книги из ГПНТБ / Математическое программирование и производственные задачи
..pdfгде су—известное |
действительное число, a /у и bt—случай |
|
ные величины, а а/—вероятность выполнения |
г-го неравен |
|
ства, где 0<у*гё;1. |
|
|
Полагая, что законы распределения случайных величин |
||
ауу и bi известны, |
находят выражения для вероятностей, |
|
стоящих в левой |
части ограничений исходной |
задачи. При |
этом получаются |
некоторые функции fi(X ), зависящие толь |
ко от Х —(х 1У х 2, . . х п).
Однако такой подход к решению стохастической задачи имеет существенные недостатки. В частности, определить в аналитической форме функции ft(X ) довольно сложно; это удается только в простейших случаях (см., например, [18]). Кроме того, функции fi(X ) в общем случае для рассматри ваемой задачи будут разрывными, поэтому применение извест ных методов для решения задач нелинейного программирова ния вызывает большие затруднения. И, наконец, в большин стве практических случаев определение законов распределе ния случайных величин требует значительных усилий.
Отметим, что впервые этот подход был изучен в работах Л. Минца и Б. Финкельштейна [45], А. Чарнса, В. Купера и Д. Данцига (см., например, [59], [60]).
Весьма перспективным является направление, при кото ром исходная задача рассматривается при условии, что распре деления случайных величин неизвестны, однако имеется воз можность наблюдать их отдельные реализации. При таком предположении возникает ряд важных вопросов, а именно:
1) априори определить такое множество М (М ), что при любом векторе k ^ ~м(к £ М ) стохастическая задача разреши*
ма (неразрешима) с требуемой точностью и заданной веро ятностью, т. е. ставится задача получения наиболее обос нованных оценок;
2) априори определить, какое число реализаций нужно получить, чтобы обеспечить решение стохастической задачи с требуемой точностью и заданной вероятностью с минимальны ми затратами на получение реализаций;
10
3) разработать прямые методы решения стохастических задач*.
Отметим, что постановки задач первого и второго пунктов ставились и рассматривались в работе [54], а третьего—в [32], [35], [46], [63].
§ 2. ЗАДАЧА ПОЛУЧЕНИЯ НАИБОЛЕЕ ОБОСНОВАННЫХ ОЦЕНОК
Рассмотрим следующую задачу. Максимизировать линей ную форму
/ |
W = 2 W |
|
|
(2.1 > |
|
при условиях |
|
/ | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ а у х ;<Ь:+ Ь]М {Ь1), |
1 = 1, |
2, . . ., |
т, |
(2.2> |
|
х/>0, |
У = 1, |
2, . . |
п, |
(2.3) |
|
где dif, b \, Ь\ (6 "> 0) |
и Cj — известные действительные числа,, |
||||
а М (Ь,)—математическое |
ожидание |
случайной |
величины |
||
bL. |
имеется возможность |
наблюдать от |
|||
Предполагая, что |
|||||
дельные реализации величины b-t, задачу можно |
было бы |
||||
решать следующим образом: определить |
по некоторому |
||||
числу ki реализаций |
(наблюдений) статистическую |
оценку |
bi(ki) (т. е. среднее арифметическое результатов наблюдений),
далее в стохастической задаче |
заменить |
математическое |
||
ожидание М(Ь{) величиной £>,(£/) |
и решить полученную ста |
|||
тистическую задачу линейного программирования. |
Решение |
|||
последней будет приближенным решением |
исходной задачи |
|||
с некоторой |
вероятностью. |
|
|
|
Однако при таком подходе нельзя определить точность, |
||||
решения исходной задачи, следовательно, и |
решить задачу |
|||
получения |
наиболее обоснованных оценок. |
|
||
В связи |
с этим возникает следующий |
вопрос: |
априори |
* Под прямыми следует понимать методы, которые решают стохасти ческую задачу на основе анализа серин реализаций случайных величин.
11
(т. е. до получения k-t реализаций |
величины 6,) определить |
такое множество М(М ), что для |
любого k £ M ( k £ M ) сто |
хастическая задача будет разрешима (неразрешима) в тре |
буемом |
смысле. |
|
|
|
|
|
Это значит, что если: |
|
|
|
|||
а) |
взять любое |
k £ M |
(k£M)\ |
|
|
|
б) получить k-t реализаций величины |
|
|||||
в) |
вычислить |
статистическую |
оценку |
|
||
г) |
заменить М(Ь{) в исходной |
стохастической |
задаче |
|||
|
оценкой b[(k[); |
|
|
|
||
д) |
решить полученную |
статистическую задачу |
линей |
|||
|
ного |
программирования, |
|
|
||
то должно |
выполняться неравенство |
|
|
P jl/ -7 | £ = s | > a ,
где I—максимальное значение линейной формы стохасти
ческой задачи, а I — максимальное значение линейной формы следующей статистической задачи.
Максимизировать
|
f ( X ) = |
2 CjXj |
|
при условиях |
|
/-1 |
|
|
|
|
|
y^aijX j^b'i + |
b\bi{ki), |
г= 1, 2, |
. . т, |
/=1 |
x j > 0, |
j = 1, 2, . . ., п. |
|
|
|||
В дальнейшем |
множество М(М) |
будем называть (е, о) — |
доверительным множеством разрешимости (неразрешимости)
задачи (2.1) —(2.3), |
а вектор k £ M ( k £ M ) —(е, а)—довери |
тельным вектором |
разрешимости (неразрешимости) задачи |
(2.1)—(2.3). |
|
Приведем некоторые необходимые сведения из матема
тической статистики [12]. Известно, что |
если а —случайная |
величина, и получено г ее реализаций, |
то, пользуясь мето- |
12
дами математической статистики, можно с вероятностью £ определить случайный доверительный интервал (а(г), а(г))-
для ЛЦа), т. е.
|
Р [ М ( а ) £ ( а ( г ) , |
а ( г ))}> 9 . |
||
Границы |
доверительного |
интервала |
вычисляются по |
|
формулам: |
|
|
|
|
|
а (г) = а (г)—Ар (г), |
|
||
|
a (r ) — a(r) -f Д? (г), |
(2.4) |
||
где |
|
N |
|
|
|
Д? ( г ) |
|
|
|
|
V 7 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь N = Y 2D (a) •Ф 1(р), |
где |
D (a ) —дисперсия величины |
||
а , а Ф-1(Р)—функция, обратная функции Лапласа. |
||||
Отметим, |
что если D (a) неизвестна, |
то обычно поль |
||
зуются ее статистической |
оценкой |
|
||
|
|
/ г |
|
(2.5) |
|
|
|
|
где
2 (<2г— a(r))2 D (r)= i_-1__________
r
(а,-—i -ая реализация величины а ).
Иногда будем пользоваться векторным обозначением, т.е
Ь(Ь)НЬг(Ьг),ЬМ . . |
., bm(km)), |
|
М(Ь) = |
(М (Ьг), М (Ь,), . . ., М (ЬЯ)). |
|
В дальнейшем |
часто будет |
рассматриваться функция |
/(X), которая определяется следующим образом (Х-задача):
/(Х) = шах ^ cj xj
при условиях
13
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V а и х,-^Ь\ -t- b’Mit |
г —1, 2............/я, |
|
|
|
|||||||
|
|
j -1 |
лу> О, |
|
/= 1 , 2 , . . |
л, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где су, а,у, Ь'. и Ь'^>0—константы линейной формы |
и |
огра |
|||||||||||
ничений |
стохастической |
задачи |
(2.1) —(2.3), |
а >.— вектор- |
|||||||||
-столбец. |
Отметим, что /(>.) является кусочно-линейной, |
вог |
|||||||||||
нутой неубывающей функцией. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
§3 . |
О П РЕДЕЛ ЕН И Е ДОВЕРИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА |
|
|
||||||||
|
|
|
|
РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
||||
|
Для |
дальнейших рассуждений требуется |
введение |
сле |
|||||||||
дующих |
предположений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Предположение 3.1. Существует такой |
конечный ин ер- |
|||||||||||
вал, |
что для всех k t реализаций статистическая оценка |
£/(£;) |
|||||||||||
принадлежит данному |
интервалу с вероятностью не меньше, |
||||||||||||
чем |
заданное |
Р/, т. е. существуют такие числа »; и |
, |
что |
|||||||||
для любого ki |
имеет место неравенство* |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
P\bi (k, |
)€(<*,, «г ) } >рг , |
|
|
|
|
|
|||
где |
pi |
( |
i — 1, |
2, . . ., |
т ) |
выбраны |
таким |
образом, |
что |
||||
ПР/ |
|
я, Р/ |
, i —1, 2, |
т. |
|
|
|
|
|
|
|
||
/-1 |
Предположение 3.2. Известны |
такие |
числа |
D t , |
что |
||||||||
|
|||||||||||||
А > |
D(b, ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Отметим, |
что если |
1(a)—1(a) <; 2е, |
то |
1° = |
1(a) + 1(а) |
|||||||
|
-----------— ----- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
решение стохастической задачи в требуемом смысле**. |
|
||||||||||||
|
Действительно, из предположения 1 |
следует, что (а,- ,аг ) |
|||||||||||
для любого ki |
покрывает M (bi ) с |
вероятностью, |
не |
мень |
шей, чем р/. Поэтому l(a)-<l(M (b)), так кака^Ж (А) (М(Ь)—
вектор столбец). |
С другой стороны 1(я)^-1(М(Ь))1 |
так как |
*В частности, это |
имеет место, если случайная величина bi |
ограничена |
с вероятностью, равной единице. В дальнейшем данное предположение бу дет ослаблено (см. замечание 3. 1).
** Здесь я = (я 2, я2..............Чт) И "я=(я2, а2, . . ., чт) ~ ВвКТОры-СТОЛбцЫ.
и
а^-М(Ь). Следовательно, с вероятностью, не меньшей, чем
т
заданное а> П & , выполняется неравенство
1
/(а)</(М (£))ё£/ Й ,
откуда
Р{ |l( M { b ) ) - l° |s£ / (a)-/ o< s}> *.
Таким образом, если /(а)—/(а)^2е, то (г, а)—довери
тельный вектор разрешимости стохастической задачи равен
нуль-вектору. Это значит, |
что не следует получать никаких |
|||||||||||
реализаций |
величины |
bt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь |
перейдем |
к |
определению |
множества |
М. Пусть |
|||||||
в некоторой правой |
окрестности точки |
а функция |
/(X) по |
|||||||||
рождается тем же базисом, что |
|
и в точке Х = а. |
Построим |
|||||||||
функцию 1(Х) = 1(к) |
(определенную в этой окрестности), ко |
|||||||||||
торая в общем случае |
имеет вид* |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
_ |
т _ |
|
|
|
|
|
||
|
|
Дх) = М - 2 |
|
v h • |
|
|
|
(3.1) |
||||
|
|
|
|
|
i-i |
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
пусть в некоторой точке |
Х=Х° |
функция |
|||||||||
/(X) порождается базисом |
Б = {Л/,, Ajt, |
. . ., |
Ajm], |
где Л,— |
||||||||
вектор-столбец~с компонентами (а1у-, |
а2у, . . |
., a mj). |
||||||||||
Это |
означает, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Лл*лС*°)=ь°. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
i- i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая эту систему |
относительно лгуДХ0) |
(в общем |
случае), |
|||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДА=Р.п |
2 |
|
ъ Л |
|
|
1, |
2. |
|
т. |
|
(3.2) |
|
|
|
к- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или, обозначив |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X j i — |
Х ю , |
== ? й> |
|
~[ik> |
|
|
|
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* Предполагается, что X- задача |
при |
Х = а |
разрешима, и оптимальный |
|||||||||
план невырожденный. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
x i0Q°) = P/о -г 2
i = \ , 2 , . . т .
|
|
/г — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как Б = (Л ',. |
Ah , . . |
., AJn} является |
базисом |
в точке |
|||||||
л=Х°, то все базисные компоненты |
Хщ(к°) неотрицательны. |
||||||||||
Это значит (с учетом |
предположения |
невырожденности в |
|||||||||
точке Х°), что множество |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D y,= J >./*«,(>.) =Р/о + |
2 |
> 0 , |
г = |
1, 2, . . |
mj |
(3.3) |
|||||
не пусто. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оценки z j —cj векторов Aj не зависят |
от |
вектора —па |
|||||||||
раметра а. Поэтому необходимым и |
достаточным |
условием |
|||||||||
того, что функция 1(Ц в области /Л° |
порождается |
тем же |
|||||||||
базисом, что и в точке к=к°, является условие /.£Dx«. |
|||||||||||
Для любой точки a£ D xо имеем |
(cio= cj0) |
|
|
|
|||||||
__ |
т |
|
= |
т |
/ |
|
т |
Т/*>* |
|
||
1(1) = |
/о(Х) = |
V с,0 |
2 Оо ( Р/о + |
^ |
|
||||||
|
|
г « 1 |
|
|
/~1 |
\ |
|
А - 1 |
|
|
|
|
/и |
|
т |
т |
|
|
т |
|
|
|
|
= |
у р/ооо+ 2 |
Cio2 |
W -*= P + 2 |
т/х- '. |
|
(3.4) |
|||||
|
( - 1 |
|
/ -1 |
А=1 |
|
|
/ -1 |
|
|
|
|
где
Р = 2
/= 1
Таким образом, функция /(X) в области Dx« (где она порождается одним и тем же базисом) имеет вид (3.4).
Теорема 3.1.* Любой вектор k (с целочисленными ком понентами), принадлежащий множеству
М = |
|
|
|
|
(3.5) |
является (е, а)—доверительным |
вектором разрешимости сто |
||||
хастической задачи, где |
|
|
|
|
|
N i = Y 2D, Ф-НР/ ), |
Р* |
> |
4 " ’ |
П Р/ |
> «. |
* Доказательство теоремы 3.1 |
для случая |
b t = 0 |
b t= 1 |
( /= 1, 2, . • ., т ) |
|
дано в [56]. |
|
|
|
|
|
16
Доказательство. Действительно, возьмем произвольный век тор k = (k x, k2, . . ., k m) £ M . Получим ki реализаций слу чайной величины bi . Определим по числу реализаций ki до верительный интервал для M (bt ), так что
Р{ [bj (ki ), |
bi (ki |
)] |
накроет M (b{ )} |
, |
(3.6) |
где |
|
|
|
|
|
b i ( k i ) |
= bi |
(ki ) - y = - , |
|
|
|
Ti |
(k i ) - b i |
(ki ) + |
|
|
|
ДЛЯ |
|
|
|
|
|
i — 1. 2, . . |
т |
|
|
||
т, П Pf > а. |
|
|
|||
|
|
|
1=1 |
|
|
Так как функция /(X) кусочно-линейная, вогнутая и не убывающая, то имеем:
H b ( k ) ) - i ( m ) =
= / (61(&1), b2(k2), . . .,bm(km))-- [ ( b j k j , |
............bm(km)) = |
= 1 ( 1 ^ ) + ^ = , . . , bm(km) -(- у — ^
1 |
О1 |
м |
|
|
^ |
bm(k m) у — ^ ^
м * . ) + / г _ )
< 7 ( * - л , + $ к - • ■
У Т С >
Так как Nt , то (продолжаем цепочку неравенств)
i { b ( k ) ) - i ( b j k ) ) < i ( b 1(k1) + ............. |
bm{km) + |
- |
С другой стороны, в силу предположения 1 и послед него неравенста (3.7), очевидно, имеем:
|
Р ( \l-l(b(k))\ |
I (b(k)) - |
l(b(k))^s\ > |
я. |
(3.8) |
||
Доказательство теоремы |
закончено. |
|
|
||||
Оценки, полученные |
по |
вышеприведенной |
|
методике, |
|||
являются |
грубыми. |
Чтобы |
получить более точные оценки |
||||
нужно решить следующую задачу. |
|
|
|
||||
Минимизировать |
|
|
|
|
|
||
|
|
_ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
}± ) 2 |
|
{ 3 -9 ) |
|
при условии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1(к)— ц \ )= е, |
|
|
(3.10) |
||
h — |
> 0 , h |
и h £ |
[яг |
, я,- ], |
t —\, 2, . . |
., |
т. (3.11) |
Если Z—минимальное значение целевой функции задачи (3.9)—(3.11), то справедливо следующее утверждение.
Теорема 3.2. Любой вектор k (с целочисленными ком понентами), принадлежащий множеству
18
|
|
УИ0= |
|
М |
|
|
\ |
|
(3.12) |
|
|
|
|
h |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является (г, |
я)—доверительным вектором разрешимости сто |
|||||||||
хастической |
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
Ni = / 2 А Ф -н Э, ), |
р, > |
у , |
/=1, |
2, |
|
|||||
т, пр, > я. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/-1 |
|
Доказательство этой теоремы основывается на следую |
||||||||||
щих двух леммах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма 3.2. Для пары векторов X |
и X, |
компоненты ко |
||||||||
торых |
удовлетворяют условиям |
|
|
|
|
|
||||
x t — х< ^ О , |
Xi , x t £ |
[яг |
, |
яi ], |
г = |
1, |
2, . |
. ., т, |
(3.13) |
|
|
|
т |
__ |
|
|
__ |
|
|
|
|
|
|
2 ( ^ |
- ;* / ) '< Z I |
|
|
(3.14) |
||||
|
|
i-l |
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет |
место |
неравенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ( X j - |
|
1 (Х )есв . |
|
|
|
(3.15) |
||
Допустим^ противное: для некоторой пары векторов X, X |
||||||||||
выполняется |
условие |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (Х )-Ц Х )> * . |
|
|
|
|
||||
Тогда, очевидно, на |
отрезке |
?Х + (1 — p )Z (0 < )i < П |
||||||||
существует точка Х °=^°Х -г{\ —\>-0)Х такая, |
что |
|
||||||||
|
|
l(X j—1{Х) > 1 (Х °)-Ц Х )= в , |
|
|
||||||
т. е. (Х°, X ) является допустимым |
планом |
задачи |
(3.9) — |
|||||||
<3.11). |
~ |
|
|
|
Х°— внутренняя |
|
|
|||
С |
другой стороны, |
|
точка |
отрезка |
||||||
JQt-f (1— |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x°—Xi <^Xi — Xt, |
1 = |
1, |
2, |
. . ., |
т |
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19