книги из ГПНТБ / Попов, Н. Н. Динамический расчет железобетонных конструкций

Ут=Уо + ^ т ~ ■

Подставив в формулу (3.88) значения входящих в нее

величин и введя параметр k x = -^,про1 , получим;;

*У

119

Вследствие того что сопротивление конструкции падает с ростом прогиба, для каждого вида нагрузки существует определенная величина прогиба, при превышении которой произойдет разрушение конструкции. Пользуясь формулами (3.90) и (3.91), найдем такой наибольший прогиб балки упр для постоянной во времени нагрузки. Этот прогиб имеет место при

так как при у < упр корень в (3.90) дает мнимое значение. Тогда

ляет наибольшую величину нагрузки, которую способна

Упр уменьшается, стремясь к единице; наибольший возмож­ ный прогиб балки при этом возрастает. Таким образом, учет работы балки в стадии разрушения может значительно сни­ зить динамическое влияние нагрузки.

Аналогичным образом можно проанализировать работу железобетонной балки в IV стадии и при наличии III ста­ дии (т. е. для балки с небольшим процентом армирования). Отличие будет заключаться только в начальных условиях,

120

Такой расчет при наличии достаточно достоверной диаграм­ мы деформации позволит определить действительную пре­ дельную несущую способность конструкции при данной кратковременной нагрузке.

§ 15. ДВИЖЕНИЕ ШАРНИРНО-ОПЕРТОЙ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ БАЛКИ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ СКОРОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

В предыдущих разделах при исследовании работы кон­ струкции в пластической области в качестве диаграммы де­ формации элемента конструкции (зависимость изгибаю­ щего момента от кривизны) принималась диаграмма идеаль­ ного упругопластического тела с постоянной величиной пластического момента М 0. Между тем, как отмечалось в § 2, на прочностные свойства бетона и особенно стали может су­ щественное влияние оказать скорость деформирования. В мягкой стали вследствие запаздывания пластическій деформаций при быстром нагружении повышается величина предела текучести.

За пределом динамической текучести деформирование стали при напряжениях, превышающих статический предел текучести, определяется скоростью деформации. Диаграмма деформации бетона также изменяется с ростом скорости де­ формирования. Все это приводит к тому, что диаграмма де­ формирования элемента балки при быстром нагружении будет отличаться от диаграммы Прандтля. Поэтому учет скорости деформирования при расчете конструкций на дей­ ствие динамических нагрузок представляет большой прак­ тический интерес.

Учет влияния скорости при динамическом расчете пла­ стически деформирующихся конструкций вносит существен­ ные трудности, так как приводит к необходимости исследо­ вания движущихся вязкопластических областей. Поэтому даже при сохранении геометрических предпосылок жестко­ пластического метода и при принятии новых упрощений, связанных с законами распределения напряжений, и де­ формаций в пластических областях, расчет балки может быть проведен лишь с применением численных методов интегри­ рования дифференциальных уравнений. В работе В. А. Котляревского [31] предложен метод расчета конструкций за пределом динамической текучести, основанный на рассмот­ рении распространения волн в упругопластическом мате­ риале с запаздывающей текучестью. Этот метод позволил В. А. Котляревскому аналитически описать характер раз­

121

вития деформации в конструкции за пределом динамической текучести. Процесс развития деформации рассмотрим на примере свободно опертой балки, подверженной действию равномерно распределенной нагрузки. После достижения посредине пролета изгибающим моментом величины М 0 и при дальнейшем его увеличении балка будет продолжать работать упруго вследствие запаздывания пластических деформаций. При этом в средней части балки развивается зо­ на перегрузки, в которой М (х, і) М 0".

В момент времени, равный времени запаздывания дина­ мической текучести арматуры, посредине пролета балки по­ являются пластические деформации, которые будут рас­ пространяться с большой скоростью по направлению к опо­ рам балки. Вследствие интенсивного развития пластической области происходит резкое снижение скорости деформации, что приводит к падению напряжений в арматуре и умень­ шению величины изгибающего момента в пластической обла­ сти. Поэтому зона перерузки начнет уменьшаться, и после встречи ее границы с границей пластически деформируемой области величина последней начнет убывать.

Расчет балки с учетом движения этих областей сводится к интегрированию сложного нелинейного дифференциаль­ ного уравнения, которое можно выполнить лишь числен­ ным методом.

Ниже приведем упрощенный способ исследования движе­ ния балки с учетом влияния скорости деформации. Допол­ нительное упрощение по сравнению с работой [31] заклю­ чается в том, что в течение всего процесса деформирования балки за пределом динамической текучести длина зоны пластичности принимается постоянной. Некоторым обосно­ ванием такого упрощения можно считать тот факт, что, как получено В. А. Котляревским, длина пластической зоны после ее возникновения увеличивается с очень боль­ шой скоростью до определенной величины, которая в даль­ нейшем мало изменяется.

Как известно, величина изгибающего момента железо­ бетонной балки определяется главным образом количеством арматуры и напряжениями в ней, а изменение прочностных характеристик бетона не оказывает существенного влияния на величину изгибающего момента. Поэтому при оценке влияния скорости деформирования на величину момента можно ограничиться учетом этого влияния лишь на проч­ ностные свойства арматуры. Так как при изгибе железобе­ тонной балки арматура находится в одноосном напряжен­

ій-

Пом состояний, то для определения времени запаздывания и динамического предела текучести можно пользоваться кри­

ной статически и равной некоторой фиксированной величи­ не динамической нагрузки; Т (/) — функция динамичности, характеризующая изменение напряжения во времени.

Применение этого выражения при использовании точного выражения для Т (t) затруднительно и возможно лишь с при­ менением численного интегрирования. Однако во многих случаях достаточную точность дает прием, основанный на замене в промежутке (0, т) функции Т (t) линейными функ­ циями.

Пусть на конструкцию действует постоянная во времени внезапно приложенная динамическая нагрузка. Тогда

цией Т (t) — kt.

Коэффициент k и время запаздывания т в сек находятся из (3.95) и условия kx — .Т (т). Исключая k, получаем сле­

Из (3.97) и (3.98) следуют зависимости динамического

123

Используя (3.100), найдем выражение для динамическо­ го предела текучести, которое возникает в арматуре кон­ струкции в момент достижения напряжениями максималь­

ной величины (т. е. при т = t*, когда - ^ = 0). Будем на­

зывать напряжение, равное о\.; — а (/*), минимальным динамическим пределом текучести. Из (3.96) следует, что

і* = , и из (3.100) получим

0„. Из (3.98) следует уравнение, определяющее время конца упругой стадии:

• В пластической стадии примем закон деформирования

124

Где er* — минимальный динамический предел текучести. Коэффициент вязкости ѵ определяется по формуле

е(т)

где е (т) — скорость деформации в начале пластической стадии. Определение коэффициента вязкости ѵ по формуле (3.107) позволяет удовлетворить начальному условию: в начале пластической стадии напряжение в арматуре равно динамическому пределу текучести сг (т) = ад.

Рис. 34. Схема'деформации армату­ ры шарнирноопертой балки в пластической ста­ дии

Принятие линейного закона деформирования (3.106) означает линеаризацию истинной зависимости о(е) таким

образом, что в конце пластической стадии е = 0 напряже­ ние делается равным минимальному динамическому преде­ лу текучести о*. Такое предположение оправдывается тем, что напряжение а* характеризует границу между упругой и пластической стадиями. работы арматуры.

За пределом динамической текучести схему деформации балки будем принимать такой же, как и при расчете в пла­ стической стадии без учета влияния скорости деформиро­ вания, т. е. балка будет состоять из двух жестких дисков, соединенных шарниром пластичности (рис. 34).

Выражение для пластического прогиба имеет вид

щий в шарнире пластичности. Начальные условия при t = % следующие: ф = 0, ср = ф0.

125

Из геометрических соображений поЛуЧим (сМ. рис. 34)

где 8 (f) — абсолютная величина пластической деформации арматуры в половине балки. Обозначим половину длины пластической зоны через X (см. рис. 34).

Считая длину зоны пластичности постоянной в течение пластической деформации, примем также постоянными по ее длине деформации и напряжения. Тогда

Таким образом, величина зоны пластичности не входит в окончательные формулы. Решение уравнения (3.116) за­ пишется так:

126

Угол поворота половины балки находится после интег­ рирования выражения (3.114).

Рассмотрим подробно случай действия постоянной во времени нагрузки интенсивностью р. В упругой стадии примем для изгибающего момента в середине пролета балки выражение в виде

Из (3.104) получим уравнение для определения време­ ни конца упругой стадии:

127

Выражение для начальной угловой скорости ср0 на­ ходится из (3.48) при 0 = оо :

Для оценки влияния скорости деформирования сравним величины М 0, при которых балка при действии динамиче­ ской нагрузки получает одну и ту же величину прогиба. Из формулы (3.58) следует:

учете влияния скорости деформирования предельный мо­ мент балки может быть уменьшен на 32%.

На рис. 36 построены графики изменения безразмерного

изгибающего момента в шарнире пластичности в за­

128