ak и Bk находятся из на­ чальных условий. В том случае, когда действующая на бал­ ку нагрузка р (х, г1) изменяется во времени по линейному

98