книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

жет быть представлена идеальной упругопластической диа­ граммой. В этом случае для расчета применяют приближен­ ные упругопластический и жесткопластический методы. При этом упругопластический метод в большинстве слу­ чаев применяют при расчете конструкций, пластические деформации которых относительно невелики. При расчете металлических конструкций из сталей, обладающих боль­ шими пластическими деформациями, достаточно хорошие результаты дает жесткопластический метод.

Особенность расчета конструкций на действие динамиче­ ских нагрузок заключается в том, что необходимо знать закон изменения во времени перемещений, от которых за­ висит величина сил инерции, существенно влияющих на усилия в конструкции. Поэтому при динамических расчетах -вопросы, связанные с определением перемещений (проги­ бов) конструкции, имеют большее значение, чем при рас­ четах на действие статической нагрузки.

При расчете большого класса конструкций (балки, пли­ ты, арки и т. п.) как в упругой стадии, так и за пределом упругости обычно применяют теорию малых перемещений, основанную на допущении малости перемещений и углов поворота элементов конструкции. Более точно эти допуще­ ния, подробно изученные В. В. Новожиловым [42], можно сформулировать в виде двух условий:

1) относительные удлинения и сдвиги, а также углы поворота должны быть малы по сравнению с единицей; 2) квадраты углов поворота должны быть малы по

сравнению с относительными удлинениями и сдвигами. Такие допущения приводят к тому, что изменение раз­

меров и формы конструкции в результате деформирования не влияет на ее работу и конструкция рассматривается как геометрически линейная.

При расчете широкого класса конструкций (балок, плит и т. д.) в упругой стадии применяют общие методы динамики упругих систем с конечным или бесконечным числом сте­ пеней свободы, основанные на теории малых перемещений. При этом, поскольку основной целью упругого расчета является получение начальных условий для пластической стадии, целесообразно пользоваться приближенными мето­ дами решения дифференциальных уравнений движения (метод Бубнова—Галер кина, вариационный метод на осно­ ве уравнений Лагранжа 2-го рода и др.).

В ряде конструкций (вантовые, тонкие пластинки и оболочки) нельзя применять теорию малых перемещений,

49

так как углы поворота могут значительно превосходить удлинения и сдвиги. Вследствие этого в таких гибких кон­ струкциях возникает нелинейная связь между нагрузкой и перемещениями при упругих деформациях, т. е. в кон­ струкции возникает геометрическая нелинейность.

При динамических расчетах геометрически линейных конструкций в упругой стадии методы динамики сооружений во многих случаях позволяют провести полный расчет кон­ струкций, при котором определяют как величины усилий, так и перемещений, представляемые в виде бесконечных рядов.

Расчет геометрически нелинейных конструкций даже в упругой стадии приводит к необходимости решения нели­ нейных дифференциальных уравнений в частных произ­ водных. Поэтому при практических расчетах применяют ва­ риационный метод, согласно которому задается форма перемещений конструкции, что позволяет получать доста­ точно простые для решения уравнения движения конструк­ ций. Форма перемещений должна удовлетворять граничным условиям рассчитываемой конструкции и во многих случаях может приниматься совпадающей со статической формой изгиба. Этот метод, несмотря на его приближенный харак­ тер, позволяет получить достаточно точные значения пере­ мещений и применим к расчету самых разнообразных кон­ струкций. При расчете конструкции в пластической стадии по жесткопластическому методу также необходимо знать форму перемещения конструкции. Так как в этом методе конструкция представляет собой механизм из жестких дис­ ков, соединенных шарнирами пластичности, то форма ли­ нии прогибов полностью определяется расположением и числом шарниров пластичности.

Вопросы, связанные с расположением шарниров пла­ стичности в конструкции при действии на нее динамичес­ кой нагрузки, впервые были рассмотрены А. А. Гвоздевым в 1943 г. [10]. В дальнейшем эти вопросы получили разви­ тие в работах как отечественных, так и зарубежных уче­ ных. Общий метод определения мест образования шарни­ ров пластичности в жесткопластических балках и плитах был разработан А. Р. Ржаницыным [60] на основе принци­ па Гамильтона. Однако данных о расположении шарниров пластичности в конструкциях при действии кратковремен­ ных нагрузок, имеющихся в настоящее время, все еще не­ достаточно для расчетной практики. Более детально эти вопросы экспериментально и теоретически изучены при

50

действии статических нагрузок. Подробно разработанные кинематический и статический методы позволяют находить места образования шарниров пластичности в довольно ши­ роком классе конструкций. Поэтому целесообразно рас­ смотреть вопрос о возможном совпадении мест расположе­ ния шарниров пластичности при действии на конструкцию динамической и статической нагрузок, одинаково распре­ деленных по пролету конструкции.

Как известно, отличие динамической нагрузки от ста­ тической заключается в том, что при динамической нагруз­ ке возникают силы инерции, увеличивающие или умень­ шающие ее действие. Поэтому, если силы инерции значи­

балки

Рис. 21. Характер разрушения свободно опертой железобетонной балки

Рис. 22. Характер разрушения защемленной железобетонной балки

51

шарниров пластичности) при действии динамической и статической нагрузок могут ие совпасть.

Расчеты показывают, что наибольшее изменение в рас­ пределении нагрузки силы инерции оказывают в начале движения конструкции. На рис. 20 приведены эпюры из­ гибающих моментов в балке в различные моменты времени при действии равномерно распределенной динамической нагрузки [53]. Из графиков видно, что в начальный период времени наибольшие изгибающие моменты возникают не посредине пролета балки, а вблизи его четвертей. Величины этих изгибающих моментов значительно меньше величины момента, который возникает в дальнейшем посредине про­ лета. Однако в случае, когда действующая на балку дина­ мическая нагрузка будет значительно превышать величи­ ну статической нагрузки, вызывающей предельный изги­ бающий момент, возможно появление шарниров пластич­ ности вблизи четвертей пролета раньше, чем посредине про­ лета. Такие схемы разрушения в балках даже при действии кратковременных нагрузок типа мгновенного импульса очень редки, что объясняется кратковременностью действия максимальных величин изгибающих моментов вблизи чет­ вертей пролета и другими причинами. В большинстве слу­ чаев расположение мест образования шарниров пластич­ ности в конструкциях при действии статической и динами­ ческой нагрузок совпадает. На рис. 21 и 22 изображены свободно опертые и защемленные на опорах железобетонные балки, испытанные на действие равномерно распределен­ ных кратковременных нагрузок, полученных в результате взрыва тротиловых зарядов. В свободно опертых балках шарниры пластичности образовывались посредине пролета, а в защемленных т— на опорах и посредине пролета, т. е. так же, как и при действии статических нагрузок.

При выборе расчетной схемы во многих случаях можно расчленять сооружение на отдельные простейшие кон­ структивные элементы (балки, плиты и т. п.) путем введе­ ния упругих и пластических связей — шарниров пластич­ ности. Места пластических шарниров выбирают путем рас­ чета сооружения на статически приложенную кратковре­ менную нагрузку. Для каждого из .отдельных элементов производится динамический расчет. В целях более точного расчета следует учесть взаимное влияние элементов; по­ датливость фундаментов, стен, колонн. При этом вслед­ ствие существенного усложнения задачи возникает необ­ ходимость в использовании при расчетах ЭВМ.

52

§ 6. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Инженерные конструкции (балки, рамы, плиты) с точ­ ки зрения динамики сооружений представляют собой си­ стемы с бесконечным числом степеней свободы. Точный динамический расчет обычно приводит к решениям, которые выражаются бесконечными рядами, и для получения рас­ четных величин (прогибов, моментов и т. п.) приходится за­ трачивать большой труд на суммирование рядов.

Системы с конечным числом степеней свободы и, в ча­ стности, с одной возникают в динамике сооружений обычно в результате приведения расчетной схемы конструкции к динамически более простой. Такое приведение осущест­ вляется различными методами, но принципиально резуль­ тат всех этих методов один: системы с бесконечным числом степеней свободы, какой является любое деформируемое тело, заменяется системой с конечным числом степеней свободы.

Необходимое число степеней свободы зависит от условий расчета и типа конструкции. Например, для вибрацион­ ных расчетов в резонансной стадии требуется знание ча­ стот колебаний конструкций. Чем более высокие частоты необходимы, тем больше приходится принимать степеней свободы. При расчете же конструкций на действие кратко­ временных, непериодических сил обычно требуется опреде­ лить максимальные перемещения и усилия, для чего до­ статочно знание закона движения конструкции в начальные моменты времени. На это движение существенно влияют, как правило, только низшие частоты, и поэтому в данном случае достаточно ограничиться небольшим числом степеней свободы и часто лишь одной.

S3

Методы приведения конструкции к системе с конечным числом степеней свободы можно разбить на две группы. В одной группе методов приведенная расчетная схема полу­ чается путем замены непрерывно распределенной по кон­ струкции массы одной или несколькими сосредоточенными массами. Такой прием особенно целесообразен для конструк­ ций, у которых наряду с распределенной массой имеются значительные сосредоточенные массы, например балка с прикрепленными к ней тяжелыми грузами, массивный фундамент, расположенный на грунте или виброизоляторах.

В другой группе методов ограничение числа степеней свободы конструкции осуществляется путем выбора из все­ го множества форм перемещений, определяемых дифферен­ циальным уравнением задачи,- нескольких форм, играющих определяющую роль в рассматриваемом процессе. Особен- *но целесообразен этот метод для расчета на действие крат­ ковременных нагрузок, когда требуется определить усилия в конструкциях.

При расчете конструкций весьма эффективно исполь­ зуются коэффициенты динамичности, позволяющие свести динамический расчет к статическому путем замены динами­ ческой нагрузки некоторой эквивалентной статической. Различают два коэффициента динамичности: коэффициент ди­ намичности перемещения и нагрузки.

Коэффициент динамичности перемещения ku определяет­ ся как отношение максимального перемещения системы при динамической нагрузке -ут к перемещению системы г/ст, вызванному статической нагрузкой, равной по величине максимальному значению динамической нагрузки:

Коэффициент динамичности нагрузки kK определяется как отношение величины статической нагрузки РСТ к мак­ симальному значению динамической Ртп, которые вызывают в системе одни и те же усилия (перемещения):

Для линейно-деформируемых систем оба коэффициента динамичности равны kn = kn. Для нелинейно-деформируе- мых систем (в которых сила и перемещение связаны нели­ нейной зависимостью) величины этих коэффициентов Не равны kB=f=kn . При этом для систем с «жесткой» восста­

54

навливающей силой kn > ka, а для систем с «мягкой» восстанавливающей силой kH< kn.

При расчете нелинейно-деформируемых конструкций более удобным является коэффициент динамичности по нагрузке kiv По его значению определяется величина экви­ валентной статической нагрузки по формуле

Рассмотрим систему с одной степенью свободы в виде сосредоточенной массы т, прикрепленной деформируемой связью к неподвижной опоре (рис. 23). Для усилия в свя-

Рис. 23. Упругопластическая система с одной степенью сво­ боды

зи R, называемого восстанавливающей силой, в дальней­ шем примем законы деформирования, наиболее часто встре­ чающиеся в практике.

Уравнение движения изображенной на рис. 23 системы, подверженной действию внешней динамической нагрузки Р (0, получается на основании принципа Даламбера из

а) Система с произвольной восстанавливающей силой

Рассмотрим движение системы с одной степенью свобо­ ды, у которой восстанавливающая сила при нагрузке, т. е. при росте перемещения, является произвольной функцией

55

R (у) перемещения у (см. рис. 23). При разгрузке предпо­ лагаем линейную зависимость R от у вида

грузке. В этом случае уравнение движения системы имеет вид:

при нагрузке

При произвольных зависимостях R (ух) и Р (t) уравне­ ние (2.4) может быть проинтегрировано лишь численными методами. В случае, когда нагрузка Р (/) является мгновен­ но приложенной постоянной во времени, т. е. Р (/) = Р = = const,, уравнение (2.4) интегрируется в квадратурах. Учитывая, что

получим

будем иметь

РУі+Di—J R (у) dy

56

Постоянные интегрирования Dx и D2 найдем из начальных

условий t = О, і/х = 0, = 0. Тогда из (2.6) и (2.7) полу­

чим Dx — D2 = 0. Максимальное перемещение системы,

достигаемое в момент, когда ^ = 0, определим из урав­

нения

В качестве примера примем выражение для восстанавливаю­ щей силы в виде

Найдем величины коэффициентов динамичности по форму­ лам (2.1) и (2.2). Учитывая, что

Величины kn и kH при различных значениях п приведены в табл. 2.

Из таблицы следует, что величины коэффициентов ди­ намичности существенно зависят от значения п, определяю­

57

щего характер восстанавливающей силы. При п < 1 («мягкая» восстанавливающая сила) kn > &н; при п > 1 («жесткая» восстанавливающая сила) kn < kn.

Движение системы в области разгрузки описывается уравнением (2.5) при начальных условиях:

Уравнение (2.5) является линейным, и поэтому его ре­ шение можно легко получить.

Рассмотрим движение системы, вызванное действием только мгновенного импульса величиной і. В этом случае перемещение в области нагрузки находим из уравнения

6) Система с идеальной упругопластической восстанавливающей силой

Предполагается, что восстанавливающая сила R (у) имеет вид ломаной линии (рис. 24) и состоит из двух от­ резков прямых, первый из которых (наклонный) отвечает упругой, а второй (горизонтальный) — пластической ста­ дии работы, т. е.

С

при у > — R(y) = R0 = const.

С*

* Точка над функцией означает дифференцирование по вре­ мени.

58