Сборник задач по ВМ
.pdf
194 |
ГЛ. X. КРИВИЗНА КРИВОЙ |
§3. Производная вектор-функции по скаляру
иее механическое и геометрическое значение. Естественный трехгранник кривой
Радиус-вектор г = xl-\-у]-\-zk точки кривой х = х (t), у = у (t), г = z{t) есть вектор-функция скаляра t. Производная г = xi-\-yj-\-zfi
есть тангенциальный вектор и имеет модуль | г | = Ухъ -f-У3 + £3 =
N=B |
~S~W |
Поэтому, |
если |
t- |
||||
|
время, а |
кривая — траектория |
||||||
|
движения, |
то г = v |
есть |
век |
||||
|
тор |
скорости, |
г = w — вектор |
|||||
|
ускорения. |
|
|
|
|
|
||
|
|
Через |
точку |
М (х; |
у; |
z) |
||
|
кривой (черт. 36) проведем три |
|||||||
|
плоскости: |
|
|
|
|
|
||
|
|
1) перпендикулярную |
к |
г; |
||||
|
она |
называется |
нормальной; |
|||||
|
|
2) содержащую г и г; она |
||||||
|
называется |
соприкасающейся; |
||||||
|
|
3) перпендикулярную к пер |
||||||
|
вым |
двум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Они |
образуют |
естествен |
||||
|
ный |
трехгранник |
|
(триедр) |
кри |
|||
|
вой. |
|
|
|
|
|
|
|
Впересечении плоскостей имеем три прямые: касательную,
бинормаль и главную нормаль, определяемые векторами:
1)г— тангенциальный,
2)В = г X г — бинормальный,
3) N — ВХ f — главный нормальный.
Единичные векторы этих направлений обозначим т, S, v; они свя-
заны зависимостью - р - = |
-г— |
v и |
3 = т X v. |
|
|
||||
|
|
| |
rfs |
I |
|
|
|
|
|
Пусть yWj (X; У; Z) — точка |
касательной (черт. 36). Тогда Л Ш г || г |
||||||||
и из условия параллельности векторов получим уравнения |
касательной |
||||||||
|
|
X— х |
|
|
|
Z — г |
|
(О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть |
М% (X; Y; |
Z) — точка |
на |
нормальной |
плоскости. |
||||
Тогда |
ММ% J_ г |
и из |
условия перпендикулярности |
векторов по |
|||||
лучим уравнение нормальной |
плоскости: |
|
|
||||||
|
х (Х-х) + у |
(Y—y) |
+ z {Z-z) |
= 0. |
|
||||
