Метода термодинамика(практика)
.pdf90
9.УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ОТВЕТЫ.
1.1.Интегралы сводятся к Γ-функциям. 1.2. Воспользоваться формулами
для интеграла Пуассона. 1.3. Сделать замену y = x + a . 1.4. Разложить экспоненциальную функцию в ряд и провести почленное интегрирование. 1.6. Воспользоваться свойствами якобиана преобразования 1.8. x = r cos ϕ,
y = r sin ϕ, |
D(x, y) D(r, ϕ) = r . |
1.9. |
r2 sin ϕ. 1.11. а) |
да; |
б) |
нет, |
кроме y =1; |
||||||||||
в) нет. 1.12. а) abey |
|
x(1 − y) |
|
; б) 2 |
|
x2 − y2 |
|
x2 + y2 . |
1.13. |
а) Необходимым |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
условиям |
экстремума |
( fx′ = 0 , |
fy′ = 0 ) |
соответствуют |
точки |
M1 (0, 0) |
и |
||||||||||
M2 (1, 1) . Достаточное |
условие |
′′ |
′′ |
|
′′ 2 |
|
|
|
только |
для |
|||||||
fxx fyy −[ fxy ] > 0 выполняется |
M2 (1, 1) . Поскольку fxx′′(1, 1) > 0 , то в M2 (1, 1) функция минимальна. 1.14. а) да; б) нет; в) нет; г) нет. 1.15. а) F(x, y) ≈ (x + y)[1 + (x − y)2] . 1.16. Представить функцию x2 рядом Фурье (1.18) на интервале [−π; π] . После вычисления
π
an = (1π) ∫ x2 cos nx dx подставить в полученное представление значения x = 0
−π
иx = π. 1.17. Представить функцию x4 рядом Фурье на интервале [−π; π] и
следовать указаниям к 1.16. 1.18. Функцию (ex −1)− 1 представить суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем e− x для
∞ |
∞ |
∞ ∞ |
|
x > 0 : ∫x3e− x ∑e− nxdx = ∑∫x3e− jxdx . Замена |
jx = y и использование |
||
0 |
n=0 |
j=1 0 |
|
соотношения предыдущей задачи дает требуемое доказательство.
2.1. 1.−0,29 ; 0,064 . |
2.−0,784 . 3.−0,216 . 2.2. 1,2 ; |
0,72 ; |
0,707 . |
2.3. После |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|||
представления интеграла |
∫ ...e− |
|
y |
|
dy в |
виде суммы |
|
∫ ...ey dy + ∫...e− ydy |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вычисления дают |
|
|
, |
|
(∆x)2 |
= 2 , |
|
δx =1, 41. 2.4. |
−0,11; |
2 3; |
4 3; 8 9 . |
||||||||||
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2.5. m ≥ lg(1 − P) |
lg(1 − p) . |
|
2.6. |
|
|
|
A = 1 |
|
∫ dx (1 + x2 ) |
=1 π2 ; |
|
x = y = 0 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
w(x [x1, x2 ]) = (1 π)arctg[(x1 − x2 ) |
(1 + x1x2 )] ; |
w(x [−1, 1]) = 0,5 ; |
|||||
w(x, y [−1, 1]) = 0.25 . |
|
|
= (2πδ2 )− 1/ 2 |
∞∫ x4e− x2 2δ2 dx = 3δ2 ; |
|
|
|
2.7. |
x4 |
δ2 ≡ |
x2 |
. |
|||
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
2.8. 1 −(1 −136)24 ≈ 0, 4914 . 2.9. а) Вероятность выпадения шестерки в любом из
m |
бросаний |
равна |
W (1) = C1 (1 −1 6) |
6 = |
m! |
|
(1 −1 6)m−1 . |
W (1) = 0,402 . |
|||||
|
|
|
|
m |
m |
|
|
(m −1)! 6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
1 −(1 −1 6)6 0,665 . 2.10. |
а) |
1 16 ; |
б) |
7 16 . |
2.11. |
Наибольший отрезок |
||||||
принимается за единицу, два других можно изобразить в виде |
x -ой и |
y -ой |
|||||||||||
координаты |
точки |
в плоскости |
XY . |
Условие |
положительной реализации |
||||||||
x + y >1, т.е. половина квадрата, |
разделенного диагональю x + y =1. Отв. |
0,5. |
|||||||||||
2.12. Вероятность работы лампы за время t + ∆t |
определяется произведением |
||||||||||||
вероятностей |
независимых |
событий |
P(t + ∆t) = P(t) P(∆t) = P(t)(1 −α∆t) . |
||||||||||
Учитывая |
малость |
∆t , имеем |
P(t + ∆t) ≈ P(t) +(∂P ∂t) ∆t . |
Из уравнения |
|||||||||
P′ P = − α |
следует |
P(t) = Ce− α t . В |
момент t = t0 |
лампа |
работала, |
т.е. |
P(t0 ) =1 = Ce− α t0 , а P(t) = e− α (t−t0 ) . 2.13. Вероятность выхода из строя лампы за
гарантированный срок равна |
w(τ) = qτ =1, |
а за время t |
− w(t) = t τ. |
Вероятность работы системы |
из n ламп − |
P (t) = (1 −t τ)n . |
Если считать |
|
|
n |
|
невозможным эксплуатацию системы, когда Pn (t0 ) меньше заданной
вероятности |
P , |
то |
P =[1 −t0 |
τ]n . Отсюда |
следует |
t0 ≤ (1 − P1 n ) |
τ. |
||||||||||||||
2.14. |
|
Поскольку |
1 − P <<1, |
|
то, согласно 2.13, |
P = 0,9 ≈1 − nt0 |
τ |
и |
|||||||||||||
t0 = (1 − P) τ n =16,6 час. |
2.15. |
τ = nt (1 − P) = 60000 час. |
2.16. |
Надежность |
|||||||||||||||||
работы |
одного |
комплекта |
H1 =1 − P1 , |
где |
P1 = n 100 , |
а |
аппаратуры |
с |
m |
||||||||||||
комплектами |
|
равна |
H |
m |
=1 − Pm . |
Увеличение |
надежности |
есть |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
m |
H |
1 |
= (1 − Pm ) |
(1 − P) . |
2.17. |
k =1,05 . |
2.18. |
Вероятность |
нахождения |
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
молекулы на высоте |
z равна отношению объемов dV (z) V , |
где V = πR2 H 3 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
dV (z) = πr2dz = π[(H − z)R H ]2 dz . |
Отсюда |
f (z) = 3(H − z)2 |
H 3 . |
2.19. |
0,328. |
||||||||||||||||
2.20. |
|
(b + a) |
2 ; |
(a2 + ab +b2 ) |
3 ; |
(a −b)2 |
12 . |
2.21. |
Для |
гармонических |
|||||||||||
колебаний x = Asin(2πt T ) , где T |
− период. Вероятность нахождения точки в |
интервале dx равна отношению времени прохождения ею этого интервала dxx
к T2 , т.е. dw(dt) = dx[πAcos(2πtT )]; dw(x) = dx(π A2 − x2 ). 2.22. 12π.
92
2.23. (sin α) 2 . |
2.24. x = a π 2 . |
2.25. Чтобы ближайший сосед |
молекулы |
|||||||||
находился на расстоянии между r |
и r + dr , необходимо: 1) наличие соседа (эта |
|||||||||||
вероятность равна α dV = 4πr2 αdr ); |
и 2) |
расстояние между ними должно |
||||||||||
быть не меньше |
r . Вероятность |
того, что ближайший сосед находится на |
||||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
расстоянии, меньшем |
r , равна |
P = ∫ f (ξ) dξ, а большем r |
– |
(1 − P ). Эти |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
′ |
события независимы, |
поэтому: |
f (r) dr = 1 − |
∫ f (ξ) dξ α |
4πr |
2 |
dr , |
f |
|||||
|
(r) f (r) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= −4παr2 + 2 r ; |
f (r) = Cr2e− 4π α r3 3 . |
Определив |
C = 4πα |
|
из |
условия |
||||||
нормировки, получим |
f (r) = 4παr2 exp(−4παr3 3). Существует экстремальное |
|||||||||||
значение r = r0 |
( f ′(r0 ) = 0 ), отвечающее наиболее |
вероятному |
расстоянию |
между ближайшими соседями. 2.26. f (h) = r2 (r2 + h2 )− 32 , (см. 2.23). 2.27. Углы
падения ϕ и преломления ψ связаны |
равенством |
sin ϕ = æsinψ. После |
||||||||||||||
дифференцирования cos ϕ dϕ = æ cosψ dψ имеем dϕ= æ cosψ dψ |
1 − æ2sin2ψ . |
|||||||||||||||
Поскольку f (ψ) dψ = C sin ϕ dϕ, то |
f (ψ) = C æ2 sin ψ cos ψ |
1 − æ2 sin2 ψ . |
||||||||||||||
I. Для æ <1 |
– существует |
полное внутреннее отражение. Преломление |
||||||||||||||
имеет |
место только |
для |
углов |
|
0 ≤ ϕ≤ arcsin æ , |
0 ≤ ψ ≤ π 2 . |
Отсюда следует |
|||||||||
|
|
|
π 2 |
æ2 sin ψcosψ dψ |
=1; C =1 (1 − |
|
|
|
) и функция |
|||||||
условие нормировки |
∫ C |
1 − æ |
2 |
|||||||||||||
1-æ |
2 |
sin |
2 |
ψ |
|
|||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (ψ) dψ = |
æ2 sin 2ψ dψ |
||||||
распределения для углов преломления |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
2(1 − 1 − æ2 |
) |
|
1 − æ2 sin2 ψ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
II. |
Для |
æ >1: |
0 < ϕ< π 2 ; |
0 < ψ < arcsin æ−1 , |
C ∫ sin ϕ dϕ =1, |
|||||||||||
f (ψ) dψ = æ2 sin 2ψ dψ (2 |
1 − æ2 sin2 ψ ). |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
2.28. |
Вероятность |
|
прохождения |
|||||||||||||
молекулой пути |
x + dx без столкновения равна W (x + dx) =W (x) dW (dx) = |
=W (x)(1 − adx) . Представив левую часть линейной функцией малого параметра
W (x) + (∂W∂x) dx +... =W (x) − aW (x) dx , получаем ∂W ∂ x = −aW (x) ,
W (x) = Ae− ax . Считая W (0) =1 = A , находим W (x) = e− ax . Средняя длина пробега
∞
равна λ ≡ x = ∫xdp , где dp =W (x)a dx − есть вероятность свободного
0
93
прохождения молекулой пути x с последующим столкновением: λ ≡ x =1 a . Поскольку функция W (x) = e− xλ не связана с точкой отсчета в пространстве, то возможно экспериментальное определение λ путем измерения отношения количества молекул пучка, «осевших» на двух разнесенных в вакууме полупрозрачных сетках. 2.29. Вероятность угадать произвольное число из N
есть w =1 N , |
а – n «счастливых» чисел определяется распределением Бер- |
||||
нулли |
W |
(n) |
= Cn wn (1 − w)N −n . |
W (3) ≈ 0,06 ; |
W (6) ≈ 0.00042 . 2.30. Данные |
|
N |
|
N |
49 |
49 |
задачи позволяют считать, что N >>1, w <<1 и использовать распределение
Пуассона, |
|
в котором |
среднее |
число |
потерянных целей |
|
n |
= Nw =1. |
||||||||||||
а) Вероятность |
|
потери |
s целей |
равна |
WN (s) = ( |
|
)s e− |
|
|
s!; |
W0 (1) = e− 1 ; |
|||||||||
n |
n |
|||||||||||||||||||
W (2) = e−1 |
2 . |
|
б) |
Вероятность |
потери |
хотя бы |
m |
|
целей – |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PN (m) = ∑( |
|
)k e− |
|
|
k! =1 − ∑(n )k e− |
|
|
k!: PN (1) =1 −e− 1 ; PN (2) =1 − 2e− 1 . |
||||||||||||
n |
n |
n |
||||||||||||||||||
k =m |
|
|
|
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1. Фазовая траектория − прямая, параллельная оси q . 3.2. Из закона сохранения энергии следует уравнение параболы z = z0 + p02 2m2 g − p2 2m2 g . 3.4. За время t вершины ∆A1 A2 A3 переместятся в точки фазового пространства
′ |
|
′ |
|
′ |
, z3 ) , |
где p1 = p0 − mgt , |
z1 = z0 + p0 t |
m − gt |
2 |
2 , |
A1( p1, z1) , |
A2 ( p2 , z2 ) , |
A3 ( p3 |
|
|||||||
p2 = p1 , |
z2 = z1 + a , |
|
p3 = p1 +b, |
z3 = z1 +bt m . Из |
равенства |
площадей |
||||
∆A1 A2 A3 |
и |
′ ′ ′ |
следует |
справедливость теоремы |
Лиувилля. |
3.5. После |
||||
∆A1 A2 A3 |
соударения размерность фазового пространства сокращается вдвое, так как шары начинают двигаться как единое целое. Поэтому якобиан преобразования имеет две одинаковые строки и равен нулю. 3.6. Поскольку скорость постоянна, то начальный импульс p0 = const , а при отражении меняет знак вблизи стенок q = ±l . Это изменение происходит не мгновенно, а непрерывно под действием
упругой силы со стороны стенки −kq : кинетическая энергия частицы p2 2m переходит в потенциальную kq2 2 , и в фазовом пространстве соответствующие
p0 |
|
|
части траектории – дуги эллипса. 3.7. Γ = ∫ |
zdp = 2 p03 |
3m2 g . 3.8. Из закона |
− p0 |
|
|
сохранения энергии ∫r (ee1 r2 ) dr = (p02 − p2 ) |
2m и |
p0 = mv0 = 0 следует |
r0
94
p = 2mee [1 r −1 r ] . 3.9. x = x + ( p2 |
− p2 ) 2eEm . |
3.10. а) Решая уравнение |
|||||||||
|
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
движения |
mq = −γq |
с начальными |
условиями |
[ q(t = 0) = v0 , |
q(t = 0) = q0 ], |
||||||
найдем |
q = q + mv |
0 |
γ − mv |
0 |
e− γt m γ, |
v = v |
0 |
e− γt m |
и фазовую |
траекторию |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
q = q0 + m(v0 − v) |
γ. |
|
При движении системы по фазовой траектории из точки |
(q0 , v0 ) в точку (q, v) ее элементарный фазовый объем становится равным
dvdq = D(v, q) D(v0 , q0 ) dv0 dq0 = e− γtm dv0 dq0 . Т.е. фазовый объем с течением времени экспоненциально уменьшается. Теорема Лиувилля выполняется при отсутствии трения ( γ = 0 ).
б) Уравнение движения |
mq + mω02 q = −γq |
(см. Пример 2). Решение его |
с |
|||||||||||||||||||||
учетом малости γ |
( 4ω2m2 >> γ2 ) и |
начальных |
условий [ v(t = 0) = − q ω ] |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
q = q e− γt m cos ω |
0 |
t , |
q = v = q e− γt m |
ω |
0 |
sin ω |
0 |
t описывает фазовую траекторию в |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
виде эллипса с убывающими со временем по закону e− γt m полуосями: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
+ |
|
|
|
v2 |
|
=1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
q2e− 2γt m |
q2 ω2 e− 2γt m |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменение |
фазового объема |
|
равно |
e− γt m . |
3.11. |
Ω(ε)dε = 1 h3 |
) |
(∂Γ ∂ε)dε, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
Γ = 4πε3V |
3c3 , Ω(ε)dε = (4πVε2 c3h3 ) |
dε. 3.12. Координатыx1 , |
x2 , |
x3 можно |
||||||||||||||||||||
принять |
за |
обобщенные, |
тогда |
им |
соответствуют обобщенные |
импульсы |
||||||||||||||||||
p1 = 2mεcosωt , |
p2 = 2m(ε + ∆ε) cosωt , |
p3 = |
2mεcos(ωt + δ) . |
Площадь |
||||||||||||||||||||
треугольника выразим через координаты его вершин |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x3 |
p3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
S = |
|
x |
2 |
p |
2 |
|
1 |
= m |
ε∆ε sin δ. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
p |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Независимость площади треугольника от времени и доказывает справедливость теоремы Лиувилля для трех гармонических осцилляторов. 3.13. Координаты и импульсы до и после соударения соответственно равны qi , pi и qi′, pi′. Из
закона сохранения |
|
′ |
′ |
, |
2 |
2 |
2m2 = |
||
импульса и энергии p1 + p2 = p1 |
+ p2 |
p1 |
2m1 + p2 |
||||||
′2 |
′2 |
2m2 |
следует |
|
|
|
|
|
|
= p1 |
2m1 + p2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
p1′ = (m1 − m2 ) p1 |
(m1 + m2 ) + 2m1 p2 (m1 + m2 ) , |
|
q1′ = q1 ; |
|
||||
|
′ |
= (m1 |
− m2 ) p2 |
(m1 + m2 ) + 2m2 p1 (m1 + m2 ) , |
|
′ |
= q2 . |
|
|
|
p2 |
|
q2 |
|
95
Якобиан преобразования равен |
′ |
′ |
′ |
′ |
= |
′ |
′ |
= −1, т.е. объем |
D( p1 |
, p2 |
,q1 |
,q2 ) |
D( p1 |
, p2 ) |
|||
|
D( p , p ,q ,q ) |
|
D( p , p ) |
|
||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
фазового пространства сохраняется. 3.14. Фазовое пространство для данной
системы |
четырехмерное. |
Условие |
сохранения |
|
фазового |
|
объема: |
|||||||
|
′ ′ ′ ′ |
Т.к. |
координаты |
шаров |
до |
|
и |
после |
||||||
dv1dv2dx1dx2 = dv1dv2dx1dx2 . |
|
|||||||||||||
столкновения одинаковы, то |
dx dx |
′ |
|
′ |
, а |
dv dv |
|
′ |
′ |
. С |
|
течением |
||
= dx dx |
|
|
= dv dv |
|
|
|||||||||
|
|
1 2 |
1G |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
времени все точки фазового объема |
dv dx |
|
перемещаются параллельно оси x |
(горизонтальный желоб!), однако эти смещения за одинаковый промежуток времени будут тем больше, чем больше скорость v . Поэтому прямоугольный элемент фазового объема со временем примет вид параллелограмма, а величина объема не изменится. 3.15. Задача сводится к вычислению интеграла
Γ = ∫ ∫ ∫ |
∫ dϕ dθ dpϕ dpθ |
|
по |
области, |
ограниченной |
поверхностью |
||||
|
(ϕ) (θ) ( pϕ ) ( pθ ) |
|
|
|
|
|
|
|
||
H = const . |
Пределы |
|
интегрирования |
ϕ [0, 2π] , |
θ [0, π], |
|||||
p −sin θ |
2mr2 H − p2 ; sin θ |
2mr2 H − p2 . |
После |
замены |
переменной |
|||||
ϕ |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
p = sin u 2mr2 H |
имеем |
Γ = 4πmr2 H . 3.16. Из |
распределения Гиббса |
|||||||
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw(H ) = C e−H kT (∂Γ ∂H ) dH . |
Из |
задачи |
3.15 |
∂Γ ∂H = 4πmr2 , и |
||||||
|
− H kT |
|
|
∂H ≠ 0 , |
т.е. данное распределение не имеет максимума, и |
|||||
∂ e |
|
(∂Γ ∂H ) |
поэтому не существует наивероятнейшей энергии, а, следовательно, устойчивого состояния системы. 3.17. Поскольку для весьма большого числа
частиц |
множитель |
распределения |
Гиббса |
e− ε θ ∂Γ ∂ε ≈ δ(ε −ε ) , то |
||||||
|
|
= F ( |
|
), где F(ε) |
− произвольная |
функция |
энергии. Отсюда следует |
|||
|
F(ε) |
ε |
||||||||
требуемое доказательство. 3.18. См. указания к 3.17. 3.19. z =1 |
[2sh (hν 2kT )]. |
|||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
3.20. z = ∑e− j( j+1)Tв T (2 j +1) , где Tв = h2 |
8π2 I k . При высоких |
температурах |
||||||||
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
Tв <<T |
|
|
z ≈ ∫e−x( x+1)Tв |
T (2x +1) dx =Tв |
T . |
При |
низких |
температурах |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
z ≈1 +3exp[−2Tв T ] . 3.21. z = (2πmkT h2 )32 V . 3.22. Элемент фазового объема d Γ = 4πVε2dεc3 , а z =8πV (kThc)3 .
96
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. |
|
а) |
|
|
|
W (vx ≤ v0 ) =W1 = (m 2πkT )1 2 ∫ e− mv2x |
2kT dvx . |
После замены |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменных v |
x |
= (2kT m)1 2 x |
|
( v |
0 |
|
= 0,1 (2kT m)1 2 , |
|
x = 0,1) |
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
−x |
2 |
|
0,1 |
|
−x |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
0,1 |
∞ |
|
|
n x |
2 n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∑(−1) |
|
|
dx ≈ 0,56 ; |
||||||||||
W1 = |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
dx + |
e |
|
|
dx |
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
n! |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) W (v |
x |
, v |
y |
≤ v |
0 |
) =W |
2 |
; |
в) |
W (v |
x |
, v |
y |
, v |
z |
≤ v |
0 |
) =W |
3 |
. 4.2. Элемент фазового |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
объема и характер распределения Максвелла не изменится. Сместятся его
|
|
|
|
|
|
(∆ε)2 |
= |
|
− |
|
2 , δε |
|
|
|
|||||||
максимумы. 4.3. Из (4.7), (4.15) находим |
ε2 |
= 2 3 , δE = |
2 3N . |
||||||||||||||||||
ε |
|||||||||||||||||||||
4.4. |
dN = 2(S N V )(2kT πm)1 2 sin θcos θdθ. |
4.5. ε |
вер |
= kT 2 , |
mv2 |
2 = kT . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вер |
|
||
4.6 dN = 2π( pV kT )(1 −cosα)(m 2πkT )3 2 e− mv2 |
2kT v2dv , M = mdN = (Mr |
NA )dN . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
∞ |
|
||||
4.7. |
Воспользоваться |
формулами |
|
v2 |
= ∫v2dW (v) , |
|
v2x |
= 2∫v2xdW (vx ) , |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= |
|
− |
|
2 . 4.8. В единицу времени через отверстие S |
|
||||||||||||||
(∆v)2 |
v2 |
пройдет Sv dn(v ) |
|||||||||||||||||||
v |
молекул с проекцией скорости v , нормальной к отверстию. Общее их число
∞
( 0 ≤ v ≤ ∞): dN dt = S0n(m 2πkT )1 2 ∫v e− mv 2kT dv = pS0 (2πmkT )− 1 2 . 4.9 Из
0
(4.16) находим среднюю относительную скорость молекул основного газа и
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
, где |
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
примеси u = (2 π )(2kT µ) |
µ = mm (m + m ) . Их число столкновений за |
||||||||||||
единицу |
|
времени |
равно |
ν = nσef |
|
(4.17), где |
σef = π ( |
σ + σ′ ) 4π ≈ |
|||||
|
u |
||||||||||||
≈ (σ+ σ′ ) 2 . Так |
как |
средняя скорость движения молекул основного газа |
|||||||||||
|
|
= (2 |
π )(2kT m)1 2 , |
то |
длина |
|
свободного |
пробега |
равна λ = v v = |
||||
|
v |
|
= (1 σef n)(m′(m + m′))12 . 4.10. Пусть v0 − относительная скорость бесконечно разделенных молекул, r0 − прицельное расстояние ( r0 vG0 ) (Рис. 9.1). Законы сохранения энергии и момента импульса ( mvG0 ×rG0 = m[(rG + rϕG) ×rG) ) в полярных координатах: m(r + r2 ϕ2 )− 2αrn = m v02 ; mr2ϕ = mr0 v0 . Исключая угловую ско-
рость, находим r2 + r02 v02 r2 − 2αmrn = v20 В точке наибольшего сближения молекул радиальная скорость r обращается в нуль. При этом минимальное расстояние между молекулами rmin находится из условия v02 (r02 rmin2 −1)= 2αmrminn .
97
Если rmin ≤ 2R , где R − радиус твердой сферы ( v = ∞), то молекулы сталкиваются, если rmin > 2R , они пролетают, не соприкасаясь друг с другом.
Условие соприкосновения rmin = 2R = D будет выполнено для прицельного
расстояния |
r02 = D2 (1 + 2α mv02 Dn ). |
Соответствующее эффективное сечение |
|||||
2 |
2 |
2 |
n |
|
|
|
|
σ = πr0 = πD |
1+ 2α mv0 D |
|
|
R |
|
||
зависит от относительной |
|
|
|||||
скорости. |
Притяжение |
|
ϕ |
|
|||
между молекулами увели- |
|
|
|||||
|
|
r |
|||||
чивает эффективное сече- |
rmin |
||||||
|
|||||||
ние. Возрастание |
сечения |
β |
|||||
|
r0 |
||||||
пропорционально |
|
|
|
||||
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
1 + 2α |
mv0 D |
, |
|
|
|
v 0 |
|
т.е. зависит от отношения |
|
|
|||||
потенциальной |
энергии |
|
Рис. 9.1 |
|
|||
притяжения |
и кинетичес- |
|
|
|
кой энергии движения ( mv02 2 ). При большой относительной скорости искривление пути, вызванное притяжением, оказывается небольшим и мало сказывается на значении сечения.
Среднее значение эффективного сечения (формула Сюзереленда) зависит от
температуры: σ = πD2 1 +(2α mDn )(1v20 ) = πD2 (1+ const T ) . С ее увеличе-
нием σ стремится к величине геометрического сечения. От конкретного вида
взаимодействия ( α, n ) зависит значение |
const . 4.11. P = (n 6) ∫v 2 pdW . Так |
как v = (∂ε ∂p), то давление |
|
∞ |
∞ |
p = (Nl 3V )∫α pl (4πV ) f ( p) p2dp = (Nl 3V )∫ε dW = lNε 3V = lE 3V .
0 0
4.12. Считая молекулу твердым телом с главными моментами инерции |
I j и |
||||||
проекциями угловых |
скоростей ωj |
на оси |
инерции, |
находим вероятность |
|||
3 |
∞ |
|
|
|
|
|
|
dW = ∏{ e− ε j kT dωj |
∫ e− εj kT dωj}, |
где |
εj = I j ω2j |
2 . |
4.13. |
n1 |
n2 = |
j=1 |
− ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98 |
|
|
|
|
|
= πerf (1) − 2e−1 |
|
|
π(1−erf (1)) + 2e−1 , где erf (1) = 0,84 . 4.14 Если плотность |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
воды ρж , то эффективная масса mef одной частицы равна mef = m −ρж V . |
Из |
||||||||||
барометрической |
|
формулы |
находится плотность |
распределения |
зерен |
||||||
ρ(z) = ρ |
0 |
e−mef gzNA RT . |
|
Т.к. |
ρ(H ) ρ = 0,5 , |
то |
H = (RT ln 2) m N |
A |
g , |
||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ef |
|
||
NA = RT ln 2 mef gH , |
dNA NA = α = dH H . 4.15. m = µ NA , z = kT mg = 7,5 км. |
||||||||||
4.16. Число молекул в бесконечном столбе воздуха с основанием 1 см2 |
равно |
∞∞
n∞ = ∫n(z) dz = ∫n0e−mgz kT dz = n0 (kT mg) = n0 7,5 105 , где |
n0 = 2,69 1019 cм− 3 |
– |
||
0 |
|
0 |
|
|
плотность молекул у поверхности Земли (число Лошмидта). n = 2,11 1025 |
= |
|||
|
|
|
∞ |
|
= 2,11 1025 N |
A |
=35 моль. Масса бесконечного столба |
воздуха M = µn = |
|
|
|
∞ |
|
= 29 35 г 1кг, авес P = Mg = 9,8 Н . 4.17. u = kT {1 − mgh(kT [exp(mghkT ) −1])}.
4.18. См. пример 7. Учитывая зависимость ρ(r) = m′n(r) , плотность белка вблизи оси ρ(0) = m′n(0) = n0 (R)exp(−m′ω2R2 2kT ) , ρ(R) = m′n0 (R) . Масса белка
|
|
|
− exp( |
′ |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2kT ) |
|
|
R |
1 |
−m ω |
|
R |
|
|
−(R −b) |
|
|
|||||
M (R −b ≤ r ≤ R) = 2πlm′ ∫ n(r)r dr = M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 2 |
|
|
|
|||
R−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 −exp(−m |
ω R 2kT ) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
4.19. Выделим на поверхности сферы площадку ∆S |
= I R2dψ, где dψ − элемент |
→
телесного угла с нормалью I , направленной во внешнюю область. На ней построим цилиндр, образующие которого численно равны абсолютной скорости атома, а ось составляет угол θ с нормалью к поверхности. Через эту поверхность за единицу времени вылетят все находящиеся внутри цилиндра
|
|
|
mv2 |
атомы, для |
которых |
vcosθ ≥ 0 : dν(v) = ∆S vn 2π(m 2πkT )3 2 e− 2kT v2dv × |
|
π 2 |
|
|
|
× ∫ sin θd (sin θ) . Для преодоления силы притяжения атомы должны обладать |
|||
0 |
|
|
|
кинетической |
энергией, |
удовлетворяющей |
условию mv02 2 ≥ γMm R . Число |
атомов, покидающих поверхность планеты |
4πR2 за единицу времени равно |
∞
ν = 4πR2nπ(m2πkT )3 2 ∫e− mv2 2kT v3dv = 4πR2n(kT2πm)1 2 e−γmM kTR (1+ γmM kTR) .
v0
∞
4.20. h = z = ∫zdW (z) , (∆h)2 = z2 − z2 . 4.21. Потенциальная энергия отдельной
z0
молекулы массы m , находящейся на расстоянии r от центра массы,
99
U (r) = − γmM r . |
Из |
формулы |
Больцмана |
следует |
n(r) = AeγmM rkT . |
Т.к. |
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫n(r)4πr2dr = ∞, |
то |
система |
неравновесная, |
и |
применение |
распределения |
||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Больцмана |
неправомерно. |
4.22. |
Распределение |
N |
|
невзаимодействующих |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
W (rGj ) = Aexp(−U (rGj ) kT ), |
|
|
|||||
молекул |
W (rG1,rG2 ,....,rGN ) = ∏W (rGj ) , |
где |
|
rj – |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координата |
j –ой молекулы. Вероятность, что n произвольных молекул из N |
|||||||||||||||||||||
находятся |
в объеме |
] |
|
v , |
а |
|
остальные |
|
в |
объёме |
V − v , |
|
равна |
|||||||||
N |
N |
[ |
|
|
N −n , где P(v) = |
∫ |
dW (rG) dv – вероятность, что молекула |
|||||||||||||||
W (n) = Cn Pn (v) 1 |
− P(v) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет координаты внутри |
объема |
v . |
|
Рассмотрим |
частные случаи: а) Для |
|||||||||||||||||
N >> n , |
асимптотика |
W (n) ≈ (NP)n (1 − P)N |
n! |
при |
N → ∞ |
и P → 0 , |
если |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ = lim NP , |
приводит |
|
к |
распределению |
Пуассона: W (n) = lim W (n) = |
|||||||||||||||||
N →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N →∞ |
N |
|||
|
P→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim λn (1 −λ N )N |
n! = λne−λ n!. Среднее число частиц, |
находящихся в объеме |
||||||||||||||||||||
N →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v , |
|
= ∑nW (n) = λ. б) |
Для |
N >>1 |
и |
n >>1 |
с учетом формулы Стирлинга |
|||||||||||||||
n |
n=1
lnWN (n)= nln λ −λ − ln n! = nln λ −λ − nln+ n . Поскольку при n >>1 отклонение от среднего n −λ << λ , то ln n ≡ ln λ [1 + (n −λ) λ] ≈ ln λ + (n −λ) λ − −(n −λ)2 2λ2 +... и lnW (n) ≈ (n −λ)2 (2λ − n)2λ2 ≈ −(n − n )2 2n . Рассматри-
вая полученную гауссовскую функцию W (n) = Ce− (n−n)2 2n как непрерывную, при нахождении C воспользуемся интегральной формулой нормировки. Пределы интегрирования ввиду резкого спада функции при отклонении от
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
среднего значения |
выберем |
от |
− |
∞ до |
∞ C =1 ∫ exp(− |
(n − |
|
)2 |
2 |
|
)dn = |
||||
n |
n |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
2π |
|
. 4.23. ε =1 + 4πn(α + p2 |
3kT ) . 4.24. Центр тяжести газа одного сорта |
|||||||||||
n |
|||||||||||||||
частиц zi = kT mi g − h (exp(mi g kT ) −1); центр тяжести системы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
l |
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
z0 = ∑Nmi z j |
∑Nmi |
= lkT g − h∑mi |
(exp(mi g kT )−1) |
∑mi |
||||||||||
|
|
|
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
|
||
4.25. |
Вероятность |
нахождения |
молекулы |
на расстоянии |
r |
|
от |
центра |
|||||||
центрифуги (см. |
задачу |
4.18) |
равна |
dW (r) = Cemω2r2 2kT rdr . |
Средняя |