книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

движения можно найти лишь в случае кусочно-линейной аппроксимации восстанавливающей силы.

Запишем уравнение движения конструкции в виде

где у — максимальное значение правой части уравнения; / (t) — функция, характеризующая закон изменения во времени динамической нагрузки.

Общих аналитических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений такого вида в настоящее время не существует. Наиболее разработанными являются методы, позволяющие находить частные периодические решения, причем математическое обоснование эти методы получили лишь для уравнений с «малой нелинейностью» [36]. .Основной прием в данном случае-— представление решения в виде ряда по степеням малого параметра, от которого зависит нелинейность уравнения.

Аналитическое решение уравнения вида (2.99) в на­ чальном промежутке времен« можно получить прибли­ женно с использованием метода Бубнова—Галеркина [36] или путем применения степенных рядов. Рассмотрим от­ дельно эти методы.

а) Метод Бубнова — Галеркина

Начальные условия для уравнения (2.99) считаем ну­

левыми, т. е. при t = 0 у = 0, у = 0. Представим при­ ближенно функцию у (/) в виде

Подставим (2.100) в уравнение (2.99) и найдем

Ф = у + R (у) — yf (t) — heо2 cos соt +

+R [h (1 — cos co/)l — yf (t).

Ввыражении (2.100) в качестве координатных функций приняты постоянная величина и cos co^, поэтому, соглас­

79

но методу Бубнова — Галер кина, следует потребовать удовлетворения условий:

ЯЯ

Отсюда получаем два алгебраических (нелинейных) урав­ нения для определения величин Іі и со.

Примем для примера

Использовав обычные тригонометрические тождества, по­ лучим

о

Обычно этот метод позволяет находить лишь приближен­ ные решения, точность которых может быть невысокой.

б] Метод решения уравнений путем разложения решения в степенной ряд по /

Одним из методов, позволяющих получить в аналити­ ческом виде решение большого класса дифференциальных уравнений, является метод разложения решения в степен­ ной ряд по независимому параметру /, т. е. в ряд Тейлора. Этот метод имеет наибольшее практическое значение для нахождения решений при малых значениях /.

Искомая функция представляется в виде ряда

80

в котором уо и у0 — начальные значения функции у (t) и ее производной у (і), а значения остальных производных при t = 0 (уот), т > 2) находим из уравнения (2.99) последовательным дифференцированием. Ряд (2.105) опре­ деляет искомое решение при тех значениях t, при которых он сходится. Поэтому возможно найти функцию у (t) в промежутке 0 < t < tm, если радиус сходимости ряда (2.105) будет больше tm.

Функция у (t), заданная на действительной оси, про­ должается в комплексную плоскость так, что в ней опре­ деляется аналитическая функция у*(і*), совпадающая с у (t) на действительной оси,-—аналитическое продолже­ ние функции у if).

Ряд (2.105), в котором t заменено на комплексную переменную t*, представляет функцию y*(t*):

Радиус сходимости ряда (2.106), а следовательно, и ря­ да (2.105) равен расстоянию от начала координат до бли­ жайшей «особой точки», в которой нарушаются аналити­ ческие свойства (ограниченность, дифференцируемость, не­ прерывность и т. д.) функции y*(t*).

Из теории дифференциальных уравнений известно [65], что особые точки решений линейных дифференциальных уравнений совпадают с особыми точками коэффициентов этих уравнений. Поэтому степенные ряды вида (2.105), построенные для линейных уравнений, у которых коэффи­ циенты не имеют в комплексной плоскости особых точек, сходятся при всех значениях t. Однако это обстоятельство не имеет места для нелинейных дифференциальных урав­ нений, решения которых обычно имеют особые точки. При этом с усилением влияния нелинейности особые точки часто приближаются к началу координат, что уменьшает радиус сходимости степенного ряда, представляющего ре-

81

•к

мальному значению и поэтому позволяет находить с высокой

хотя это условие и не является необходимым для примени­ мости метода.

представляться степенным рядом по у. Найдем эти функции.

зависит от у. Примем эту зависимость в качестве новой неизвестной функции:

(2.109)

82

Введем вторую неизвестную функцию

(2Л10)

Учитывая равенство (2.6), запишем в новых переменных уравнение (2.99):

которое теперь является линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Найдем уравнение, которому удовлетворяет функция й (у). Продифференцировав (2.109) по у и приняв во вни­ мание (2.110), получим

с помощью (2.109) через й. Функции / (/), удовлетворяющие этому условию, укажем ниже. Обозначив

Таким образом, новые неизвестные функции Й (у) и ф(г/) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-го порядка (2.111), (2.114). Начальные условия при у — О запишутся в виде

83

Значения производных По"!) и ф<ш) находим последо­ вательным дифференцированием (2.111) и (2.114). Для опре­

Сравнение (2.119) с выражением (2.108) показывает, что ряд в правой части (2.119) учитывает влияние функции

/(О-

84

здесь Cm—2— число сочетаний из т — 2 элементов по Ц. Положим

(2.125)

Тогда

не могут быть представлены степенными рядами по у (точ­

35

в виде рядов (2.116) и (2.117). При решении уравнений из­ ложенным методом функция / (/) выбирается из условия лучшего приближения к соответствующей функции в ре­

86

Тогда,/ (0) = 1, / (Ѳ*) = 0. Величина Ѳ* является вре­ менем действия условной динамической нагрузки. Это время можно найти из равенства импульсов действительной и условной нагрузок. Если 0 — время действия действите­ льной нагрузки, то

ѳ

0* = 2 $ /(Q Ä .

о

Отметим, что указанным методом можно решать урав­ нения более общего вида, чем (2.99). При этом будут из­

меняться только выражения для коэффициентов фот).

Ряд (2.116) дает зависимость между скоростью системы и ее перемещением в виде

Тогда движение системы продолжается после окончания действия нагрузки (2.137). При ^ > 0 * справедливо урав­ нение (2.99) при у = 0:

У + R (у) = 0,

87

первый интеграл которого имеет вид

(2.142)

2

У1

где

Тогда максимальный прогиб вместо (2.139) удовлетворяет уравнению

(2.144)

Отметим, что если функция R (у) задана в виде много­ члена JV-й степени (2.107) ,то при расчетах достаточно учесть в рядах (2.116) и (2.117) члены вплоть до yN+l.

Рассмотрим кратко вопрос об условиях сходимости рядов (2.116) и (2.117) вплоть до максимального значения

Ут. ~ У (^тп). когда у (tm) = 0. При этом, поскольку схо­ димость степенного ряда определяется поведением пред­ ставляемой им функции в комплексной плоскости, будем считать у, ф, П комплексными переменными.

Выявим особые точки у решений системы уравнений (2.111) и (2.114). Уравнение (2.111) является линейным диф­ ференциальным уравнением, коэффициенты которого не имеют особых точек. Поэтому оно не может быть причиной возникновения особенностей у функций ф и Q, т. е. необ­ ходимо исследовать только уравнение (2.114). Из него видно, что особенность в Q .возникает прежде всего при тех

значениях у, при которых ф = 0, т. е. когда у = 0. Но вследствие нелинейной зависимости F (Q) особые точки у Q могут возникнуть и при других значениях у.

Однако проведенный анализ показывает, что решения системы уравнений (2.111) и (2.114) обладают особенностями только в тех точках, где ф {у) = 0 [при принятых выше функциях / (if)].

Таким образом, радиус сходимости рядов (2.116) и (2.117) будет равен |h | , где h — наименьший по модулю корень уравнения ф (у) = 0. Отсюда вытекает следующее общее условие сходимости: ряды (2.116) и (2.117) будут сходить­

88