книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

видим, что напряжения в балке с распором уменьшаются, в нижних волокнах в 3 раза, а в верхних в 1,5 раза. Вели­ чина максимального прогиба в этом случае равна:

2рі1

у= — • — ,

384EJ

т.е. прогиб при наличии распора уменьшается в 2,5 раза.

§23. РАСЧЕТ УПРУГИХ БАЛОК НА ДИНАМИЧЕСКУЮ

НАГРУЗКУ

Рассмотрим однопролетную балку из однородного мате­ риала с ограниченным смещением нижней части опорных сечений. В качестве расчетной схемы балки при действии динамической нагрузки примем такую же расчетную схему, как и при статической нагрузке. Отметим, что такая рас­ четная схема справедлива только при движении балки вниз, которое в данном случае и исследуется. Вначале рас­ смотрим свободные колебания балки, имеющей ограничен­ ное горизонтальное смещение нижней части опорных сече­ ний. Собственные функции Х п в данном случае определяют­ ся из решения уравнения

М— момент от единичной силы, приложенной по направ­ лению действия распора;

Мп — изгибающий момент от сил инерции в сечении с ко­ ординатой z (рис. 47):

получим

Д щ = — EJ

Из уравнения (5.7) определим величину распора:

Собственные функции при рассмотрении симметричных относительно середины балки колебаний находятся из выражения (3.16):

Учитывая, что у = — сОпХпТп, получаем из (5.8):

180

Из граничных условий находим уравнения для опреде­ ления произвольных постоянных и собственных чисел:

К і

где

Приравнивая детерминант этой системы нулю, получаем уравнение для определения собственных чисел:

Обозначив г|) = Я I , получим

tg фп + th г1?;і = —2 . (5.12)

e*

Частота собственных колебаний определяется по формуле

Определенные по этим формулам частоты оказываются выше частот шарнирно-опертых балок, причем наибольшее отли­ чие наблюдается для низшей частоты. Например, для балки

/г „

прямоугольного сечения при е = у и с = 0 имеем

181

Из второго уравнения (.5.11) найдем

Подставляя полученное соотношение в (5.10), получаем

Получив значение собственных функций, исследуем ра­ боту балки с учетом распора при действии динамической нагрузки, изменяющейся во времени по закону

р « ) = р ( і - Н .

Уравнение динамического равновесия запишется так:

где Мң — изгибающий момент от распора Н.

Решение уравнения (5.15) будем искать, применяя рас­ смотренный в § 10 способ выделения члена, учитывающего статическое действие нагрузки, т. е. решение представим в следующем виде:

У = У1 + Угу

где у г — прогиб от действия нагрузки р (/), рассматривае­ мой как статическая нагрузка, удовлетворяющий уравнению

с граничными условиями при

Мнр — момент от распора, вызванного нагрузкой р (t), которая рассматривается как статическая; у 2 — прогиб от

182

действия сил инерции, удовлетворяющий уравнению

ö „ = Л4я„; Мяи — момент от распора, вызванного

силами инерции. Очевидно, что Мн = Мңр + Мя». Выражения для у г получим из (5.5):

(5.14).

Коэффициенты А п и Вп найдем из начальных условий:

183

Подставляя (5.17) и (5.18) в начальные условия, получаем

Далее найдем выражения для полного прогиба, распора и изгибающего момента:

Приведенные расчеты показывают, что наличие распора при динамической нагрузке может существенно повысить несущую способность конструкции. Поэтому при расчете

184

конструкций, горизонтальное смещение опорных сечений которых ограничено, следует, как и при статической на­ грузке, учитывать влияние распора.

Если материал конструкции обладает пластическими свойствами и его диаграмму деформаций можно представить диаграммой Прандтля, то полученное решение будет спра­ ведливо до момента возникновения шарнира пластичности. Условия возникновения шарнира пластичности для попе­ речных сечений различных форм приведены в табл. 1. Эти условия определяются соотношением между продольной силой и изгибающим моментом.

§ 24. РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ БАЛОК НА ДЕЙСТВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ РАСПОРА

Исследование напряженного состояния железобетон­ ной балки с ограниченным смещением сечений на опорах является более сложной задачей, чем для балки из одно­ родного материала. Как было показано выше, величина распора зависит от жесткости конструкции, которая сни­ жается по мере раскрытия трещин. Возникающий распор уменьшает их раскрытие и тем самым влияет на жесткость. Таким образом, основные величины, определяющие несу­ щую способность, оказываются взаимосвязанными.

Рассмотрим шарнирно-опертую балку с ограниченным смещением опорных сечений при действии равномерно распределенной нагрузки (рис. 48). Принимаем, что равно­ действующая сжимающих усилий Я, возникающая в опор­ ных сечениях, приложена на расстоянии г от центра тяже­ сти нижней арматуры. Величина е определяется в ходе расчета.

В соответствии с принятой расчетной схемой при дей­ ствии нагрузки и возникновении распора на участке балки у опоры Іг возникнут отрицательные изгибающие моменты, на участке же в средней части пролета 12 — положитель­ ные моменты (см. рис. 48). Рассмотрим напряженное состоя­ ние этих участков балки. При этом будем исходить из сле­ дующих предпосылок [39]:

1) деформации изменяются по высоте сечения по линей­ ному закону;

2) напряжения в бетоне сжатой зоны имеют прямоуголь­ ную эпюру;

185

Рис. 48. Железо­ бетонная шарннр- ио-опертая балка с распором

Рис. 49. Напря­ женное состояние в сечениях железо­ бетонной балки с распором

3) жесткость для каждого участка железобетонного элемента, имеющего изгибающий момент одного знака, принимаем постоянной и равной значению'жесткости в месте наибольшего изгибающего момента на данном участке.

Усилия в сечении I—I (участок/х) показаны на рис. 49. Для определения положения нейтральной оси и напряже­ ний в арматуре и бетоне составим уравнения равновесия:

где Мр — изгибающий момент в балке от действующей на

186

п — отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона при сжатии; фа — коэффициент, учиты­ вающий работу бетона между трещинами; X — отношение пластической деформации бетона к полной деформации.

Учитывая, что на опоре Мр = 0, из уравнения (5.25) получаем

h0— а — e

Подставляя (5.27) и (5.26) в (5.24) и вводя обозначения, будем иметь

р

*i = £ifto; ci — 6h0] e=:keh0] р1 = —*Х- ;

U IIQ

£I — 2 (6 + fee) + 2 (1 — 6 + ke) I, — 2(1 — 6 —ke) n' p,j = 0 .

Решая это уравнение, можно найти Іі, а затем положение нейтральной оси х х — \ xh 0, которое считаем постоянным для всего участка Іх. Величину напряжений в бетоне най­ дем из уравнения (5.25):

1S7

из уравнения (5.33) для сечения балки в середине пролета получим

Таким образом, искомые величины выражаются через безразмерные параметры | 2 и kn, которые необходимо оп­ ределить.

Подставляя (5.34) и (5.37) в (5.32), получаем

188