Aнтенны и распространение радиоволн

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Харьковский Национальный Университет им. В. Н. Каразина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

случая распределения объёмной плотности зарядов ρэ

по объёму V в виде

ρэ(t − R/c)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

527.99 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

2. ДАЛЬНЯЯ И БЛИЖНЯЯ ЗОНЫ АНТЕННЫ

Если положить δϕ = π/2 (т.е. считать максимально допустимую ошибку определения расстояния от любой точки антенны до точки наблюдения равной λ/4), то

r ≥	2L2	(2.5)
	λ .

Область пространства, удовлетворяющая условию (2.5), называется дальней зоной антенны, а само соотношение (2.5) – условием дальней зоны.

Как следует из (2.3), в дальней зоне
rn ≈ r − ~er · %~n.	(2.6)

Разность фаз между полями, создаваемыми в точке наблюдения различными элементарными излучателями, зависит только от угловых координат точки наблюдения и не зависит от расстояния r. Таким образом, в дальней зоне распределение интенсивности излучения антенны по направлениям в пространстве одинаково при различных расстояниях до антенны.

Найдём угол φ между векторами ~rn и ~r. Из определения скалярного произведения двух векторов следует

cos φ =	~r · ~rn	≈	r~er · (r~er − %~n)	= 1,
	rrn		r (r − ~er · %~n)

т.е φ ≈ 0. Таким образом, все лучи, идущие от излучателей системы к точке наблюдения, расположенной в дальней зоне антенны, можно считать параллельными. Следовательно, любую систему излучателей можно в дальней зоне рассматривать как точечный бесконечно удалённый источник сферических электромагнитных волн. При этом перенос мощности происходит строго в направлении распространения волны.

Область пространства вблизи антенны, не удовлетворяющая условию (2.5), называется ближней зоной антенны. В этой зоне волны, идущие от различных элементарных излучателей, проходят точку наблюдения в различных направлениях. Разность фаз полей от различных излучателей зависит от всех трёх координат точки наблюдения. Соответственно, от трёх координат зависит и интенсивность поля излучения.

Найдём поле ~˙ , создаваемое в дальней зоне в направлении, задаваемом угловыми

E(ϑ, ϕ)

координатами (ϑ, ϕ) рассматриваемой антенной. Из (1.61) следует, что

~˙

E(ϑ, ϕ) =

X ~˙

En(ϑ, ϕ) =

n=1

N	˙	e−ikrn
E	˙	e−ikrn
X
~en (ϑ, ϕ)KAnfn(ϑ, ϕ)			,
n=1		rn
n=1

где ~enE(ϑ, ϕ) указывает направление вектора напряжённости электрического поля n-го излучателя в заданном направлении, A˙n – комплексная амплитуда возбуждения этого излучателя, fn(ϑ, ϕ) описывает распределение интенсивности излучения n-го излучателя. Используя (2.6) в показателе экспоненты в числителе дроби и заменяя rn на r в знаменателе, получим

e−ikr N

˙ f

ik~er·%~n

E(ϑ, ϕ) =

~en

(ϑ, ϕ)An

n(ϑ, ϕ)e

n=1

Учёт (2.2) и того, что ~er = ~ex sin ϑ cos ϕ + ~ey sin ϑ sin ϕ + ~ez cos ϑ, даст

e−ikr

ik(x sin ϑ

E~ (ϑ, ϕ) = K

X~en

(ϑ, ϕ)A˙nfn

(ϑ, ϕ)e

cos ϕ+y sin ϑ sin ϕ+z cos ϑ).

n=1

24	2. ХАРАКТЕРИСТИКИ АНТЕНН

Если все элементарные излучатели, входящие в состав рассматриваемой антенны, ориентированы в пространстве одинаковым образом, то угловое направление на точку наблюдения одинаково для всех них, и

˙	E		e−ikr	N	ik(x sin ϑ cos ϕ+y sin ϑ sin ϕ+z cos ϑ)
				X
~				˙			(2.7)
E(ϑ, ϕ) = ~e		(ϑ, ϕ)Kf(ϑ, ϕ)	r	Ane		.	(2.7)

n=1

Здесь произведение ~eE(ϑ, ϕ)Kf(ϑ, ϕ) учитывает свойства одного излучателя с учётом его типа и ориентации в пространстве, сомножитель e−ikr/r описывает сферическую волну, создаваемую антенной, а сомножитель PNn=1 A˙neik(x sin ϑ cos ϕ+y sin ϑ sin ϕ+z cos ϑ) описывает за- висимость поля от взаимного расположения излучателей и их комплексных амплитуд без привязки к типу излучателей.

Приложение A

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Ниже приводится данный в [ ] вывод выражений для напряжённостей ~ и ~ про-

2 E H

извольно изменяющегося во времени электромагнитного поля по заданным сторонним электрическим токам и зарядам (вихрям и истокам).

Запишем уравнения Максвелла для однородной среды:
		~
~	~			∂E				(A.1)
rot H = j + ε ∂ t						,		(A.1)
		~
~		∂H
rot E = −µ			∂ t		,			(A.2)
	~	ρэ						(A.3)
div E =		ε		,				(A.3)

div	~	= 0.						(A.4)
div	µH	= 0.						(A.4)
	~	и заряды с плотностью ρ					э	заданы. Необ-
Сторонние электрические токи с плотностью j		и заряды с плотностью ρ						заданы. Необ-

ходимо, решив эту систему дифференциальных уравнений, найти напряжённости элек-

~ ~
трического и магнитного поля E и H, выразив их через заданное распределение токов и
зарядов.
Мы можем удовлетворить уравнению (A.4), положив
~	~	(A.5)
H = rot A,

где ~ – некоторый вектор. Заметим, что, наложив условие (A.5) на значение вихря вектора

~
A, мы ещё не определили этот вектор однозначно, так как не задали его истоки.					~
					~
Рассмотрим теперь уравнение (A.2). Подставляя в его правую часть значение H из
~
(A.5), для вихря E получим				rotA~
	rot E~ = −µ		∂
или	rot E~ = −µ	∂ t			(A.6)
	rot E~ + µ ∂ t ! = 0.				(A.6)
	~
			∂A

Теперь мы можем удовлетворить уравнению (A.6), а, следовательно, и уравнению

(A.2), положив, что
	~
~	∂A		= −grad U
E + µ	∂ t		= −grad U
или			~
			~
~	∂A			− grad U.	(A.7)
E = −µ		∂ t		− grad U.	(A.7)
				~	~

Как видно из (A.5) и (A.7), нахождение двух векторов E и H сводится к нахождению

одного вспомогательного вектора ~ и скаляра , для определения которых у нас имеются

A U

ещё неиспользованные уравнения (A.1) и (A.3).

26 A. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

~ ~
Подставляя значения E и H из (A.5) и (A.7) в (A.1) и (A.3), найдём
		2 ~			~
~	~		∂ A		∂A	grad U,			(A.8)
~	~
rot rot A = −j		− εµ ∂ t2		− ε	∂ t
	~					ρ	э
µ div	∂A	+ div grad U = −				ρ		.	(A.9)
µ div	∂ t	+ div grad U = −				ε		.	(A.9)

Воспользовавшись известным соотношением векторной алгебры для произвольных век-

торов ~a, b и ~c

~a × (b ×~c) = b(~a ·~c) −~c(~a · b),

получим

(A.10)

rot rot A = grad div A

− r A,

после чего из (A.8) найдём

div A~

= −~j.

2 ~

∂ U

r2A~ − εµ

∂ A

− grad

+ ε

(A.11)

∂ t2

∂ t

Потребуем, чтобы выполнялось условие

∂ U

div A = −ε

∂ t

(A.12)

В таком случае уравнение (A.11) примет вид

∂

2 ~

− εµ

(A.13)

r A

∂ t2

−j.

Уравнение (A.12) называется уравнением связи.

Подставляя из (A.12) значение div A в уравнение (A.9), получим

∂2U

+ div grad U = −

ρэ

−εµ

∂ t2

или

∂2U

ρэ

(A.14)

r2U − εµ

= −

∂ t2

Таким образом, проекции вектора ~ на оси и скалярная функция удовлетво-

A x, y, z U

ряют уравнению одного и того же типа:

r2ψ − εµ ∂2ψ = −η. ∂ t2

Это уравнение носит название уравнения Даламбера (точнее, д’Аламбера).

Для всех точек пространства, где токи или заряды отсутствуют (η = 0), уравнение Даламбера переходит в волновое уравнение

r2ψ − εµ ∂2ψ = 0. ∂ t2

Положим, что источники электромагнитного поля имеют точечный характер. В этом случае поле и все его характеристики являются функциями только расстояния r от точки, где находится источник поля, до точки наблюдения, и не зависят от угловых координат.

Поэтому для r2ψ или div grad ψ в сферической системе координат имеем

∂2ψ

2 ∂ψ

r2ψ =

∂ r2

∂r

Волновое уравнение примет вид

∂2ψ

2 ∂ψ

∂2ψ

(A.15)

−

εµ

= 0.

∂ r2

∂ r

∂ t2

A. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 27

Введем функцию χ = rψ. Тогда

∂ψ

1 ∂χ

−

∂ r

∂2ψ

1 ∂2χ

∂χ

−

χ.

∂ r2

∂ r

После подстановки этих выражений в уравнение (A.15) получим

∂2χ

− εµ

= 0.

∂ r2

∂ t2

Решением этого уравнения будет любая функция вида

χ(r, t) = ς1(t − r/c) + ς2(t + r/c),

и, соответственно, функция ψ = χ/r будет равна

ψ(r, t) =

ς1(t − r/c)

ς2(t + r/c)

(A.16)

где c = 1/√

εµ

Аргументы функций ς1 и ς2, как видно из (A.16), “распространяются” в направлении радиуса r со скоростью c и −c и имеют одинаковые значения во всех точках одного и того же радиуса, т.е. на поверхности сферы. Для электромагнитных волн c – скорость света в среде.

Таким образом, решение (A.16) есть совокупность сферических волн, т.е. волн, у которых волновые поверхности (или поверхности равных фаз) являются сферами.

Первое частное решение ς1(t − r/c)/r описывает волну, которая со скоростью c распространяется от центра возмущения в бесконечность. Эта волна носит название расходящейся волны. Второе частное решение ς2(t + r/c)/r описывает волну, которая с той же скоростью движется из бесконечности к центру и называется сходящейся волной. В отличие от случая плоской волны амплитуда волны сферической с увеличением r уменьшается.

В дальнейшем для решения нашей задачи достаточно будет взять одно из частных решений. Мы выберем первое частное решение (расходящуюся волну), как наиболее отвечающее физической постановке задачи. В результате можно утверждать, что для точечного источника поля решение уравнения (A.14) во всех точках, не совпадающих с самим

источником, имеет вид
U =	ψ(t − r/c)	,	(A.17)
U =	r	,	(A.17)
	r

где ψ – пока ещё неизвестная функция.

Заметим, что уравнение (A.14) при c → ∞ переходит в уравнение Пуассона для потенциала электростатического поля. Следовательно, решение (A.17) для случая точечного

→ ∞

источника при c

должно перейти в решение, определяющее потенциал точечного

заряда q , которое при переменном заряде q (t) выглядело бы так:

qэ(t)

(A.18)

U =

4πε r

Но (A.17) при c → ∞ переходит в (A.18), если

qэ(t − r/c)

− c

4πε

Таким образом, решение уравнения Даламбера для U в случае точечного источника

имеет вид

qэ(t − r/c)

U =

(A.19)

4πεr

28 A. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Как видно из (A.19), решение уравнения Даламбера отличается от решения уравнения Пуассона тем, что значение функции U в точке, отстоящей от источника на расстоянии r, для заданного времени t определяется величиной заряда не в тот же момент t, а в предшествующий ему t0 = t − r/c, где r/c – время распространения волны от точки источника до точки наблюдения. Стало быть, значение функции U запаздывает по отношению к соответствующему значению заряда qэ.

По аналогии с электростатическим потенциалом, функция U носит название запаздывающего скалярного потенциала электрического типа (так как он создаётся электрическими зарядами).

Имея решение (A.19) для точечного источника, легко составить решение для общего

где R – расстояние от точки определения потенциала до точки интегрирования в объёме

V .

Вследствие того, что уравнения, определяющие проекции вектора ~ в декартовой

системе координат, совпадают с уравнением Даламбера, на основании аналогии (A.13)

~
и (A.14) получаем выражение для A:
A~ = 4π ZV		~		−R	dV.	(A.21)
A~ = 4π ZV			j(t	−R	dV.	(A.21)
	1		j(t	R/c)

Вектор A носит название запаздывающего векторного потенциала электрического

типа.

и зарядов ρ

можно

Часто для приближенных расчётов объёмное распределение токов j

заменить их линейным распределением по контуру проводника L. В этом случае формулы

(A.20) и (A.21) принимают вид:

U =

τэ(t − R/c)

dl,

4πε ZL

I(t

R/c)

A~ =

−

~eL dl.

(A.22)

4π

Здесь τэ – линейная плотность электрического заряда, I – величина электрического тока в проводнике, ~eL – единичный вектор, направленный по касательной к контуру в

направлении его обхода. Значения τэ и I связаны между собой соотношением
	∂ I	= −	∂τэ		(A.23)
				.
	∂ l		∂ t

Если токи и заряды меняются во времени по гармоническому закону eiωt, то ком-

плексные амплитуды скалярного U и векторного A потенциалов определяются через ком-

плексные амплитуды объёмных

ρ˙

и j

и линейных τ˙

и I

плотностей заряда и тока

выражениями

U˙

ρ˙эe−ikR

dV,

4πε

A~˙ =

~j e−ikR

(A.24)

dV,

4π

U˙

τ˙эe−ikR

dl,

4πε

A~˙

I˙ e−ikR

~eL dl,

(A.25)

4π

A. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 29

где k = ω√εµ = ω/c = 2π/λ – волновое число для рассматриваемой среды, λ – длина волны; вместо (A.23) будем иметь

∂I˙ = −iωτ˙э. ∂ l

Используя найденные выражения для запаздывающих потенциалов, по формулам (A.5)

и(A.7) можно найти значения векторов H и E. Заметим, кстати, что для определения

скалярного потенциала U совсем необязательно прибегать к непосредственному интегри-

рованию выражения (A.20). Если из (A.21) найден векторный потенциал ~, то скалярный

потенциал легко вычисляется с помощью уравнения связи (A.12).

Можно вообще не вводить в расчёт скалярный потенциал. Действительно, согласно

(A.5) вектор ~ полностью определяет напряжённость магнитного поля ~ . Зная ~ , путём

A H H

интегрирования по времени уравнения (A.1) находится величина ~ .

Наконец, из (A.1) с учётом (A.5), (A.10) и (A.13) можно найти выражение для ~ не-

посредственно через вектор ~:

	~		2 ~
	∂E	~	∂ A
ε	∂ t	= grad div A − εµ	∂ t2	.	(A.26)

Для гармонически изменяющихся во времени источников поля – токов и зарядов – комплексную амплитуду вектора напряжённости магнитного поля найдём из выражения

		˙	˙
		~	~	(A.27)
		H = rotA,		(A.27)
а комплексную амплитуду вектора напряжённости электрического поля – из (A.1)
		˙	˙
		~	~
	iωεE = rotH
			˙
			~
или из (A.26), откуда для комплексной амплитуды E получим
E~˙ =	1	grad divA~˙ + k2A~˙ .		(A.28)

	iωε

Возможно использование альтернативной формы векторного потенциала, определяе-

~	~		~
мой выражением µH = rotA, а также вектора Герца P , задаваемого соотношением
	~	∂	~
	H = ε	∂ t	rotP .

Электромагнитное поле всегда возбуждается электрическими токами и зарядами. Магнитные токи и заряды, по современным воззрениям, в природе не существуют. Однако введение понятия сторонних плотностей фиктивных магнитных токов и зарядов очень часто упрощает электродинамические расчёты. Особенно эффективно такая модель работает при исследовании щелевых (в том числе микрополосковых) и рамочных излучателей, а также при решении задач возбуждения электромагнитного поля через отверстия в волноводах и резонаторах.

При наличии сторонних магнитных токов и зарядов с плотностями, соответственно, m~

и ρм, система уравнений Максвелла примет вид
	~
~	∂E
rot H = ε	∂ t	,
		~
~		∂H
rot E = −m~ − µ		∂ t	,

div E = 0,

~	м	.
div µH	= ρ	.

30 A. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (A.1) – (A.4), легко убелиться, что они пре-

образуются из одних в другие, если применить следующие перестановки:
~	~	~	←→ − m,~ ρ	э	м	.	(A.29)
E ←→ H, ε ←→ − µ, j					←→ − ρ

Этот принцип замены полей и токов в уравнениях Максвелла называется принципом перестановочной двойственности. Применение его упрощает решение ряда электродинамических задач. Действительно, если найдено электромагнитное поле, возбуждаемое электрическими сторонними токами, то не надо решать задачу определения поля, возбуждаемого в этом пространстве магнитными сторонними токами и зарядами – достаточно применить принцип перестановочной двойственности.

Воспользовавшись этим принципом, из выражений (A.5), (A.26), (A.27) и (A.28) полу-

чим

E =

−rot F ,

2 ~

∂H

∂ F

= −grad div F + εµ

∂ t

∂ t2

E = −rotF,

H~˙ =

grad divF~˙ + k2F~˙ ,

iωµ

где F – запаздывающий векторный потенциал магнитного типа, определяемый, по анало-

гии с (A.21), (A.22), (A.24) и (A.25), выражениями

F~ = 1

m~(t − R/c)dV.

(A.30)

F~ =

4π

dl,

M(t − R/c) ~e

(A.31)

4π

m~˙ e−ikR

F~˙

dV,

(A.32)

4π

F~˙ =

M˙ e−ikR

~eL dl,

(A.33)

4π

M - линейное распределение магнитного тока.

Литература

[1]Чёрный Ф. Б. Распространение радиоволн. – М.: Сов. Радио, 1972

[2]Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. Электромагнитные поля и волны. – М.: Сов. Радио, 1971

[3]Справочник по радиолокации. Под ред. М. Сколника. Пер. с англ. (в четырёх томах). Т. 1. Основы радиолокации. – М.: Сов. Радио, 1976, 456 с.

[4]Марков Г. Т., Петорв Б. М., Грудинская Г. П. Электродинамика и распространение радиоволн. – М.: Сов. радио, 1979

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 44

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.09.2019299.36 Кб4attachment.docx
#
23.02.20151.21 Mб82at_fizika.pdf
#
23.02.2015914.84 Кб9azimov_aizek_vybor_katastrof.rtf
#
23.02.2015111.08 Кб194A_WAY_TO_SUCCESS_Words.docx
#
23.02.2015135.17 Кб22A_zernov.doc
#
23.02.2015527.99 Кб33Aнтенны и распространение радиоволн.pdf
#
23.02.20158.92 Mб43Barmina Articles.pdf
#
23.02.20151.1 Mб22Belaev_viska_2.1.pdf
#
23.02.2015184.52 Кб3Berg2946SupplementaryPDF.pdf
#
05.08.20194.78 Mб3bestref-198542.rtf
#
23.02.20151.23 Mб871Bileti_istoriya_Ukrayini.doc