Метода термодинамика(практика)

нением

Пуассона

(см. пример

2):

pV γ

= p V γ

= NkTV γ−1 .

p = NkTV γ−1 V γ ,

1

1

2

2

1

1

1

1

W =

V2

NkTV γ−1dV V

γ = NkT

1

−(V V )γ−1

(γ −1).

F = −

T

SdT = RV T ×

∫

5.2.

∫

1 1

1

1

2

0 0

V1

T0

× 1 −

(T T )α+1

V (α +1),

p = RV T

1 −(T T )α+1

V 2 (α +1) .

5.3.

Поскольку

0

0

0

0

Ω(E) = exp(S k) ,

CV = (∂E ∂T )V ,

S = T∫(CV dT T )= nαT n−1

(n −1),

то

Ω(E) =

(

(

)

)

0

(

)

(

)

. 5.4. dw(ε) = 4πVe−ε kT ε2dε z(hc)3 ; z =8πV

3

3 . Для

= exp

nE

n −1 kT

kT

hc

идеального

газа

Z = zN

N !;

F = −NkT ln (8πV (kT )3 e (hc)3 N ),

p = nkT ,

E = N

= 3NkT ;

CV = 3Nk .

5.5.

Z = zпостN

zпотN

N !,

zпост = (2πmkT

h2 )3 2 ;

ε

zпот = kTS (1 − e−mgH kT ) mg . F = −NkT ln{e(2πmkT h2 )3 2 SkT (1 −e−mgH kT )

Nmg},

E =

5NkT 2 − NmgH

(

)

emgH kT −1 ,

CV = 5Nk 2 − N (mgH )2 emgH kT

kT 2 (emgH kT −1)2 ;

при mgH kT <<1

CV ≈ 3Nk 2 ,

при mgH kT >>1

CV ≈ 5Nk 2 . 5.6 Дипольная молекула в электрическом поле

GG

приобретает дополнительную потенциальную энергию

U = −(dE)= −d0 E cosθ.

102

Вектор

поляризации

P = −(∂Ф ∂EG) = kT ∂(ln Z )

∂EG = Nd0 {cth(d0 E kT )−

−kT d0E} EG

T

EG

. В слабом электрическом поле ( d0E kT <<1): PG Nd02 EG

3kT ,

Z (E ) 2N 1 +(d0E kT )2

6 N .

5.7.

CV = 2kT (∂(ln Z )

∂T )+ kT 2 (∂2 (ln Z )

∂T 2 ).

5.8.

Фазовый

объем

G

G

=V

N

G

Область

интегрирования

в

Г(Е,V )= ∫dpdq

∫dp .

пространстве импульсов определяется условием

(p12 + p22 +... + p32N )

2m ≤ E

и

является с геометрической точки зрения шаром в 3N –мерном пространстве с

радиусом

R =

2mE .

Интеграл

есть

объем,

пропорциональный

R3N = (2mE)3N 2 ,

т.е.

Г(Е,V )= const V N E3N 2 .

Энтропия

S = k ln (Г h3N )=

= kN lnV + (3kN ln E) 2 + const . Температура

T = ∂E ∂S = 2E 3kN . 5.9. Началь-

ная

энтропия

S 0 = S 0 + S0

= N k ln (V N )+ N f (T , m )

+ N

k ln (V

N

2

)+

1

2

1

1

1

1

1

1

2

2

+N2 f (T1,

m2 ),

после

смешивания

S = N1k ln ((V1 +V2 )

N1 )+ N1 f (T1, m1 )+

+N2k ln ((V1 +V2 )

N2 )+ N2 f (T1, m2 ). Ее изменение S − S0 = N1k ln ((V1 +V2 )

V1 )+

+N2k ln ((V1 +V2 )

V2 )> 0 .

5.10.

Начальная

энтропия

системы

S 0 = −Nk ln p p − 2Nf (T ), а

после

смешивания

S = −2Nk ln p − 2Nf (T ), где

1

2

4 p1 p2 ). 5.11. Из

p = 2NkT (V1 +V2 ). Изменение энтропии ∆S = Nk ln ((p1 + p2 )2

учетом dE = CV dT и равенства

Cp −CV = Nk

(см.

пример

2)

имеем

CdT = CV dT + (Cp −CV )T dV V . После интегрирования

получаем

уравнение

политропы для идеальных газов:

TV n−1 = const ,

где

n = (C

p

−C) (C

−C) .

V

уравнения

состояния: T n pn−1 = const , pV n = const . Адиабатический ( dQ = 0 ,

C = CQ = 0

,

n = γ) и изотермический ( dT = 0 , C = CT → ∞) процессы являются

1 < n < γ .

Частные случаи политропного процесса:

изобарный ( C = Cp , n = 0 )

p = const

и

изохорный ( C = CV ). В последнем

случае вместо уравнения

pV n = const

можно воспользоваться равносильным ему (Vp1 n = const , 1/ n = 0 )

∆S = S2 − S1 = (m µ)Nk ln (V2T23 2

V1T13 2 ).

При

изохорном

процессе

∆S

= (m µ)C ln (T

T ). В

адиабатическом

процессе (V

V = (T T )1 γ−1

,

V

V

2

1

2

1

1 2

см. пример

2)

∆SQ = 0 .

5.13.

Свободная

энергия

до

смешивания

Fj0 = −νj NkT ln (Vj

νj N )+ f (mj ,T )

, а после Fj = −νj NkT ln ((V1 +V2 )

νj N )+

2

+ f (mj ,T ) . Её изменение при изотермической диффузии ∆F = ∑(Fj − Fj0 )=

j=1

= −NkT ν1 ln ((V1 +V2 )

V1 )+ ν2 ln ((V1 +V2 ) V2 ) < 0 . Если

V1 =V2 ,

ν1 = ν2 =1, то

∆F = −2NkT ln 2 .

5.14.

F = −kT ln (z1N1 z2N2

N1!N2 !)= F1 + F2 ;

p = −(∂F ∂V )T =

= p1 + p2 .

5.15.

При

переменных

V

и

T (∂CV

∂V )

=T (∂2S ∂T∂V )

. Т.к.

T

V

(∂S ∂V )T = (∂p ∂T )V ,

то

(∂CV ∂V )T =T (∂2 p ∂T 2 )V .

5.16.

Воспользоваться

определением

Cp ( p,

T )

и

(∂S ∂ p)

= −(∂V ∂T )

p

.

5.17.

См. №

5.16.

T

Z ( p, T )

и воспользоваться (5.15). Решение аналогично задаче 5.13. 5.22. Вос-

пользоваться

уравнением

Гиббса-Гемгольца,

H = (Cp2 −T 2 ) 2 .

5.23.

Из

дифференциальных соотношений

(∂T ∂p)S = (∂V ∂S )p

= (∂V ∂T )p

(∂S ∂T )p =

= αVT Cp . Для идеального газа (∂V ∂T )p = Nk p ,

(∂T ∂p)S

=V Cp . 5.24. Изме-

нение энтропии при смешивании

∆S = −Nk

{

ln

4VV

(V +V )

2

+3ln (T T ) .

1 2

1

2

0

}

Максимальная полезная работа возможна в обратимом процессе ∆S = 0 ,

т.е.

при

T =T0 {4V1V2

(V1 +V2 )2}1 3 .

Отсюда

∆W = −∆E =3Nk (T0 −T ) =

= 3NkT

4VV (V +V )2

1 3

5.25.

Из

№

5.6,

имеем

∆E (ε)=

1 −

.

0

1

2

1 2

= kT 2 ∂ln Z (

ε,T )

∂T = −N (ε d

0

)2

3kT C

(ε)

= ∂(∆E ) ∂T = (Nk 3)(εd

0

kT )2 .

V

Поскольку Cпост

= 3Nk 2 , то

C

(ε)<< Cпост .

V

V

V

6.1. Nk 2π2T 2εF .

6.2. Из

(5.22) и

перекрестных

соотношений

(∂V ∂T )

p

= −(∂S ∂p)

T

;

(∂p ∂T )

= (∂S ∂V )

T

:

Cp −CV ~ T 3 .

6.3.

z =

V

= ∞

n +1 exp

−hν

(

n +1

kT

= −∂

∞ exp −hν

(

n +1

kT

∂

(

hν

kT

)

,

∑(

)

)

∑

)

n=0

n=0

E = kT 2 ∂(ln zN )

∂T = NkT 2 ∂(ln ehν kT (ehν kT −1)−2 )

∂T = Nhν 1 + 2

(ehν kT −1) .

6.4. Учитывая (6.25), после вычисления

S = ∫CV dT T

воспользоваться (5.22):

6.6. Поскольку при T = 00 K E = 3Nε

F

5 , то свободная энергия

0

следует pV 5 3 = const ,

что

совпадает

с уравнением

адиабаты

классического

идеального

газа. 6.7.

F = NkT ln (1 −e−hν kT ). 6.8.

42000 K . 6.9.

v = 2 kθD d h =

=12 км с.

6.10. Число ударов электронов с

импульсом

p ,

ориентирован-

ным под

углом

θ

к

нормали

стенки,

равно

их

плотности

dn( p) = f 4πp2dpsin θdθ h3 , умноженной

на

объем

( p cos θ)

m. Т.к.

f =1

π 2 pF

(p cosθ m)dn( p) = 2πmε2F

при T = 00 K и

f = 0

при T > 00 K , то ν = ∫

∫

h3 =

0

0

= (hπ 2m)(3n 8π)4 3 . 6.11. При

T >>T

функция состояний

z

в

=T T . Считая

в

в

интенсивность

I ( j, T ) = An(εj )

N = A(Tв

T )

(2 j +1)e

− j( j+1)Tв T

непрерывной

функцией

j , из условия

∂I ∂j = 0

находим j(max)

= (

2T Tв −1)

2 . Максимум

излучения

I ( jmax , T ) = A

2Tв T exp{−(2 −Tв T )

4}≈ A 2Tв

T (1 +Tв

2T )

приходится

на

частоту

(см.

пример

4)

ν = (εj(max) +1 − εj(max) )

h =

= 2kTв ( j(max) +1)

h = kTв (1 +

2T Tв )

h .

6.12.

Излучение Солнца считается

равновесным,

а

при

данных

задачи

hν

1

kT 10−4

его

спектральная

C

плотностью (см. пример 5)

имеем ξε(ν, T )dν = ξcρ(ν, T )dν 4 .

Полная

мощность

шумового

сигнала,

принимаемая антенной площадью

S , равна

2πS ξkT ν2

c2 2 10−14 Вт. 6.13. Т.к. плотность фотонов вблизи частоты ν

C

равна dn(ν)= fф g (ν)dν, то

из

(6.30) при n(ν) =1 и (6.34)

следует

∞

∞ ∞

∞

N =8πV (kT hc)3 J ,

где J = ∫x2 e−x

(1 −e−x ) dx = ∑∫x2e−nxdx = Г(3)∑1 n3 ≈

0

n=1 0

n=1

≈ 2.6 . Уравнение адиабаты

pV 4 3 = const находим из (6.39). 6.14. C = 4αVT 3 .

V

4

2

Т.к. p = αT

3

не зависит от объема V , а Cp = CV

−T (∂p ∂T )V

(∂p ∂V )T , то

Cp → ∞. 6.15.

Относительная заселенность n-го уровня энергии

dN (n) N =

= dw

(

n, (T

T )

)

= exp(−nT

T )

∞

exp(−nT T )

= exp(−nT

T )

1 −e−Tk T

)

,

k

k

∑

k

k

(

вращательного ( p = в) движений N молекул –

Sp

+T

∂(ln zp )

= Nk ln zp

∂T .

Характеристическая

температура

вращения –

T = h2 (m + m )

8π2r2m m k

в

c

0

c

0

2.70 K .

Поскольку

T T = 222 >>1, то функция

состояний вращательного

в

= Nk (ln (T Tв )+1) 12.7 кал/ град.моль.

движения

zв ≈T Tв ,

а

энтропия

Sв

Характеристическая

температура

{

колебательного

движения

−Tк T

−Tк T

−Tк T

}

Tк = hv k = 3100

0

K ,

а

энтропия

Sк =

Nk Tкe

T (1 −e

)−ln (1 −e

) ≈

≈ Nke−Tк T (1 +T T )≈ 0.07 кал/ град.моль.

к

флуктуации

∆W = Mv2

2 ,

где v – скорость макроскопического движения.

Вероятность

флуктуации

скорости

w(v)~ exp(−∆W kT )~ exp(−Mv2 2kT ).

v0x2

Отсюда

= kT M

и

v2

= kT M .

7.2.

После

возведения

в квадрат и

усреднения дифференциала тепловой функции

∆H =V

∆p +T∆S

имеем (см.

2

2

пример 1) (

∆H )

−V

= kT CpT

(∂p ∂V )S . 7.3. См. пример 1, (7.7а) и (7.13)

∆T ∆p = (kT

CV )(∂ p ∂T )V .

(kT

r∆T ,∆p = ∆T

∆p

2

2

7.4.

r∆V ,∆S = kT (∂V ∂T )p

. Для

идеального

газа r∆V ,∆S =

−kT (∂V ∂p)T kCp

=1

5Nk 2 . 7.5.

= kT . 7.6. ϕ2 = kT mgl . 7.7. Среднее число фермионов

∆S∆T

«+»

и

бозонов

«–»

с

энергией

εj

описывается

распределением

= exp((εj −µ)

kT )±1 − 1 .

Так

как

(∆nj )2

= kT (∂n j

∂µ)

(пример 5), то

nj±

j+ (1 −

j+ ),

(

j− ).

(∆nj+ )2

=

(∆nj− )2

=

j−

1 +

Дисперсия числа

фермионов

n

n

n

n

конечной, равной единице и при очень больших n j− .

7.8. Дисперсия полного

2

2

(ε j −µ) / kT

(εj −µ) / kT

числа бозонов (см. 7.7) (∆N )

= ∑n j− (n j− +1)= ∑e

.

e

−1

j

j

∞

ehν kT

8πV ν2dν

8πV (kT )3

∞

ex x2dx

(∆N )

2

= ∫

c3

=

(ch)3

∫

.

(

hν kT

)

2

(

x

)

2

0

e

0

e

−1

−1

∞

x

2

dx

∞

e

−x

x

2

∞

∞

π

2

Т.к. ∫

e x

= ∫

dx

= ∑

∫nx2e−nxdx =

, то

окончательно получаем

x

2

−x 2

0

(e

−1)

0

(1 −e

)

n=1 0

3

g(ε)dε = 4πV (2m h2 )3/ 2

εdε,

=

j (1 −

j ),

и значения

εdε = A

(∆nj )2

находим

n

n

∞

ε(∂n ∂ε)dε,

− 1

(∆N )

2

= −AkT ∫

(ε−µ) kT

где n =

e

+1

. Вводится новая перемен-

0

ная x = (ε −µ)

kT . Поскольку подынтегральная функция заметно отлична от

нуля

вблизи

ε ≈ µ ( x = 0 ),

а в

силу

неравенства

µ kT >>1, то

нижний

предел

интеграла

считаем

равным −∞ , а

µ+ kTx

µ + (kT

2

µ) x −

− (kT )2

8

µ3

x2

+....

Так

как

функция

∂n ∂x

четная,

(∞) = 0 ,

n

∞

(∂n ∂x)dx . Интегриро-

(∆N )

2

2

3

∫x

2

n(−∞) =1,

то

= AkT

8

µ

µ + 2 (kT )